Matematická analýza: spojitost, limity, integrály

Matematická analýza 1 - Stavebnictví-Architektura

Cvičení 1

• Definována funkce $f(x)$, která má pro $x \le 2$ předpis $\alpha x^2 + \beta x$ a pro $x > 2$ předpis $\gamma x + 1$, kde $\alpha, \beta, \gamma$ jsou reálná čísla.
• Úkolem je určit hodnoty $\alpha, \beta, \gamma$, pro které je $f$ spojitá a diferencovatelná v bodě $x_0 = 2$.
• Funkce $f$ je následně studována pro hodnoty $\alpha = 1, \beta = -1, \gamma = 1$ (definiční obor, znaménko, symetrie, limity, asymptoty, první derivace, monotónnost, extrémy, druhá derivace, konvexnost/konkávnost, inflexní body).
• Cílem je nakreslit kvalitativní graf funkce na základě provedené analýzy.

Cvičení 2

• Je potřeba vypočítat limitu $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x) - x\cos(x)}{x^3}$.

Cvičení 3

• Je potřeba vypočítat integrál $\int_2^3 \frac{1}{x^2 - x} dx$.

Cvičení 4

• Zkoumá se konvergence řady $\sum_{n=1}^\infty \frac{n + 2}{n^3 + n + 1}$.

Cvičení 5

• Cílem je najít řešení Cauchyho úlohy: $y' = \frac{2x}{x^2 + 1}y$, s počáteční podmínkou $y(0) = 2$.

Matematika pro informatiku

Kombinatorika

• Kombinatorika se zabývá metodami počítání.

Základní pravidlo součinu

• Pro množiny $A_1, A_2, ..., A_n$, kde $|A_i| = k_i$, počet způsobů, jak vybrat jeden prvek z každé množiny, je $k_1 \cdot k_2 \cdot ... \cdot k_n$.
• Příklad: $A_1 = {a, b, c}$, $A_2 = {1, 2}$, $|A_1| = 3$, $|A_2| = 2$, počet možností je $3 \cdot 2 = 6$, konkrétně $(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)$.

Variace

• Počet způsobů, jak vybrat $k$ prvků z množiny $n$ prvků, kde záleží na pořadí, je $V(n, k) = n(n - 1)(n - 2)...(n - k + 1) = \frac{n!}{(n - k)!}$.
• Příklad: $n = 5$, $k = 2$, $V(5, 2) = 5 \cdot 4 = 20$.

Permutace

• Počet způsobů, jak uspořádat množinu $n$ prvků, je $P(n) = n!$.
• Příklad: $n = 3$, $P(3) = 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$.

Kombinace

• Počet způsobů, jak vybrat $k$ prvků z množiny $n$ prvků, kde nezáleží na pořadí, je $C(n, k) = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n - k)!}$.
• Příklad: $n = 5$, $k = 2$, $C(5, 2) = \binom{5}{2} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$.

Kombinace s opakováním

• Počet způsobů, jak vybrat $k$ prvků z množiny $n$ prvků, kde nezáleží na pořadí a prvky se mohou opakovat, je $CR(n, k) = \binom{n + k - 1}{k} = \frac{(n + k - 1)!}{k!(n - 1)!}$.
• Příklad: $n = 3$, $k = 2$, $CR(3, 2) = \binom{3 + 2 - 1}{2} = \binom{4}{2} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6$.

Permutace s opakováním

• Počet způsobů, jak uspořádat množinu $n$ prvků, kde je $n_1$ prvků stejných, $n_2$ prvků stejných, ..., $n_k$ prvků stejných, je $PR(n; n_1, n_2, ..., n_k) = \frac{n!}{n_1!n_2!...n_k!}$, kde $n_1 + n_2 + ... + n_k = n$.
• Příklad: $n = 5$, $n_1 = 2$, $n_2 = 3$, $PR(5; 2, 3) = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$.

Matice

Definice

• Matice je obdélníková tabulka čísel nebo jiných matematických objektů uspořádaných do řádků a sloupců.
• Rozměr: $m \times n$, kde $m$ je počet řádků a $n$ je počet sloupců.
• Prvky: $a_{ij}$ značí prvek v $i$-tém řádku a $j$-tém sloupci.

Příklad

• $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$ je matice $2 \times 3$.

Speciální matice

• Čtvercová matice: Počet řádků se rovná počtu sloupců ($m = n$).
• Jednotková matice: Čtvercová matice s 1 na hlavní diagonále a 0 všude jinde. Značí se $I$. Příklad: $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
• Nulová matice: Všechny prvky jsou 0.

Operace s maticemi

• Sčítání/Odčítání: Provádí se po prvcích, matice musí mít stejný rozměr. $C = A + B$, kde $c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$.
• Skalární násobení: Každý prvek se vynásobí skalárem. $B = kA$, kde $b_{ij} = k \cdot a_{ij}$.
• Násobení matic: Počet sloupců v první matici se musí rovnat počtu řádků ve druhé matici. Pokud $A$ je $m \times n$ a $B$ je $n \times p$, pak $C = AB$ je $m \times p$. $c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj}$.

Transpozice

• Transponovaná matice k matici $A$, značená $A^T$, se získá záměnou řádků a sloupců. Pokud $A$ je $m \times n$, pak $A^T$ je $n \times m$. $(A^T){ij} = a{ji}$.

Příklad

• $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \ 5 & 6 \end{bmatrix}$, pak $A^T = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 5 \ 2 & 4 & 6 \end{bmatrix}$.

Inverze

• Inverzní matice ke čtvercové matici $A$, značená $A^{-1}$, je matice taková, že $AA^{-1} = A^{-1}A = I$. Pouze čtvercové matice mohou mít inverzi. Matice je invertibilní (regulární), pokud je její determinant nenulový.

Determinant

• Skalární hodnota, která se vypočítá z prvků čtvercové matice. Pro matici $2 \times 2$, $A = \begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix}$, platí $\det(A) = ad - bc$. Pro větší matice se determinanty počítají pomocí kofaktorového rozvoje nebo jiných metod.

Vlastnosti

• $(A + B)^T = A^T + B^T$
• $(kA)^T = kA^T$
• $(AB)^T = B^T A^T$
• $(A^{-1})^{-1} = A$
• $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$

Aplikace

• Řešení systémů lineárních rovnic
• Lineární transformace
• Počítačová grafika
• Analýza dat
• Fyzika a inženýrství