Mathematik Gleichungen und Variablen

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Questions and Answers

Was repräsentiert der Ausdruck 'b1m' in der Gleichung?

  • Eine Konstante
  • Eine Funktion
  • Ein Parameter
  • Ein Index der Level-1 Einheit (correct)

Der Index 'n' bezeichnet eine Level-2 Einheit.

False (B)

Was ist die Gleichung zur Berechnung von 'b1m'?

b1m = c10 + u1m

Der Index 'n' steht für die Level-1 ______.

<p>Einheit</p> Signup and view all the answers

Ordne die folgenden Begriffe den entsprechenden Definitionen zu:

<p>b1m = Index der Level-1 Einheit c10 = Konstantenwert u1m = Variablenwert n = Indexnummer</p> Signup and view all the answers

Welches der folgenden Elemente ist in der Gleichung nicht vorhanden?

<p>b2m (C)</p> Signup and view all the answers

Welche Variablen sind in der Gleichung zur Berechnung von 'b1m' beteiligt?

<p>c10 und u1m</p> Signup and view all the answers

'c10' ist eine Variable in der Gleichung für 'b1m'.

<p>True (A)</p> Signup and view all the answers

Was bezeichnet man in der Multilevel-Literatur häufig als fixed effects?

<p>Mittelwerte (A)</p> Signup and view all the answers

Die Varianzen werden häufig als fixed effects bezeichnet.

<p>False (B)</p> Signup and view all the answers

Was wird häufig in Matrixform zusammengefasst?

<p>random effects</p> Signup and view all the answers

Die Kovarianz von u0m und u1m wird als _____ bezeichnet.

<p>Kovarianz</p> Signup and view all the answers

Ordne die Begriffe den richtigen Bedeutungen zu:

<p>c = fixed effects s = random effects τ = Kovarianz γ = Varianz</p> Signup and view all the answers

Welche Variable wird häufig mit „γ“ geschrieben?

<p>fixed effects (A)</p> Signup and view all the answers

Die Matrix Σ fasst random effects zusammen.

<p>True (A)</p> Signup and view all the answers

Nenne eine der beiden Variablen, die in der Matrix Σ dargestellt wird.

<p>var(int) oder cov(in/sl)</p> Signup and view all the answers

Was beschreibt die Gleichung b1m = c10 + u1m?

<p>Die Berechnung eines Index für eine Level-1 Einheit (C)</p> Signup and view all the answers

Die Variable 'n' steht für die Anzahl der Schulen in einem bestimmten Gebiet.

<p>False (B)</p> Signup and view all the answers

Was bedeutet der Index n in Bezug auf die Level-1 Einheit?

<p>Er bezeichnet die individuelle Einheit innerhalb der Level-1 Struktur.</p> Signup and view all the answers

Der Index n ist wichtig für die __________ der Daten.

<p>Kategorisierung</p> Signup and view all the answers

Ordne die Begriffe den jeweiligen Bedeutungen zu:

<p>b1m = Index einer Level-1 Einheit c10 = Konstante in der Berechnung u1m = Variable die zur Gleichung beiträgt n = Index der Level-1 Einheit</p> Signup and view all the answers

Welche der folgenden Variablen ist Teil der Gleichung b1m = c10 + u1m?

<p>c10 (C)</p> Signup and view all the answers

Die Gleichung b1m = c10 + u1m enthält mehr als zwei Variablen.

<p>False (B)</p> Signup and view all the answers

Welche Rolle spielt die Variable u1m in der Gleichung b1m = c10 + u1m?

<p>Sie ist eine Variable, die zur Berechnung des Index beiträgt.</p> Signup and view all the answers

Was repräsentiert das Symbol $ in der Informatik oft?

<p>Eine Variable (D)</p> Signup and view all the answers

Das Symbol % wird in der Mathematik normalerweise für Division verwendet.

<p>False (B)</p> Signup and view all the answers

Was bedeutet das Zeichen & in den meisten Programmiersprachen?

