Matrices: Définition et égalité

• Les matrices sont des tableaux de nombres utilisés en algèbre linéaire pour manipuler les systèmes linéaires.
• K désigne un corps dans ce contexte, pouvant être Q, R, ou C.

Définition d'une matrice

• Une matrice A est un tableau rectangulaire d'éléments appartenant à K.
• La taille d'une matrice est définie par $n \times p$, où n est le nombre de lignes et p le nombre de colonnes.
• Les coefficients de A sont les nombres dans le tableau, désignés par $a_{i,j}$ pour l'élément situé à la i-ème ligne et à la j-ème colonne.
• Une matrice A peut être représentée comme $A = (a_{i,j}){1 \leq i \leq n, 1 \leq j \leq p}$ ou simplement $(a{i,j})$.

Égalité des matrices

• Deux matrices sont égales si elles ont la même taille et si tous les coefficients correspondants sont égaux.
• $M_{n,p}(K)$ représente l'ensemble des matrices avec n lignes et p colonnes dont les coefficients sont dans K.
• Si les coefficients de la matrice sont des nombres réels, elles sont appelées matrices réelles

Matrices particulières

• Une matrice carrée est une matrice avec le même nombre de lignes et de colonnes ($n = p$).
• $M_n(K)$ est utilisé au lieu de $M_{n,n}(K)$ pour les matrices carrées.
• La diagonale principale d'une matrice est formée par les éléments $a_{1,1}, a_{2,2}, ..., a_{n,n}$.
• Une matrice ligne (ou vecteur ligne) a une seule ligne ($n=1$), notée $A=(a_{1,1}, a_{1,2}, ..., a_{1,p})$.
• Une matrice colonne (ou vecteur colonne) a une seule colonne ($p=1$).
• La matrice nulle, notée $0_{n,p}$ ou 0, est une matrice dont tous les coefficients sont nuls et agit comme le 0 dans le calcul matriciel.

Addition de matrices

• La somme de deux matrices A et B de même taille $n \times p$ est une matrice $C = A + B$ de taille $n \times p$ où $c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$.
• L'addition se fait coefficient par coefficient.

Produit d'une matrice par un scalaire

• Le produit d'une matrice $A = (a_{ij})$ de $M_{n,p}(K)$ par un scalaire $\alpha \in K$ est la matrice $(\alpha a_{ij})$ obtenue en multipliant chaque coefficient de A par $\alpha$, notée $\alpha \cdot A$ (ou $\alpha A$).
• L'opposée d'une matrice A est notée -A et est obtenue en multipliant A par -1.
• A - B est défini comme A + (-B).

Addition et la multiplication par un scalaire

• L'addition de matrices est commutative : $A + B = B + A$
• L'addition de matrices est associative : $A + (B + C) = (A + B) + C$
• La matrice nulle est l'élément neutre de l'addition : A + 0 = A
• $(\alpha + \beta) A = \alpha A + \beta A$
• $\alpha (A + B) = \alpha A + \alpha B$

Multiplication de matrices

• Le produit AB de deux matrices A et B est défini si le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B. Si A est une matrice $n \times p$ et B est une matrice $p \times q$, alors C = AB est une matrice $n \times q$ où chaque coefficient $c_{ij}$ est défini par la somme $\sum_{k=1}^{p} a_{ik}b_{kj}$.
• On utilise la ligne de la matrice A et la colonne de la matrice B pour calculer les coefficients.

Produit scalaire

• Pour deux vecteurs, le produit scalaire est $u \times v = a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n$ pour $u = (a_1, a_2,...a_n)$ et $v$

Pièges à éviter

• La multiplication de matrices n'est pas commutative en général et $AB \neq BA$
• $AB = 0$ n'implique pas que $A = 0$ ou $B = 0$
• $AB = AC$ n'implique pas $B = C$

Propriétés de la multiplication de matrices

• Associativité du produit: $A(BC) = (AB)C$
• Distributivité du produit par rapport à la somme: $A(B + C) = AB + AC$ et $(B + C)A = BA + CA$
• $A \cdot 0 = 0$ et $0 \cdot A = 0$

Matrice identité

• La matrice identité, notée $I_n$ est une matrice carrée avec des 1 sur la diagonale principale et des 0 partout ailleurs.
• Dans le calcul matriciel, la matrice identité agit comme le nombre 1.
• $I_n \cdot A = A$ et $A \cdot I_p = A$

Puissance d'une matrice

• $A^0 = I_n$ et $A^{p+1} = A^p A$ pour tout entier p. $A^p = A \times A... A$

Formule du binôme

• $(A + B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2$
• Soient A et B deux éléments dans $M_n(K)$ qui commutent, alors pour tout entier $p ≥ 0$, $(A + B)^p = \sum_{k=0}^{p} (p,k) A^{p-k}B^k$