Matemática: Potenciação e Funções

Regras de Potenciação

• Definição: A potenciação é uma operação matemática que envolve uma base e um expoente.
• Regras Básicas:
  • ( a^m \cdot a^n = a^{m+n} )
  • ( a^m / a^n = a^{m-n} )
  • ( (a^m)^n = a^{m \cdot n} )
  • ( a^0 = 1 ) (para ( a \neq 0 ))
  • ( a^{-n} = 1/a^n )

Funções Afins

• Definição: Função do tipo ( f(x) = ax + b ), onde:
  • ( a ) é o coeficiente angular (inclinação).
  • ( b ) é o coeficiente linear (intercepto).
• Características:
  • Gráfico: reta.
  • Intercepto no eixo y em ( (0, b) ).
  • Raiz: solução da equação ( ax + b = 0 ).

Funções Exponenciais

• Definição: Função do tipo ( f(x) = a \cdot b^x ), onde:
  • ( a ) é uma constante real.
  • ( b ) é a base (real e positiva).
• Características:
  • Crescimento (se ( b > 1 )) ou decrescimento (se ( 0 < b < 1 )).
  • Gráfico: curva crescente ou decrescente.
  • Intercepto no eixo y em ( (0, a) ).

Funções Quadráticas

• Definição: Função do tipo ( f(x) = ax^2 + bx + c ), onde:
  • ( a \neq 0 ).
• Características:
  • Gráfico: parábola.
  • Abertura da parábola: para ( a > 0 ) (cima) e ( a < 0 ) (baixo).
  • Vértice: ponto máximo ou mínimo da parábola.

Resolução de Equações

• Equações Lineares: Isolar a variável para encontrar a solução.
• Equações Quadráticas: Usar a fórmula de Bhaskara:
  • ( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} )
  • Discriminante (( \Delta = b^2 - 4ac )):
    • ( \Delta > 0 ): duas soluções reais.
    • ( \Delta = 0 ): uma solução real (dupla).
    • ( \Delta < 0 ): sem soluções reais.

Regras de Expoentes

• Regras Adicionais:
  • ( a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m} )
  • ( (ab)^m = a^m \cdot b^m )
  • ( (a/b)^m = a^m / b^m )

Fórmula de Bhaskara

• Uso: Resolução de equações quadráticas.
• Fórmula:
  • As soluções de ( ax^2 + bx + c = 0 ) são dadas por:
    • ( x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} )
    • ( x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} )
• Importância: Fundamental para encontrar raízes de funções quadráticas.

Regras de Potenciação

• A potenciação envolve uma base e um expoente.
• ( a^m \cdot a^n = a^{m+n} ): Multiplicação de potências com a mesma base.
• ( a^m / a^n = a^{m-n} ): Divisão de potências com a mesma base.
• ( (a^m)^n = a^{m \cdot n} ): Potência de uma potência.
• ( a^0 = 1 ) se ( a \neq 0 ): Qualquer número elevado a zero é um.
• Potência negativa: ( a^{-n} = 1/a^n ).

Funções Afins

• A função afim tem a forma ( f(x) = ax + b ).
• Coeficiente angular ( a ): Determina a inclinação da reta.
• Coeficiente linear ( b ): Ponto onde a reta intercepta o eixo y.
• A raiz da função é encontrada resolvendo ( ax + b = 0 ).

Funções Exponenciais

• A função exponencial é expressa como ( f(x) = a \cdot b^x ).
• Constante ( a ) e base ( b ) (real e positiva).
• Crescimento ocorre se ( b > 1 ) e decrescimento se ( 0 < b < 1 ).
• Gráfico apresenta uma curva, com intercepto no eixo y em ( (0, a) ).

Funções Quadráticas

• Função quadrática é dada por ( f(x) = ax^2 + bx + c ), onde ( a \neq 0 ).
• O gráfico é uma parábola.
• Abertura da parábola: para ( a > 0 ) abre para cima; para ( a < 0 ) abre para baixo.
• O vértice representa o ponto máximo ou mínimo da parábola.

Resolução de Equações

• Equações lineares: Isolar a variável para determinar a solução.
• Para equações quadráticas, utiliza-se a fórmula de Bhaskara:
  • ( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ).
• Discriminante (( \Delta = b^2 - 4ac )):
  • ( \Delta > 0 ): duas soluções reais.
  • ( \Delta = 0 ): uma solução real dupla.
  • ( \Delta < 0 ): sem soluções reais.

Regras de Expoentes

• Potências com raiz: ( a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m} ).
• Multiplicação de potências de produtos: ( (ab)^m = a^m \cdot b^m ).
• Divisão de potências de quocientes: ( (a/b)^m = a^m / b^m ).

Fórmula de Bhaskara

• Fundamental para resolver equações quadráticas.
• Soluções de ( ax^2 + bx + c = 0 ) são:
  • ( x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} )
  • ( x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} )
• Importante para encontrar as raízes da função quadrática.