<p>Logisches UND oder Adressoperator</p> Signup and view all the answers

In der Programmierung wird der Ausdruck ______ verwendet, um einen Fehler darzustellen.

<p>(!$=)</p> Signup and view all the answers

Ordnen Sie die Symbole ihren Bedeutungen zu:

<p>$ = Variable &amp; = Logisches UND % = Prozentsatz != = Ungleich</p> Signup and view all the answers

Welches dieser Zeichen repräsentiert einen Operator für Ungleichheit?

<p>!= (A)</p> Signup and view all the answers

In den meisten Programmiersprachen wird % für Modulo-Operationen verwendet.

<p>True (A)</p> Signup and view all the answers

Welches Symbol wird häufig verwendet, um die Adresse eines Operators anzuzeigen?

<p>&amp;</p> Signup and view all the answers

Was beschreibt c00 in einem Multilevel-Modell?

<p>Regressionskonstante auf Populationsebene (A)</p> Signup and view all the answers

U0m bezeichnet die Abweichung einer Level-1 Einheit von c00.

<p>False (B)</p> Signup and view all the answers

Was ist das Residuum in einem Multilevel-Modell?

<p>εnm</p> Signup and view all the answers

Die Gesamtmodellformel auf Populationsebene lautet: Ynm = c00 + c10 · Xnm + u0m + u1m · Xnm + ________.

<p>εnm</p> Signup and view all the answers

Ordne die Begriffe den passenden Beschreibungen zu:

<p>c00 = Level-unspezifische Regressionskonstante c10 = Level-unspezifisches Regressionsgewicht u0m = Abweichung von c00 einer Level-2 Einheit u1m = Abweichung des Regressionsgewichts einer Level-2 Einheit</p> Signup and view all the answers

Welche der folgenden Aussagen ist über Multilevel-Modelle korrekt?

<p>Die Methode schätzt Parameter in einem Schritt. (B)</p> Signup and view all the answers

Das Residuum εnm ist ein Teil der Abweichung des Regressionsgewichts.

<p>False (B)</p> Signup and view all the answers

Das ________ von c10 wird durch u1m dargestellt.

<p>Regressionsgewicht</p> Signup and view all the answers

Ordne die Variable ihrer Bedeutung zu:

<p>c00 = Grundwert oder Konstante c10 = Einflussfaktor auf Ynm u0m = Abweichung von der Konstante εnm = Ereignisresiduum</p> Signup and view all the answers

Welche Funktion hat das Level-1 Residuum εnm in einem Multilevel-Modell?

<p>Es stellt die Varianz innerhalb der Level-1 Einheiten dar. (C)</p> Signup and view all the answers

U0m ist die Abweichung einer Level-1 Einheit von c10.

<p>False (B)</p> Signup and view all the answers

In welcher Grundformel wird das Regressionsgewicht c10 verwendet?

<p>Ynm = c00 + c10 · Xnm + u0m + u1m · Xnm + εnm</p> Signup and view all the answers

Was beschreibt die Abweichung der Regressionskonstante einer Level-2 Einheit?

<p>u0n (D)</p> Signup and view all the answers

Das Level-1 Residuum wird mit εnm bezeichnet.

<p>True (A)</p> Signup and view all the answers

Welche Abweichung beschreibt u1m?

<p>Die Abweichung des Regressionsgewichts einer Level-2 Einheit m von c10.</p> Signup and view all the answers

Das Regressionsgewicht einer Level-2 Einheit wird durch __________ dargestellt.

<p>c10</p> Signup and view all the answers

Ordnen Sie die folgenden Variablen ihren Beschreibungen zu:

<p>c00 = Level-unspezifische Regressionskonstante u0n = Abweichung der Konstante von c00 u1m = Abweichung des Regressionsgewichts von c10 εnm = Level-1 Residuum</p> Signup and view all the answers

Welche der folgenden Aussagen ist korrekt?

