Mathematics: Bounded Above Sets

Questions and Answers

קבוצה חסומה מלרע

$\exists M\in \mathbb{R} :\forall a\in A: M\leq a$

קבוצה חסומה מלעיל

$\exists M\in \mathbb{R} : \forall a\in A: a\leq M$

קבוצה חסומה

קבוצה תקרא חסומה אם היא חסומה מלעיל ומלרע

אם קיים חסם מלרע מה ניתן לדעת על כל. מספר הקטן ממנו?

שגם הוא חסם מלרע Signup and view all the answers

אם יש חסם מלעיל מה ניתן לדעת על כל מספר הגדול ממנו?

שגם הוא חסם מלעיל Signup and view all the answers

מקסימום של קבוצה

$\exists M\in A: \forall a\in A: a \leq M$ Signup and view all the answers

מינימום של קבוצה

$\exists m\in A: \forall a\in A: m\leq a$ Signup and view all the answers

אם קיימים מינימום או מקסימום בקבוצה מה ניתן לדעת עליהם?

הם שייכים לקבוצה הם יחידים Signup and view all the answers

סופרמום

החסם מלעיל הקטן ביותר, מכונה גם חסם עליון. Signup and view all the answers

אקסיומת השלמות

לכל קבוצה לא ריקה וחסומה מלעיל של מספרים ממשיים יש סופרמום Signup and view all the answers

אם יש מינימום או מקסימום לקבוצה מה ניתן לדעת על הקבוצה?

חסומה מלעיל/ מלרע יש לה סופרמום/אינפימום והמקסימום/מינימום הוא הסופרמום/אינפימום בהתאמה Signup and view all the answers

אינפימום

החסם מלרע הגדול ביותר, מכונה גם חסם תחתון. Signup and view all the answers

טענה: $a,b\in \mathbb{R}, b>a : \sup(a,b)=?, \inf(a,b)=?$

$\sup(a,b)=b, \inf(a,b)=a$ Signup and view all the answers

איך מוכיחים $\sup(a,b)=b$?

נניח בשלילה שקיים חסם מלעיל קטן יותר ואז ניקח את הממוצע שלו עם הסופרמום ונקבל שהוא שייך לקבוצת החסמים מלעיל, בזמן שהוא לא חסם באמת בסתירה. Signup and view all the answers

טענה: $\sup A \leftrightarrow ?$

$\forall d\in \overline{B}_A: \sup A \leq d \leftrightarrow a<\sup A \rightarrow a\notin \overline{B}_A$ Signup and view all the answers

מסקנה מטענה שקולה לסופרמום

עבור קבוצה המקיימת את תנאי אקסיומת השלמות $\forall \varepsilon > 0 \exists a\in A: \sup A -\varepsilon < a \leq \sup A$ Signup and view all the answers

סיכום הגדרת סופרמום בכמתים

$\sup A\Leftrightarrow \begin{cases}\forall a\in A,a\leq \sup A\ \forall \varepsilon >0\exists a\in A:\sup A-\varepsilon <a\end{cases}$ Signup and view all the answers

עבור קבוצות המקיימות את תנאי אקסיומת השלמות נגדיר $( A+B) =\{\ a+b| a\in A,b\in B}$

$\begin{cases}\inf (A+B) = \inf A + \inf B \ \sup (A+B) = \sup A + \sup B \ \sup A = \inf -A \end{cases}$ Signup and view all the answers

טענה: שימוש באקסיומת השלמות

לכל מספר ממשי יש שורש $\forall 0<c\in \mathbb{R} : \exists 0<b\in \mathbb{R} s.t b^2=c$ Signup and view all the answers

סיכום הגדרת אינפימום בכמתים

$\inf A\Leftrightarrow \begin{cases}\forall a\in A,\inf A \leq a\ \forall \varepsilon >0\exists a\in A:a <\inf A+\varepsilon \end{cases}$ Signup and view all the answers

הגדרה: קבוצה $A$ צפופה בקבוצה $B$ בכמתים

$\forall b\in B , \forall \varepsilon > 0 \exists a\in A : |b-a|< \varepsilon$ Signup and view all the answers

קבוצה צפופה - במילים

במושגים של גבול, קיימת סדרה של איברים בA שמתכנסת לb Signup and view all the answers

טענה: קבוצה $S\subset \mathbb{R}$ צפופה בממשיים אם״ם

בין כל שני מספרים ממשים יש איבר מ$S$ Signup and view all the answers

טענה שקולה לקבוצה צפופה בממשיים

$\forall a,b\in \mathbb{R} : a Signup and view all the answers

טענה: בין כל מספרים רציונאליים יש מספר אי רציונלי

אז זה שקול לכך שהרציונליים צפופים בממשיים כי בין כל שני רציונליים יש מספר ממשי Signup and view all the answers

