Podcast
Questions and Answers
Lim $\frac{1}{x^2}$ saat $x$ mendekati 0 adalah $-\infty$.
Lim $\frac{1}{x^2}$ saat $x$ mendekati 0 adalah $-\infty$.
False (B)
Ekspresi $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x}$ tidak mendekati $\infty$.
Ekspresi $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x}$ tidak mendekati $\infty$.
True (A)
Jika $\lim_{x \to 0} f(x) = -\infty$, maka $\lim_{x \to 0} g(x)$ juga $-\infty$ jika $f(x) \leq g(x)$.
Jika $\lim_{x \to 0} f(x) = -\infty$, maka $\lim_{x \to 0} g(x)$ juga $-\infty$ jika $f(x) \leq g(x)$.
True (A)
Teorema 4.3.7 menyatakan bahwa jika $\lim f(x) = \infty$, maka $\lim g(x)$ bisa $-\infty$.
Teorema 4.3.7 menyatakan bahwa jika $\lim f(x) = \infty$, maka $\lim g(x)$ bisa $-\infty$.
Dalam bukti formal, $\delta(\beta)$ adalah fungsi yang menentukan jarak untuk memastikan limit.
Dalam bukti formal, $\delta(\beta)$ adalah fungsi yang menentukan jarak untuk memastikan limit.
Apabila $\lim_{x \to c} g(x) = -\infty$, maka $\lim_{x \to c} f(x)$ selalu harus $\infty$.
Apabila $\lim_{x \to c} g(x) = -\infty$, maka $\lim_{x \to c} f(x)$ selalu harus $\infty$.
Statement $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x}$ satu sisi menjadi $\infty$.
Statement $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x}$ satu sisi menjadi $\infty$.
Fungsi yang mengandung $\frac{1}{x}$ akan selalu mendekati $0$ saat $x$ mendekati 0.
Fungsi yang mengandung $\frac{1}{x}$ akan selalu mendekati $0$ saat $x$ mendekati 0.
Jika $L = ext{lim} f$, maka $∀ (x_n) ∈ A ∩ (a, ∞)$ dengan $ ext{lim}(x_n) = ∞$ berimplikasi bahwa $ ext{lim}(f(x_n)) = L$.
Jika $L = ext{lim} f$, maka $∀ (x_n) ∈ A ∩ (a, ∞)$ dengan $ ext{lim}(x_n) = ∞$ berimplikasi bahwa $ ext{lim}(f(x_n)) = L$.
Jika $f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)$ berlaku untuk semua $x ∈ A$ dan $ ext{lim} f(x) = L$ serta $ ext{lim} h(x) = L$, maka $g(x)$ juga pasti konvergen ke $L$.
Jika $f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)$ berlaku untuk semua $x ∈ A$ dan $ ext{lim} f(x) = L$ serta $ ext{lim} h(x) = L$, maka $g(x)$ juga pasti konvergen ke $L$.
Kontradiksi dari asumsi bahwa $ ext{lim} f(x) ̸= L$ terbentuk jika terdapat $ε_0 > 0$ dan $|f(x) − L| < ε_0$ untuk semua $x$.
Kontradiksi dari asumsi bahwa $ ext{lim} f(x) ̸= L$ terbentuk jika terdapat $ε_0 > 0$ dan $|f(x) − L| < ε_0$ untuk semua $x$.
Jika diberikan bahwa $L = ext{lim} f$, maka untuk setiap $ε > 0$, terdapat $K(ε)$ dengan jika $n > K(ε)$, maka $|f(x_n) − L| < ε$.
Jika diberikan bahwa $L = ext{lim} f$, maka untuk setiap $ε > 0$, terdapat $K(ε)$ dengan jika $n > K(ε)$, maka $|f(x_n) − L| < ε$.
Teorema 4.3.11 menyatakan bahwa jika $L = ext{lim} f(x)$, maka juga berlaku untuk $x → −∞$.