<p>u1m bezieht sich auf Regressionsgewichte. (B)</p> Signup and view all the answers

Die Regressionskonstante c00 ist levelspezifisch.

<p>False (B)</p> Signup and view all the answers

Was steht für die Regressionskonstante in einem Modell?

<p>c00</p> Signup and view all the answers

Das Symbol für das Level-1 Residuum ist __________.

<p>εnm</p> Signup and view all the answers

Welche Variable bezieht sich auf die Abweichung der Regressionsgewichte?

<p>u1m (D)</p> Signup and view all the answers

C10 ist die Regressionskonstante einer Level-2 Einheit.

<p>False (B)</p> Signup and view all the answers

Wofür steht das Symbol εnm?

<p>Level-1 Residuum</p> Signup and view all the answers

Die __________ beschreibt die konstante Abweichung auf Level 2.

<p>u0n</p> Signup and view all the answers

Ordnen Sie die Begriffe den richtigen Symbolen zu:

<p>Abweichung der Regressionskonstante = u0n Level-1 Residuum = εnm Abweichung des Regressionsgewichts = u1m Level-unspezifische Regressionskonstante = c00</p> Signup and view all the answers

Welches Symbol repräsentiert eine level-unspezifische Regressionskonstante?

<p>c00 (A)</p> Signup and view all the answers

U0n und u1m sind identisch.

<p>False (B)</p> Signup and view all the answers

Flashcards

Index des Level-1 Einheit

Eine numerische Kennung einer Einheit der ersten Ebene in einem hierarchischen System.

b1m = c10 + u1m

Die Formel beschreibt die Beziehung zwischen verschiedenen Einheiten in einem hierarchischen System.

b1m

Eine Variable in der Formel, die einen Wert für die Einheit der ersten Ebene darstellt.

c10

Eine Variable in der Formel, die einen Wert für die Einheit der zehnten Ebene darstellt.

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u1m

Eine Variable in der Formel, die einen Wert für die Einheit der ersten Ebene darstellt.

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Hierarchisches System

Ein hierarchisches System, in dem Einheiten in verschiedenen Ebenen organisiert sind.

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Level-1 Einheit

Die erste Ebene in einem hierarchischen System.

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Level-10 Einheit

Die zehnte Ebene in einem hierarchischen System.

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Var(u1m)

Die Varianz der zufälligen Effekte auf Ebene 1, die die Unterschiede zwischen den Einheiten auf Ebene 1 beschreiben.

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Var(u0m)

Die Varianz der zufälligen Effekte auf Ebene 0, die die Unterschiede zwischen den Einheiten auf Ebene 0 beschreiben.

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sω

Die Standardabweichung des zufälligen Effekts auf Ebene 1, die die Streuung der Einheiten auf Ebene 1 um den Gruppenmittelwert beschreibt.

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Kovarianz von u0m und u1m

Die Kovarianz zwischen den zufälligen Effekten auf Ebene 0 und Ebene 1.

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Random Effects

Zufällige Effekte, die die Variabilität zwischen den Einheiten auf verschiedenen Ebenen in einem hierarchischen Modell beschreiben.

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Fixed Effects

Feste Effekte, die die konstanten Effekte in einem hierarchischen Modell darstellen.

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Σ (Sigma)

Eine Matrix, die alle Varianzen und Kovarianzen der zufälligen Effekte in einem hierarchischen Modell enthält.

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τ02

Die Varianz der zufälligen Effekte auf Ebene 0, die die Unterschiede zwischen den Einheiten auf Ebene 0 beschreibt.

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εnm

Die Abweichung der Beobachtung von ihrer vorhergesagten Werten innerhalb einer Level-2-Einheit. Es ist die Abweichung vom Durchschnitt für eine Person.

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Feste Effekte

Effekte, die für alle Personen gleich sind.

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Zufallseffekte

Effekte, die sich zwischen den Ebenen unterscheiden und mit einem Zufallsterm modelliert werden.

