Podcast
Questions and Answers
קבוצה חסומה מלרע
קבוצה חסומה מלרע
$\exists M\in \mathbb{R} :\forall a\in A: M\leq a$
קבוצה חסומה מלעיל
קבוצה חסומה מלעיל
$\exists M\in \mathbb{R} : \forall a\in A: a\leq M$
קבוצה חסומה
קבוצה חסומה
קבוצה תקרא חסומה אם היא חסומה מלעיל ומלרע
אם קיים חסם מלרע מה ניתן לדעת על כל. מספר הקטן ממנו?
אם קיים חסם מלרע מה ניתן לדעת על כל. מספר הקטן ממנו?
אם יש חסם מלעיל מה ניתן לדעת על כל מספר הגדול ממנו?
אם יש חסם מלעיל מה ניתן לדעת על כל מספר הגדול ממנו?
מקסימום של קבוצה
מקסימום של קבוצה
מינימום של קבוצה
מינימום של קבוצה
אם קיימים מינימום או מקסימום בקבוצה מה ניתן לדעת עליהם?
אם קיימים מינימום או מקסימום בקבוצה מה ניתן לדעת עליהם?
סופרמום
סופרמום
אקסיומת השלמות
אקסיומת השלמות
אם יש מינימום או מקסימום לקבוצה מה ניתן לדעת על הקבוצה?
אם יש מינימום או מקסימום לקבוצה מה ניתן לדעת על הקבוצה?
אינפימום
אינפימום
טענה:
$a,b\in \mathbb{R}, b>a : \sup(a,b)=?, \inf(a,b)=?$
טענה: $a,b\in \mathbb{R}, b>a : \sup(a,b)=?, \inf(a,b)=?$
איך מוכיחים $\sup(a,b)=b$?
איך מוכיחים $\sup(a,b)=b$?
טענה:
$\sup A \leftrightarrow ?$
טענה: $\sup A \leftrightarrow ?$
מסקנה מטענה שקולה לסופרמום
מסקנה מטענה שקולה לסופרמום
סיכום הגדרת סופרמום בכמתים
סיכום הגדרת סופרמום בכמתים
עבור קבוצות המקיימות את תנאי אקסיומת השלמות נגדיר
$( A+B) =\{\ a+b| a\in A,b\in B}$
עבור קבוצות המקיימות את תנאי אקסיומת השלמות נגדיר $( A+B) =\{\ a+b| a\in A,b\in B}$
טענה:
שימוש באקסיומת השלמות
טענה: שימוש באקסיומת השלמות
סיכום הגדרת אינפימום בכמתים
סיכום הגדרת אינפימום בכמתים
הגדרה: קבוצה $A$ צפופה בקבוצה $B$
בכמתים
הגדרה: קבוצה $A$ צפופה בקבוצה $B$ בכמתים
קבוצה צפופה - במילים
קבוצה צפופה - במילים
טענה:
קבוצה $S\subset \mathbb{R}$ צפופה בממשיים אם״ם
טענה: קבוצה $S\subset \mathbb{R}$ צפופה בממשיים אם״ם
טענה שקולה לקבוצה צפופה בממשיים
טענה שקולה לקבוצה צפופה בממשיים
טענה:
בין כל מספרים רציונאליים יש מספר אי רציונלי
טענה: בין כל מספרים רציונאליים יש מספר אי רציונלי
בין כל שני מספרים ממשיים (בפרט עבור אי רציונליים)
יש מספר רציונלי
בין כל שני מספרים ממשיים (בפרט עבור אי רציונליים) יש מספר רציונלי
מסנקה:
צפיפות הרציונליים בממשיים
מסנקה: צפיפות הרציונליים בממשיים
סדרה חסומה מלעיל
סדרה חסומה מלעיל
סדרה חסומה מלרע
סדרה חסומה מלרע
סדרה חסומה
סדרה חסומה
הגדרת גבול סופי של סדרה
הגדרת גבול סופי של סדרה
למה מסמנים $n_\varepsilon$
למה מסמנים $n_\varepsilon$
קיים מספר סופי מקסימום $n_\varepsilon$ או אפס של איברים המקיימים $a_n \notin (L- \varepsilon , L+ \varepsilon) $
קיים מספר סופי מקסימום $n_\varepsilon$ או אפס של איברים המקיימים $a_n \notin (L- \varepsilon , L+ \varepsilon) $
$\frac{1}{n} \rightarrow ?$
$\frac{1}{n} \rightarrow ?$
$(-1)^n \ rightarrow ?$
$(-1)^n \ rightarrow ?$
טענה:
$c\in (0,1): \lim_{n\rightarrow \infty} c^n = ?$
טענה: $c\in (0,1): \lim_{n\rightarrow \infty} c^n = ?$
טענה:
$a>1, a^{\frac{1}{n}} \rightarrow ?$
טענה: $a>1, a^{\frac{1}{n}} \rightarrow ?$
מתרגול
$n^{\frac{1}{n}} \rightarrow 1$
מתרגול $n^{\frac{1}{n}} \rightarrow 1$
משפט יחידות הגבול של סדרה
משפט יחידות הגבול של סדרה
משפט:
$\lim_{n\rightarrow \infty} a_n = L \Rightarrow \lim_{n\rightarrow \infty} |a_n|=?$
משפט: $\lim_{n\rightarrow \infty} a_n = L \Rightarrow \lim_{n\rightarrow \infty} |a_n|=?$
הערה:
$\lim_{n\rightarrow \infty} |a_n|=|L|$
הערה: $\lim_{n\rightarrow \infty} |a_n|=|L|$
טענה:
אם שתי סדרות שונות רק במספר סופי של איברים אז מה ניתן להגיד על ההתכנסות ההתבדרות שלהן
טענה: אם שתי סדרות שונות רק במספר סופי של איברים אז מה ניתן להגיד על ההתכנסות ההתבדרות שלהן
טענה:
$b_n=a_{n+1} \leftrightarrow ?$
טענה: $b_n=a_{n+1} \leftrightarrow ?$
גבול אינסופי $+\infty$
גבול אינסופי $+\infty$
התכנסות ל $-\infty$
התכנסות ל $-\infty$
$n^2 \rightarrow ?$
$n^2 \rightarrow ?$
טענה:
עבור סדרה חיובית מתכנסת לאפס
$\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{a_n}=?$
טענה: עבור סדרה חיובית מתכנסת לאפס $\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{a_n}=?$
למה:
סדרה מתכנסת היא
למה: סדרה מתכנסת היא
אם סדרה לא חסומה מה ניתן להסיק עליה?