Teorema 4.3.11 menyatakan bahwa jika $L = ext{lim} f(x)$, maka juga berlaku untuk $x → −∞$.
Misalkan $g(x) = rac{1}{x}$, maka $ ext{lim} g(x)$ ketika $x → ∞$ adalah $0$.
Misalkan $g(x) = rac{1}{x}$, maka $ ext{lim} g(x)$ ketika $x → ∞$ adalah $0$.
Jika terdapat barisan $(x_n)$ dengan $ ext{lim}(x_n) = ∞$, maka $|f(x_n) − L| ≥ ε_0$ untuk semua $n$ menandakan bahwa $f(x)$ tidak konvergen ke $L$.
Jika terdapat barisan $(x_n)$ dengan $ ext{lim}(x_n) = ∞$, maka $|f(x_n) − L| ≥ ε_0$ untuk semua $n$ menandakan bahwa $f(x)$ tidak konvergen ke $L$.
Teorema Apit hanya berlaku jika $f(x)$, $g(x)$, dan $h(x)$ didefinisikan pada interval terbatas.
Teorema Apit hanya berlaku jika $f(x)$, $g(x)$, dan $h(x)$ didefinisikan pada interval terbatas.
Jika $lim_{x o ext{∞}} f(x) = ∞$, maka setiap barisan $(x_n)$ di $(a, ∞)$ dengan $lim(x_n) = ∞$ menghasilkan $lim(f(x_n)) = ∞$.
Jika $lim_{x o ext{∞}} f(x) = ∞$, maka setiap barisan $(x_n)$ di $(a, ∞)$ dengan $lim(x_n) = ∞$ menghasilkan $lim(f(x_n)) = ∞$.
Untuk setiap $α
ightarrow R$, jika $lim_{x o ext{∞}} f(x)
eq ∞$, maka ada $K > a$ di mana $f(x) > α$ untuk semua $x > K$.
Untuk setiap $α ightarrow R$, jika $lim_{x o ext{∞}} f(x) eq ∞$, maka ada $K > a$ di mana $f(x) > α$ untuk semua $x > K$.
Pelaksanaan dari teorema menyatakan bahwa jika $lim_{x o ext{∞}} f(x) = -∞$, maka $lim(f(x_n)) = -∞$ untuk setiap barisan $(x_n)$ di $(a, ∞)$.
Pelaksanaan dari teorema menyatakan bahwa jika $lim_{x o ext{∞}} f(x) = -∞$, maka $lim(f(x_n)) = -∞$ untuk setiap barisan $(x_n)$ di $(a, ∞)$.
Ada saatnya di mana $lim_{x o ext{∞}} f(x) = ∞$ tetapi $f(x)$ tidak lebih besar dari $α_0$ untuk semua $K > a$.
Ada saatnya di mana $lim_{x o ext{∞}} f(x) = ∞$ tetapi $f(x)$ tidak lebih besar dari $α_0$ untuk semua $K > a$.
Jika terdapat barisan $(x_n)$ dengan $lim(x_n) = -∞$, maka dapat disimpulkan bahwa $lim(f(x_n)) = -∞$ jika $lim_{x o -∞} f(x) = -∞$.
Jika terdapat barisan $(x_n)$ dengan $lim(x_n) = -∞$, maka dapat disimpulkan bahwa $lim(f(x_n)) = -∞$ jika $lim_{x o -∞} f(x) = -∞$.
Jika $f(x)$ lebih kecil dari $α_0$ untuk beberapa $x > K$ dan $K$ bernilai positif, maka $lim_{x o ext{∞}} f(x)$ tidak ada.
Jika $f(x)$ lebih kecil dari $α_0$ untuk beberapa $x > K$ dan $K$ bernilai positif, maka $lim_{x o ext{∞}} f(x)$ tidak ada.
Setiap fungsi yang memiliki $lim_{x o ext{∞}} f(x) = ∞$ pasti memenuhi sifat kontinu.
Setiap fungsi yang memiliki $lim_{x o ext{∞}} f(x) = ∞$ pasti memenuhi sifat kontinu.
