Matemáticas: Conceptos Básicos y Teoremas

3.2. CONCEPTOS BÁSICOS

• Una partición de un conjunto es su división en subconjuntos mutuamente excluyentes y exhaustivos.
• Los conjuntos A y B, definidos en el Ejemplo 3.10, definen una partición de Ω, ya que A y B son mutuamente excluyentes, A∩B = ∅, y son exhaustivos, AUB = Ω.

Teoremas

• Teorema 3.1 (Idempotencia) Para cualquier subconjunto A de Ω, se cumple:
  • AU A = A
  • ANA = A
• Teorema 3.2 (Ley Asociativa) Para subconjuntos A, B y C de Ω, se cumple:
  • (AUB) UC = AU(BUC) = AUBUC
  • (A∩B)∩C = A∩(B∩C) = A∩B∩C
• Teorema 3.3 (Ley Conmutativa) Para subconjuntos A y B de Ω, se cumple:
  • AUB = B UA
  • A∩B = B∩A
• Teorema 3.4 Si A y B representan subconjuntos de Ω, entonces:
  • A-B = A∩B^c
• Teorema 3.5 (Identidad) Para cualquier subconjunto A de Ω, se cumple:
  • AU Ω = Ω
  • ΑΠΩ = A
  • AU ∅ = A
  • A∩∅ = Ø
• Teorema 3.6 (Complemento) Para cualquier subconjunto A de Ω, se cumple:
  • AU A^c = Ω
  • A∩A^c = Ø
  • Ω^c = Ø
  • ∅^c = Ω
• Teorema 3.7 Para subconjuntos A y B de Ω, se cumple:
  • A = (A∩B) U (A∩B^c)
• Teorema 3.8 (Leyes de Morgan) Para subconjuntos A y B de Ω, se cumple:
  • (AUB)^c = A^c ∩ B^c
  • (A∩B)^c = A^c U B^c

Definición 3.12 (Regla de la multiplicación)

• Si un procedimiento se puede realizar de n₁ maneras diferentes y después de esto, un segundo procedimiento se puede realizar de n₂ maneras diferentes, ..., y finalmente, un k-ésimo procedimiento se puede realizar de nk maneras diferentes, entonces la serie de k procedimientos se puede realizar de n₁ x n₂ x ...x nk maneras diferentes.

Definición 3.13 (Regla de la suma)

• Si un procedimiento P₁ se puede realizar de n₁ maneras diferentes y un segundo procedimiento P₂ se puede realizar de n₂ maneras diferentes, y estos procedimientos no pueden ser realizados juntos, entonces el número de maneras en que P₁ o P₂ pueden ser realizados es n₁ + n₂.

Definición 3.14 (Permutaciones)

• Una permutación es la disposición de todos o parte de los elementos de un conjunto en un orden específico.
• Si se tienen n objetos diferentes y se desean ordenar r de esos objetos, hay n maneras de elegir el primer objeto, n - 1 maneras de elegir el segundo objeto, ..., y así sucesivamente, hay n - r + 1 maneras de elegir el r-ésimo objeto.
• Por lo tanto, el número de arreglos o permutaciones diferentes está dado por n(n - 1)(n - 2)...(n - r + 1).
• Esto se denota por nPr y está dado por:
  • nPr = n!/ (n - r)!

Definición 3.15 (Combinaciones)

• Es cada una de las diferentes agrupaciones que pueden hacerse con parte o todos los elementos de un conjunto sin tener en cuenta el orden en que se encuentran.
• El número de combinaciones de n elementos diferentes tomados r a la vez, donde r ≤ n, está dado por:
  • nCr = n!/ ((n - r)!r!)

3.2.2. Experimentos Aleatorios

• Un experimento aleatorio es cualquier operación cuyo resultado no se puede predecir con certeza.
• Un experimento aleatorio o fenómeno se puede repetir indefinidamente bajo condiciones similares.
• El conjunto de posibles resultados del experimento se puede conocer de antemano, pero un resultado particular no se puede predecir.

Este cuestionario aborda los conceptos básicos de la teoría de conjuntos, incluyendo particiones y propiedades fundamentales como la idempotencia, ley asociativa y ley conmutativa. Se examinan los teoremas clave que rigen las operaciones sobre conjuntos, ayudando a consolidar el entendimiento de estos principios matemáticos esenciales.