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Multilevel Modell

Ein Modell, das mehrere Ebenen oder Hierarchien von Daten berücksichtigt.

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Vorteile von Multilevel Modellen

Mit Multilevel Modellen können wir feste und zufällige Effekte gleichzeitig schätzen.

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Varianz der Zufallseffekte

Die Varianz der Zufallseffekte.

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Level-2-Prädiktor

Eine Variable, die die abhängige Variable beeinflusst, aber in einer Multilevel-Analyse nicht explizit berücksichtigt wird.

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Level-1-Prädiktor

Ein Variablenwert, der die abhängige Variable direkt beeinflusst.

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Zwei-Schritt-Vorgehen

Der Prozess, die Parameter des Zwei-Schritt-Vorgehens in einem Schritt zu schätzen.

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Gesamtziel des Multilevel-Modells

Das Multilevel-Modell ermöglicht es uns, die Auswirkungen von Prädiktoren auf verschiedenen Ebenen und sowohl feste als auch zufällige Effekte gleichzeitig zu schätzen.

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Zufällige Effekte

Zufällige Effekte sind Variablen in einem hierarchischen Modell, die die Variation zwischen Einheiten auf den verschiedenen Ebenen beschreiben. Sie sind zufällig, weil ihre Werte nicht festgelegt sind, sondern aus einer Verteilung stammen.

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Hierarchisches Modell

Ein hierarchisches Modell, bei dem die Daten in mehreren verschachtelten Ebenen (Level) organisiert sind.

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Lineares Mixed Model

Ein Modell, das sowohl feste als auch zufällige Effekte einschließt, um die verschiedenen Einflüsse auf die abhängige Variable zu modellieren.

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Var(εnm)

Die Varianz der Level-1 Einheiten um den Mittelwert der Level-2 Einheit.

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Var(u0m) + Var(u1m)

Die Varianz der Level-2 Einheiten um den Gesamtmittelwert.

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Cov(u0m, u1m)

Die Kovarianz zwischen den zufälligen Effekten u0m und u1m, die den Zusammenhang zwischen den Abweichungen in der Konstante und der Steigung angibt.

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Study Notes

Vorlesungsinhalt Multivariate Statistik und Datenanalyse

  • Thema: Multivariate Statistik und Datenanalyse
  • Semester: Wintersemester 2024/25
  • Dozent: Florian Scharf
  • Datum: 26. November 2024
  • Vorlesungsthemen:
    • Allgemeine Lineare Modelle I & II
    • Logistische Regression I & II
    • Lineare Mixed Models (LMM)
      • LMM I: Grundidee, Modelltypen
      • LMM II: Modellschätzung, Interpretation
      • LMM III: Modellierung wiederholter Messungen

Hierarchische Daten

  • Schüler*innen sind in Schulen geschachtelt („genestet")
  • Hierarchische Daten liegen vor, wenn jede Level-1 Einheit nur einer Level-2 Einheit angehört
  • Die Anzahl der Level-1 Einheiten innerhalb einer Level-2 Einheit kann unterschiedlich sein.

Multilevel-Modelle

  • Gesamtmodell auf Populationsebene für einen Level-1 Prädiktor
  • Prädiktoren auf Level 1 und 2
  • Indizes: m (Level-2 Einheit, z.B. Schule), n (Level-1 Einheit, z.B. Person)
  • Level-unspezifische Regressionskonstante und -gewicht (C00, C10)
  • Abweichung der Konstante einer Level-2 Einheit von C00 (U0m)
  • Abweichung des Regressionsgewichts einer Level-2 Einheit von C10 (U₁m)
  • Level-1 Residuum (€nm)

Multilevel-Modelle (fortgesetzt)

  • Basale Idee von Multilevel-Modellen: Schätzen der Parameter des Zwei-Schritt-Vorgehens in einem Schritt.
  • Ziel: Festlegung von festen Effekten und Varianz der Zufallseffekte.
  • Berücksichtigung von Kovarianzen zwischen U0m und U₁m.