בין כל שני מספרים ממשיים (בפרט עבור אי רציונליים) יש מספר רציונלי

האי ארציונליים צפופים ברציונליים ובממשיים Signup and view all the answers

מסנקה: צפיפות הרציונליים בממשיים

מסקנה: צפיפות הרציונליים בממשיים Signup and view all the answers

סדרה חסומה מלעיל

$\exists M\in \mathbb{R} : a_n < M, \forall n\in \mathbb{N}$ Signup and view all the answers

סדרה חסומה מלרע

$\exists m\in \mathbb{R}: a_n > m, \forall n\in \mathbb{N}$ Signup and view all the answers

סדרה חסומה

חסומה מלרע ומלעיל $\exists M>0: |a_n|<M, \forall n\in \mathbb{N}$ Signup and view all the answers

הגדרת גבול סופי של סדרה

$\forall \varepsilon > 0 \exists N\in \mathbb{N} : |a_n-L| < \varepsilon , \forall n > N$ Signup and view all the answers

למה מסמנים $n_\varepsilon$

כי המיקום הזה תלוי באפסילון Signup and view all the answers

קיים מספר סופי מקסימום $n_\varepsilon$ או אפס של איברים המקיימים $a_n \notin (L- \varepsilon , L+ \varepsilon) $

$\begin{cases} |a_n-L|<\varepsilon, \forall n>n_\varepsilon \ L-\varepsilon < a_n < L + \varepsilon, \forall n> n_\varepsilon \ a_n \in (L-\varepsilon, L+ \varepsilon ) , \forall n> n_\varepsilon \end{cases}$ Signup and view all the answers

$\frac{1}{n} \rightarrow ?$

$\frac{1}{n} \rightarrow 0$ Signup and view all the answers

$(-1)^n \ rightarrow ?$

אין לה גבול. עבור אפסילון שווה חצי ניתן להפריך. Signup and view all the answers

טענה: $c\in (0,1): \lim_{n\rightarrow \infty} c^n = ?$

$c\in (0,1): \lim_{n\rightarrow \infty} c^n = 0$ Signup and view all the answers

טענה: $a>1, a^{\frac{1}{n}} \rightarrow ?$

$a>1, a^{\frac{1}{n}} \rightarrow 1$ Signup and view all the answers

מתרגול $n^{\frac{1}{n}} \rightarrow 1$

Signup and view all the answers

משפט יחידות הגבול של סדרה

$L_1 , L_2 \in \mathbb{R}: a_n \rightarrow L_1, a_n \rightarrow L_2 \Rightarrow L_1=L_2$ Signup and view all the answers

משפט: $\lim_{n\rightarrow \infty} a_n = L \Rightarrow \lim_{n\rightarrow \infty} |a_n|=?$

$\lim_{n\rightarrow \infty} |a_n| = |L|$ Signup and view all the answers

הערה: $\lim_{n\rightarrow \infty} |a_n|=|L|$

אז לא בהכרח $\lim_{n\rightarrow \infty} a_n=L$ Signup and view all the answers

טענה: אם שתי סדרות שונות רק במספר סופי של איברים אז מה ניתן להגיד על ההתכנסות ההתבדרות שלהן

הן מתכנסות או מתבדרות יחד Signup and view all the answers

טענה: $b_n=a_{n+1} \leftrightarrow ?$

מתכנסות ומתבגרות יחד ניתן להכליל עבור k כללי Signup and view all the answers

גבול אינסופי $+\infty$

$\forall M>0 \exists n_M\in \mathbb{N} :a_n > M, \forall n> n_M$ Signup and view all the answers

התכנסות ל $-\infty$

$\forall M>0 \exists n_M \in \mathbb{N} : a_n < -M , \forall n> n_M$ Signup and view all the answers

$n^2 \rightarrow ?$

$n^2 \rightarrow +\infty $ Signup and view all the answers

טענה: עבור סדרה חיובית מתכנסת לאפס $\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{a_n}=?$

$\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{a_n}=+\infty$ Signup and view all the answers

למה: סדרה מתכנסת היא

תמיד חסומה מלעיל או מלרע או שניהם Signup and view all the answers

אם סדרה לא חסומה מה ניתן להסיק עליה?

שהיא אינה מתכנסת לגבול סופי Signup and view all the answers

למה: אם סדרה מתכנסת לגבול סופי שאינו אפס אז $0<z<|L| \exists n_z\in \mathbb{N} : |a_n| >z, \forall n>n_z$

אם הגבול של הסדרה קיים סופי ולא אפס, אז קיים אפסילון מספיק קטן עבורו החלק ממקום מסוים בסדרה בסביבת אפסילון של אפס לא יהיו אף אחד מאיברי הסדרה. Signup and view all the answers

טענה: לכל מספר ממשי יש סדרת רציונליים שמתכנסת אליו

Signup and view all the answers

חשבון גבולות - תנאים ולמה חשוב לשים לב?