Jika untuk setiap $K > a$ maupun $x > K$, $f(x) > α$, maka $lim_{x o ext{∞}} f(x) = ∞$.
Jika untuk setiap $K > a$ maupun $x > K$, $f(x) > α$, maka $lim_{x o ext{∞}} f(x) = ∞$.
Jika koefisien tertinggi dari fungsi polinomial positif, maka limit p(x) saat x mendekati tak hingga adalah $∞$.
Jika koefisien tertinggi dari fungsi polinomial positif, maka limit p(x) saat x mendekati tak hingga adalah $∞$.
Limit p(x) saat x mendekati $-∞$ untuk n genap dan an positif adalah $-∞$.
Limit p(x) saat x mendekati $-∞$ untuk n genap dan an positif adalah $-∞$.
Fungsi polinomial tidak dapat memiliki limit yang berbeda tergantung pada arah pendekatan (x menuju $∞$ atau $-∞$).
Fungsi polinomial tidak dapat memiliki limit yang berbeda tergantung pada arah pendekatan (x menuju $∞$ atau $-∞$).
Jika $g(x) = x^n$ dan $n$ genap, maka $ ext{lim } g(x) = - ext{∞}$ saat $x o - ext{∞}$.
Jika $g(x) = x^n$ dan $n$ genap, maka $ ext{lim } g(x) = - ext{∞}$ saat $x o - ext{∞}$.
Untuk setiap $eta < 0$, ada $K(eta)$ sedemikian rupa sehingga untuk $x < K(eta)$, berlaku $g(x) = x^n o - ext{∞}$ saat $n$ ganjil.
Untuk setiap $eta < 0$, ada $K(eta)$ sedemikian rupa sehingga untuk $x < K(eta)$, berlaku $g(x) = x^n o - ext{∞}$ saat $n$ ganjil.
Untuk setiap $0 < eta < 1$, $K(eta)$ dapat dipilih sebagai 1 dalam pembuktian limit $g(x) = x^n$.
Untuk setiap $0 < eta < 1$, $K(eta)$ dapat dipilih sebagai 1 dalam pembuktian limit $g(x) = x^n$.
Nilai $K(eta)$ yang digunakan dalam pembuktian untuk $g(x) = x^n$ dapat ditentukan dengan memaksimalkan dua angka yaitu $-1$ dan $eta$.
Nilai $K(eta)$ yang digunakan dalam pembuktian untuk $g(x) = x^n$ dapat ditentukan dengan memaksimalkan dua angka yaitu $-1$ dan $eta$.
Untuk semua $eta > 0$, $ ext{lim } g(x)$ tidak dapat dinyatakan dengan jelas tanpa menentukan $K(eta)$.
Untuk semua $eta > 0$, $ ext{lim } g(x)$ tidak dapat dinyatakan dengan jelas tanpa menentukan $K(eta)$.
Jika $x > 1$, maka $g(x) = x^n > x$ untuk semua $n$.
Jika $x > 1$, maka $g(x) = x^n > x$ untuk semua $n$.
Dalam membuktikan limit, kita bisa memilih $K(eta) = -1$ untuk semua nilai $eta$.
Dalam membuktikan limit, kita bisa memilih $K(eta) = -1$ untuk semua nilai $eta$.
Jika $L > 0$, maka lim $f(x)$ sama dengan $ ext{∞}$ jika dan hanya jika lim $g(x)$ sama dengan $ ext{∞}$.
Jika $L > 0$, maka lim $f(x)$ sama dengan $ ext{∞}$ jika dan hanya jika lim $g(x)$ sama dengan $ ext{∞}$.
Jika lim $g(x)$ sama dengan $ ext{∞}$, maka lim $f(x)$ sama dengan $ ext{∞}$ jika $L < 0$.
Jika lim $g(x)$ sama dengan $ ext{∞}$, maka lim $f(x)$ sama dengan $ ext{∞}$ jika $L < 0$.