Terminologie

  • In der Multilevel-Literatur werden oft „Mittelwerte“ als fixed effects bezeichnet, und anstelle von "c" wird oft "τ" verwendet.
  • Varianzen und Kovarianzen werden häufig als random effects bezeichnet.
  • Random effects werden oft in Matrixform zusammengefasst (Σ).

In welcher Matrix leben wir?

  • Matrix A und B werden als Beispiele vorgestellt.
  • Die Kovarianz zwischen den spezifischen Konstanten und Gewichten der Level-2 Einheiten wird mit S01 dargestellt.
  • S01 = 0 bedeutet keinen Zusammenhang.
  • S01 > 0 bedeutet positiven Zusammenhang, bzw. S01 < 0 einen negativen.
  • Der Effekt kann in Abhängigkeit vom mittleren Effekt verstärkt oder abgeschwächt werden

(Extrem-)Beispiele

  • Graphische Darstellung von C10 > 0, S01 > 0 usw.
  • Illustrieren verschiedene Zusammenhänge zwischen verschiedenen Variablen und festen bzw. zufälligen Effekten.

Überblick (Linear Mixed Models II)

  • Wie werden LMMs geschätzt?
  • Welche statistischen Tests gibt es in LMMs?
  • Wie werden verschiedene LMMs untersucht und interpretiert?

Beispiel (HSB-Daten)

  • Zusammenhang zwischen numerischer Intelligenz (IQ) und der Matheleistung (M) von Schüler*innen in verschiedenen Schulen.
  • Variablen: Schule, Schüler*in, IQ, M, SES

Beispiel (fortgesetzt)

  • Weitere Beispiele mit Graphen und Tabellen, die Zusammenhänge zwischen verschiedenen Variablen und festen bzw. zufälligen Effekten zeigen.
  • Zusammenhänge zwischen sozioökonomischem Status (SES) und der Matheleistung (M)

Random Intercept-Only Modell

  • Modellgleichungen: Level-1 und Level-2
  • Interpretation der Modellparameter (fester Effekt C00, Varianzparameter s²).
  • Intraklassen-Korrelation (ICC) und Bedeutung
  • Design-Effekt (DEFT), Faustregel, Verschachtelung beachten!
  • Beispiele

Random Intercept-Fixed Slope Modell

  • Modellgleichungen: Level-1 und Level-2
  • Interpretation der Modellparameter (feste Effekte C00 and C10, Varianzparameter s²)
  • Beispiele

Random Intercept-Random Slope Modell

  • Modellgleichungen: Level-1 und Level-2
  • Interpretation der Modellparameter (feste Effekte, Varianzparameter, Kovarianz)
  • Beispiele

Modelle mit Level-2 Prädiktoren

  • Ziel: Unterschiede in Regressionskoeffizienten der Level-2 Einheiten erklären
  • Level-2 Prädiktoren für Unterschiede in Regressionskonstanten
  • Achtung: Interpretation abhängig vom Skalenniveau und von der Anzahl der Prädiktoren

Zusammenfassung

  • LMM ist eine Methode für hierarchische Daten.
  • Parameter werden mit (restricted) Maximum-Likelihood geschätzt.
  • Lokale und globale Tests sind vorhanden.
  • Hinweis: Modellvergleiche nur bei Maximum-Likelihood-Schätzungen interpretierbar.
  • Klassisch untersuchte Modelle (Random Intercept-only, Random Intercept-Fixed Slope, Random Intercept-Random Slope).
  • Modelle mit Level-1 und Level-2 Prädiktoren

Fragen

  • Offene Fragen zum Thema, die im Kurs behandelt wurden.

Literatur

  • Eid, M., Gollwitzer, M., & Schmitt, M. (2017). Statistik und Forschungsmethoden. Beltz: Weinheim, Basel. Kap. 20 (relevante Abschnitte).

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