אם סדרה לא חסומה מה ניתן להסיק עליה?
למה:
אם סדרה מתכנסת לגבול סופי שאינו אפס אז
$0<z<|L| \exists n_z\in \mathbb{N} : |a_n| >z, \forall n>n_z$
למה: אם סדרה מתכנסת לגבול סופי שאינו אפס אז $0<z<|L| \exists n_z\in \mathbb{N} : |a_n| >z, \forall n>n_z$
טענה:
לכל מספר ממשי יש סדרת רציונליים שמתכנסת אליו
טענה: לכל מספר ממשי יש סדרת רציונליים שמתכנסת אליו
חשבון גבולות - תנאים ולמה חשוב לשים לב?
חשבון גבולות - תנאים ולמה חשוב לשים לב?
למה:
$0\leq d_n\rightarrow d \Rightarrow 0\leq d$
למה: $0\leq d_n\rightarrow d \Rightarrow 0\leq d$
משפט:
גבול מכבד אי שיוויון חלש
משפט: גבול מכבד אי שיוויון חלש
רעיון ההוכחה של גבול מכבד א״ש חלש
רעיון ההוכחה של גבול מכבד א״ש חלש
משפט הסנדוויץ
משפט הסנדוויץ
רעיון ההוכחה של משפט הסנדוויץ
רעיון ההוכחה של משפט הסנדוויץ
מבחן השורש להתכנסות סדרות
מבחן השורש להתכנסות סדרות
הוכחת מבחן השורש להתכנסות סדרות
הוכחת מבחן השורש להתכנסות סדרות
מבחן השורש הגבולי
מבחן השורש הגבולי
Study Notes
Bounded Sets and Supremum
- A set is bounded below if there exists a lower bound, which implies all numbers in the set are greater than or equal to this bound.
- A set is bounded above if there exists an upper bound, meaning all numbers in the set are less than or equal to this bound.
- The maximum of a set is the greatest element within the set.
- The minimum of a set is the smallest element within the set.
- If a set has a minimum or maximum, their existence signifies that the set is bounded.
Supremum and Infimum
- If ( b > a ) for ( a, b \in \mathbb{R} ), then ( \sup(a,b) = b ) and ( \inf(a,b) = a ).
- The supremum (least upper bound) can be defined as the smallest number that is greater than or equal to all elements in a set.
- The infimum (greatest lower bound) is the largest number that is less than or equal to all elements in a set.
Completeness Axiom
- The Axiom of Completeness states that every non-empty set of real numbers that is bounded above has a supremum, and every non-empty set that is bounded below has an infimum.
- This axiom ensures the existence of maximum and minimum values in relevant sets.
Dense Sets
- A set ( A ) is said to be dense in a set ( B ) if between every two elements of ( B ), there exists an element of ( A ).
- Rational numbers are dense in real numbers, meaning that between any two real numbers, there exists a rational number.
Convergence of Sequences
- A sequence is bounded if it does not diverge to infinity.
- A convergent sequence approaches a limit as the number of terms increases.
- The limit of ( \frac{1}{n} ) as ( n \rightarrow \infty ) approaches 0.
- The limit of ( (-1)^n ) does not converge; it oscillates between -1 and 1.
- If ( c \in (0,1) ), then ( \lim_{n \rightarrow \infty} c^n = 0 ).
- For ( a > 1 ), ( a^{\frac{1}{n}} ) approaches 1 as ( n \rightarrow \infty ).
Properties of Limits
- If two sequences differ by finitely many terms, they will converge or diverge together.
- For a positive convergent sequence, ( \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{a_n} = 0 ) if it converges to a limit other than zero.
- A sequence that is not bounded will diverge.
Rational Approximations
- For every real number, there exists a sequence of rational numbers that converges to it.
Summary Statements
- A bounded sequence implies converging behavior, while unbounded sequences will either diverge to ( +\infty ) or ( -\infty ).
- The properties of maximum, minimum, supremum, and infimum are crucial for understanding the behavior of sets and sequences in real analysis.
Studying That Suits You
Use AI to generate personalized quizzes and flashcards to suit your learning preferences.
Description
This quiz covers the concept of bounded above sets in mathematical analysis. Participants will explore the definitions, properties, and examples that illustrate this fundamental idea. Enhance your understanding of real analysis with this focused quiz.