Sebuah barisan $x_n$ memiliki lim $x_n$ sama dengan $ ext{∞}$ jika $x_n > a+n$ untuk setiap $n ext{ } ext{ } ext{ dalam } ext{ } N$.
Sebuah barisan $x_n$ memiliki lim $x_n$ sama dengan $ ext{∞}$ jika $x_n > a+n$ untuk setiap $n ext{ } ext{ } ext{ dalam } ext{ } N$.
Jika tidak ada $K(α)$ sehingga untuk setiap $x > K(α)$ berlaku $g(x) < α$, maka lim $g(x)$ adalah $- ext{∞}$.
Jika tidak ada $K(α)$ sehingga untuk setiap $x > K(α)$ berlaku $g(x) < α$, maka lim $g(x)$ adalah $- ext{∞}$.
Teorema 4.3.15 menyatakan bahwa jika $g(x) > 0$ untuk setiap $x > a$, maka limit $g(x)$ harus selalu positif.
Teorema 4.3.15 menyatakan bahwa jika $g(x) > 0$ untuk setiap $x > a$, maka limit $g(x)$ harus selalu positif.
Pernyataan bahwa lim $f(x) = - ext{∞}$ jika dan hanya jika lim $g(x) = ext{∞}$ adalah benar untuk $L < 0$.
Pernyataan bahwa lim $f(x) = - ext{∞}$ jika dan hanya jika lim $g(x) = ext{∞}$ adalah benar untuk $L < 0$.
Jika lim f(x) = ∞, maka f(x) selalu lebih besar dari $g(x)$ untuk $x > K(α)$.
Jika lim f(x) = ∞, maka f(x) selalu lebih besar dari $g(x)$ untuk $x > K(α)$.
Terdapat kontradiksi jika lim $f(x)$ tidak sama dengan $ ext{∞}$ dan ada barisan $x_n$ dengan lim $x_n = ext{∞}$.
Terdapat kontradiksi jika lim $f(x)$ tidak sama dengan $ ext{∞}$ dan ada barisan $x_n$ dengan lim $x_n = ext{∞}$.
Flashcards
Limit x->0 (1/x^2)
Limit x->0 (1/x^2)
Menunjukkan bahwa jika x mendekati 0, maka nilai 1/x^2 mendekati tak hingga negatif.
Limit x->0 (1/x) tak terdefinisi
Limit x->0 (1/x) tak terdefinisi
Limit 1/x saat x mendekati 0 tidak memiliki nilai tetap (terdefinisi).
Teorema Limit (f(x) ≤ g(x))
Teorema Limit (f(x) ≤ g(x))
Jika f(x) ≤ g(x) untuk semua x kecuali c, dan limit f(x) mendekati tak hingga, maka limit g(x) juga mendekati tak hingga saat x mendekati c.
Cluster Point
Cluster Point
Signup and view all the flashcards
Limit tak hingga (∞)
Limit tak hingga (∞)
Signup and view all the flashcards
Limit negatif tak hingga (−∞)
Limit negatif tak hingga (−∞)
Signup and view all the flashcards
δ(α) > 0
δ(α) > 0
Signup and view all the flashcards
Limit Fungsi
Limit Fungsi
Signup and view all the flashcards
Limit of a function at infinity
Limit of a function at infinity
Signup and view all the flashcards
Equivalence of limit definitions
Equivalence of limit definitions
Signup and view all the flashcards
Limit at infinity proof (i implies ii)
Limit at infinity proof (i implies ii)
Signup and view all the flashcards
Limit at infinity proof (ii implies i)
Limit at infinity proof (ii implies i)
Signup and view all the flashcards
Limit of a function at negative infinity
Limit of a function at negative infinity
Signup and view all the flashcards
Squeeze Theorem (at infinity)
Squeeze Theorem (at infinity)
Signup and view all the flashcards
lim 1/x as x approaches infinity
lim 1/x as x approaches infinity
Signup and view all the flashcards
Proof by contradiction
Proof by contradiction
Signup and view all the flashcards
Limit tak hingga dari fungsi
Limit tak hingga dari fungsi
Signup and view all the flashcards
Limit f(x) = ∞ (x→∞)
Limit f(x) = ∞ (x→∞)
Signup and view all the flashcards
Limit tak hingga (∞) dan barisan
Limit tak hingga (∞) dan barisan
Signup and view all the flashcards
Bukti implikasi limit tak hingga.