לא ניתן להשתמש אם הסדרות לא ידוע שהסדרות מתכנסות. בחילוק - צריך לוודא שהגבול של הסדרה במכנה שונה מאפס, וגם שלא קיים אינדקס עבורו איבר בסדרה 0 Signup and view all the answers

למה: $0\leq d_n\rightarrow d \Rightarrow 0\leq d$

נניח בשלילה ש $d<0$ נבחר אפסילון $0<\varepsilon < -d$ נפתח את הגדרת הגבול ונגיע לסתירה לכך ש כל איברי הסדרה חיוביים Signup and view all the answers

משפט: גבול מכבד אי שיוויון חלש

$a_n\rightarrow a, b_n \rightarrow b, a_n\leq b_n \Rightarrow a\leq b$ Signup and view all the answers

רעיון ההוכחה של גבול מכבד א״ש חלש

ננסח ונוכיח את הלמה נגדיר סדרת עזר $c_n=b_n-a_n$ נשתמש בלמה על סדרת העזר Signup and view all the answers

משפט הסנדוויץ

$x_n\rightarrow L, y_n\rightarrow L, \exists n_0\in \mathbb{N}: x_n\leq z_n \leq y_n, \forall n>n_0 \Rightarrow z_n\rightarrow L$ Signup and view all the answers

רעיון ההוכחה של משפט הסנדוויץ

כתוב את ההגדרות הגבול לכל אחת מהסדרת, ועבור אי השיוויון ואז נבחר N מקסימלי שעבורו הכל מסתדר Signup and view all the answers

מבחן השורש להתכנסות סדרות

אם הסדרה חיובית $\exists 0\leq \alpha <1 , \exists n_0\in \mathbb{N} : a_n^\frac{1}{n}, \forall n>n_0 \Rightarrow \exists \lim_{n\rightarrow \infty} a_n=0$ Signup and view all the answers

הוכחת מבחן השורש להתכנסות סדרות

מיידית ממשפט הסנדוויץ Signup and view all the answers

מבחן השורש הגבולי

$a_n\geq 0,\geq 1. $$if$$ \exists \lim_{n\rightarrow \infty} a_n^{\frac{1}{n}}=P. \Rightarrow P<1 \rightarrow \lim_{n\rightarrow \infty}a_n=0. P>1 \rightarrow \lim_{n\rightarrow \infty}a_n = \infty$ Signup and view all the answers

Study Notes

Bounded Sets and Supremum

A set is bounded below if there exists a lower bound, which implies all numbers in the set are greater than or equal to this bound.
A set is bounded above if there exists an upper bound, meaning all numbers in the set are less than or equal to this bound.
The maximum of a set is the greatest element within the set.
The minimum of a set is the smallest element within the set.
If a set has a minimum or maximum, their existence signifies that the set is bounded.

Supremum and Infimum

If ( b > a ) for ( a, b \in \mathbb{R} ), then ( \sup(a,b) = b ) and ( \inf(a,b) = a ).
The supremum (least upper bound) can be defined as the smallest number that is greater than or equal to all elements in a set.
The infimum (greatest lower bound) is the largest number that is less than or equal to all elements in a set.

Completeness Axiom

The Axiom of Completeness states that every non-empty set of real numbers that is bounded above has a supremum, and every non-empty set that is bounded below has an infimum.
This axiom ensures the existence of maximum and minimum values in relevant sets.

Dense Sets

A set ( A ) is said to be dense in a set ( B ) if between every two elements of ( B ), there exists an element of ( A ).
Rational numbers are dense in real numbers, meaning that between any two real numbers, there exists a rational number.

Convergence of Sequences

A sequence is bounded if it does not diverge to infinity.
A convergent sequence approaches a limit as the number of terms increases.
The limit of ( \frac{1}{n} ) as ( n \rightarrow \infty ) approaches 0.
The limit of ( (-1)^n ) does not converge; it oscillates between -1 and 1.
If ( c \in (0,1) ), then ( \lim_{n \rightarrow \infty} c^n = 0 ).
For ( a > 1 ), ( a^{\frac{1}{n}} ) approaches 1 as ( n \rightarrow \infty ).

Properties of Limits

If two sequences differ by finitely many terms, they will converge or diverge together.
For a positive convergent sequence, ( \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{a_n} = 0 ) if it converges to a limit other than zero.
A sequence that is not bounded will diverge.

Rational Approximations

For every real number, there exists a sequence of rational numbers that converges to it.

Summary Statements

A bounded sequence implies converging behavior, while unbounded sequences will either diverge to ( +\infty ) or ( -\infty ).
The properties of maximum, minimum, supremum, and infimum are crucial for understanding the behavior of sets and sequences in real analysis.

Studying That Suits You

Use AI to generate personalized quizzes and flashcards to suit your learning preferences.

Description

This quiz covers the concept of bounded above sets in mathematical analysis. Participants will explore the definitions, properties, and examples that illustrate this fundamental idea. Enhance your understanding of real analysis with this focused quiz.