Matematika Kelas 10: Prime Factorization dan LCM

Prime Factorization

• A method of expressing a positive integer as a product of prime numbers.
• Each prime factor is raised to a non-zero power.
• The prime factorization of a number is unique, except for the order in which the prime factors are listed.

Example: 24 = 2^3 × 3^1

Least Common Multiple (LCM)

• The smallest positive integer that is a multiple of two or more integers.
• Can be found using the prime factorization method:
  1. Find the prime factorization of each number.
  2. Identify the highest power of each prime factor.
  3. Multiply the highest powers of each prime factor.

Example: Find the LCM of 12 and 15: 12 = 2^2 × 3^1 15 = 3^1 × 5^1 LCM = 2^2 × 3^1 × 5^1 = 60

Greatest Common Divisor (GCD)

• The largest positive integer that divides two or more integers without leaving a remainder.
• Can be found using the prime factorization method:
  1. Find the prime factorization of each number.
  2. Identify the common prime factors.
  3. Multiply the common prime factors with the lowest power.

Example: Find the GCD of 12 and 15: 12 = 2^2 × 3^1 15 = 3^1 × 5^1 GCD = 3^1 = 3

Factor Tree

• A diagram used to find the prime factorization of a number.
• Each branch represents a factor of the number.
• The branches are split until only prime factors remain.

Example: Factor tree for 24:

      24
     /  \
    12   2
   /  \
  6    2
 /  \
3   2

The prime factorization of 24 is 2^3 × 3^1, which can be read directly from the factor tree.

Faktorisasi Prima

• Metode untuk mengeluarkan bilangan positif sebagai produk bilangan prima.
• Setiap faktor prima dinaikkan ke pangkat yang tidak nol.
• Faktorisasi prima dari suatu bilangan adalah unik, kecuali untuk urutan dalam daftar faktor prima.

Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)

• Bilangan positif terkecil yang merupakan kelipatan dari dua atau lebih bilangan.
• Dapat ditemukan menggunakan metode faktorisasi prima:
  • Temukan faktorisasi prima dari setiap bilangan.
  • Identifikasi pangkat tertinggi dari setiap faktor prima.
  • Kalikan pangkat tertinggi dari setiap faktor prima.

Pembagi Persekutuan Terbesar (FPB)

• Bilangan positif terbesar yang dapat membagi dua atau lebih bilangan tanpa sisa.
• Dapat ditemukan menggunakan metode faktorisasi prima:
  • Temukan faktorisasi prima dari setiap bilangan.
  • Identifikasi faktor prima yang sama.
  • Kalikan faktor prima yang sama dengan pangkat terendah.

Pohon Faktor

• Diagram yang digunakan untuk menemukan faktorisasi prima dari suatu bilangan.
• Setiap cabang merepresentasikan faktor dari bilangan tersebut.
• Cabang-cabang dibagi sampai hanya faktor prima yang tersisa.

Contoh

• Faktorisasi prima dari 24: 24 = 2^3 × 3^1
• KPK dari 12 dan 15: 60
• FPB dari 12 dan 15: 3
• Pohon faktor untuk 24:

      24
     /  \
    12   2
   /  \
  6    2
 /  \
3   2

Faktorisasi prima dari 24 dapat dibaca langsung dari pohon faktor.