Bukti implikasi limit tak hingga.
Signup and view all the flashcards
Bukti Limit f(x) = ∞ (x→∞) dengan kontradiksi
Bukti Limit f(x) = ∞ (x→∞) dengan kontradiksi
Signup and view all the flashcards
Barisan (xn)
Barisan (xn)
Signup and view all the flashcards
Definisi Limit Fungsi
Definisi Limit Fungsi
Signup and view all the flashcards
Kontradiksi
Kontradiksi
Signup and view all the flashcards
Limit Fungsi Polinomial (x→∞)
Limit Fungsi Polinomial (x→∞)
Signup and view all the flashcards
Limit Fungsi Polinomial (x→-∞)
Limit Fungsi Polinomial (x→-∞)
Signup and view all the flashcards
Jika lim g(x) = ∞, maka lim f(x) = ∞
Jika lim g(x) = ∞, maka lim f(x) = ∞
Signup and view all the flashcards
Bukti Formal Limit Tak Hingga
Bukti Formal Limit Tak Hingga
Signup and view all the flashcards
Contoh Soal: Limit g(x) = xn untuk x → ∞
Contoh Soal: Limit g(x) = xn untuk x → ∞
Signup and view all the flashcards
Contoh Soal: Limit g(x) = xn untuk x → -∞
Contoh Soal: Limit g(x) = xn untuk x → -∞
Signup and view all the flashcards
Bukti Formal Limit Negatif Tak Hingga
Bukti Formal Limit Negatif Tak Hingga
Signup and view all the flashcards
Teorema 4.3.15
Teorema 4.3.15
Signup and view all the flashcards
Jika L > 0, apa hubungan lim f(x) dan lim g(x) saat x→∞?
Jika L > 0, apa hubungan lim f(x) dan lim g(x) saat x→∞?
Signup and view all the flashcards
Jika L < 0, apa hubungan lim f(x) dan lim g(x) saat x→∞?
Jika L < 0, apa hubungan lim f(x) dan lim g(x) saat x→∞?
Signup and view all the flashcards
Bagaimana membuktikan lim g(x) = ∞ jika lim f(x) = ∞ (L>0)?
Bagaimana membuktikan lim g(x) = ∞ jika lim f(x) = ∞ (L>0)?
Signup and view all the flashcards
Bagaimana membuktikan lim f(x) = ∞ jika lim g(x) = ∞ (L>0)?
Bagaimana membuktikan lim f(x) = ∞ jika lim g(x) = ∞ (L>0)?
Signup and view all the flashcards
Apa konsep 'kontradiksi' dalam konteks pembuktian teorema?
Apa konsep 'kontradiksi' dalam konteks pembuktian teorema?
Signup and view all the flashcards
Apa tujuan dari latihan modifikasi teorema 4.3.14?
Apa tujuan dari latihan modifikasi teorema 4.3.14?
Signup and view all the flashcards
Bagaimana hubungan antara teorema 4.3.14 dan teorema 4.3.15?
Bagaimana hubungan antara teorema 4.3.14 dan teorema 4.3.15?
Signup and view all the flashcards
Study Notes
Bab 4 Limit
- Bab ini membahas perluasan konsep limit untuk mengakomodasi pembuktian limit fungsi yang tidak tercakup dalam subbab sebelumnya (subbab 4.1).
- Pembahasan dibagi dalam tiga bagian: limit kiri dan kanan, limit tak hingga, dan limit di ketakhinggaan.
Limit Satu Arah
- Definisi limit kanan dan kiri dari suatu fungsi pada titik c.
- Penjelasan tentang limit kanan dan kiri suatu fungsi. Kondisi kapan limit kanan dan kiri suatu fungsi ada tetapi nilainya berbeda.
Teorema 4.3.2
- Pernyataan yang setara dengan limit kanan dari suatu fungsi.
- Setiap barisan yang konvergen ke c akan memiliki barisan nilai fungsi yang konvergen ke L.
- Bukti teorema ini serupa dengan bukti teorema 4.1.8.
Contoh
- Contoh soal limit satu arah
- Contoh fungsi yang menunjukkan limit satu arah dan koneksinya dengan limit kanan dan kiri suatu titik.
Teorema 4.3.3
- Hubungan antara limit kiri, limit kanan, dan limit suatu fungsi pada titik c.
- Jika c merupakan titik cluster point dari fungsi, maka ketiga limit (limit kiri, limit kanan, dan limit) tersebut akan sama.
Contoh fungsi sign
- Contoh fungsi tanda (sign) dan pembuktian limit kiri dan kanan dari fungsi.
- Pembuktian limit fungsi tanda (sign) pada 0.
Contoh g(x) = 1/ex
- Pembuktian limit dari g(x) = 1/ex pada x mendekati 0 dari positif dan negatif.
- Menggunakan ketaksamaan untuk membuktikan limit tak ada pada x mendekati 0 dari positif dan limit g(x) = 0 pada x yang mendekati 0 dari negatif.
Contoh h(x) = 1/ex+1
- Buktikan limit h(x) sebagai x mendekati 0 dari positif dan negatif.
- Menggunakan teorema apit.
Limit Tak Hingga
- Definisi limit tak hingga. Kondisi suatu fungsi dikatakan mendekati positif atau negatif tak hingga.
- Ilustrasi grafik dan definisi limit tak hingga.
- Contoh penggunaan untuk membatasi nilai limit pada suatu bilangan.
Contoh lainnya
- Bukti limit 1/x² sebagai x mendekati 0.
Limit di Ketakhinggaan
- Definisi limit di ketakhinggaan.
- Bagaimana menentukan limit fungsi saat variabel mendekati positif atau negatif tak hingga.
- Modifikasi definisi untuk lim f(x) = L sebagai x mendekati positif atau negatif tak hingga.
Teorema 4.3.7
- Hubungan antara dua fungsi yang memiliki limit. Jika limit pertama menuju tak hingga, maka limit kedua juga menuju tak hingga. Jika limit kedua menuju negatif tak hingga, maka limit pertama juga menuju negatif tak hingga.
###Teorema 4.3.14
- Bagaimana pernyataan mengenai limit bergantung pada barisan. Jika suatu barisan konvergen ke nilai tertentu, maka limit dari barisan nilai fungsi akan konvergen ke nilai tertentu pula.
Teorema 4.3.15
- Hubungan antara limit dari dua fungsi, f(x) dan g(x).
- Jika nilai suatu limit L positif, kondisi kapan limit f(x) akan menuju positif atau negatif tak hingga. Jika nilai suatu limit L negatif, kondisi kapan limit f(x) akan menuju positif atau negatif tak hingga.
###Contoh untuk limit fungsi polinomial
- Pembuktian limit dari suatu fungsi polinomial sebagai x menuju tak hingga, apakah menuju positif atau negatif tak hingga bergantung pada koefisien tertinggi.
###Daftar Pustaka
- Daftar pustaka dari materi yang dipelajari dalam Bab 4 Limit.
Studying That Suits You
Use AI to generate personalized quizzes and flashcards to suit your learning preferences.
Related Documents
Description
Quiz ini membahas konsep limit dalam matematika, termasuk limit satu arah, limit kiri dan kanan, serta limit tak hingga. Anda akan belajar melalui teorema dan contoh soal terkait limit pada berbagai fungsi. Uji pemahaman Anda tentang pembuktian limit dan aplikasinya dalam analisis fungsi.
