Matematica Lineare - Coordinate e Trasformazioni
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Questions and Answers

Qual è la forma della quadrica quando $k_{00} > 0$ e i coefficienti $λ_1$, $λ_2$, $λ_3$ sono tutti positivi?

  • Iperboloide a una falda
  • Ellissoide (correct)
  • Punto
  • Iperboloide a due falde

    • Cosa rappresenta la condizione $k_{00} = 0$ nella forma quadratica?

  • Un'iperboloide a due falde
  • Un'iperboloide a una falda
  • Una retta
  • Un cono (correct)

    • Qual è la forma generale dell'equazione risultante dal cambiamento di coordinate?

  • λ1 (x01)² + λ2 (x02)² + λ3 (x03)² = 0
  • λ1 x01 + λ2 x02 + λ3 x03 + g0 + h0 + j0 + k0 = 0
  • λ1 (x01) + λ2 (x02) + λ3 (x03) + g0 + h0 + j0 + k0 = 0
  • λ1 (x01)² + λ2 (x02)² + λ3 (x03)² + g0 x01 + h0 x02 + j0 x03 + k0 = 0 (correct)

    • Se $λ_1$, $λ_2 > 0$ e $λ_3 < 0$, quale delle seguenti affermazioni è corretta?

    <p>La quadrica è un iperboloide a una falda.</p> Signup and view all the answers

    Quante famiglie di casi vengono considerati nella semplificazione dei termini dell'equazione?

    <p>5</p> Signup and view all the answers

    Cosa accade con la quadrica se $k_{00} < 0$?

    <p>La quadrica non ha punti.</p> Signup and view all the answers

    Quale affermazione è corretta riguardo i ranghi e gli autovalori di A?

    <p>Il rango di A è 2 se i due autovalori non sono nulli e hanno lo stesso segno.</p> Signup and view all the answers

    Qual è un criterio utilizzato per suddividere le famiglie di casi?

    <p>Il rango della matrice A</p> Signup and view all the answers

    Cosa indica il fatto che il rango di A è uguale a 3 con tutti gli autovalori dello stesso segno?

    <p>La quadriche risultanti sono ellissoidi</p> Signup and view all the answers

    Quale di queste condizioni consente di eliminare i termini lineari nella quadrica?

    <p>Traslazione attraverso la sostituzione adecuada.</p> Signup and view all the answers

    Cosa significa che i tre autovalori di A non hanno lo stesso segno?

    <p>Si ha un tipo di iperboloide</p> Signup and view all the answers

    Quale è una possibile forma della quadrica se $λ_1$, $λ_2 > 0$ e $λ_3 = 0$?

    <p>Cono</p> Signup and view all the answers

    Che tipo di equazione si ottiene da un cambiamento di coordinate che elimina i termini misti?

    <p>Un'equazione di secondo grado</p> Signup and view all the answers

    Quando $k_{00} < 0$ e $λ_1$, $λ_2 > 0$, quale è la forma della quadrica?

    <p>Iperboloide a due falde</p> Signup and view all the answers

    Quale di questi non rappresenta un tipo di quadriche derivanti dalla matrice A?

    <p>Cuboide</p> Signup and view all the answers

    Qual è il significato di λ1, λ2 e λ3 nell'equazione finale?

    <p>Autovalori della matrice A</p> Signup and view all the answers

    Qual è la forma della quadrica se $k_{00} > 0$?

    <p>Due piani paralleli</p> Signup and view all the answers

    Cosa rappresenta l'equazione $x_{12} + x_{22} + x_{32} = 1$?

    <p>Un ellissoide</p> Signup and view all the answers

    Quale affermazione è vera riguardo ai cambiamenti di coordinate isometrici?

    <p>Non influenzano la forma della quadrica.</p> Signup and view all the answers

    Qual è la forma canonica affine di una quadrica?

    <p>Un sistema di riferimento semplice possibile</p> Signup and view all the answers

    Quale delle seguenti equazioni rappresenta un iperboloide a due falde?

    <p>$x_{12} + x_{22} - x_{32} = -1$</p> Signup and view all the answers

    Qual è la classificazione metrica delle quadriche?

    <p>In 17 forme diverse</p> Signup and view all the answers

    Quale equazione rappresenta un paraboloide ellittico?

    <p>$x_{12} + x_{22} + x_{3} = 0$</p> Signup and view all the answers

    Cosa si ottiene da un'equazione canonica metrica tramite cambiamenti di coordinate affini?

    <p>Coefficienti sempre uguali a 1, -1 o 0</p> Signup and view all the answers

    Qual è l'autovalore associato all'autospazio V2?

    <p>2</p> Signup and view all the answers

    Qual è la forma finale dell'equazione dopo la traslazione?

    <p>4(x001)^2 + x - x003 = 0</p> Signup and view all the answers

    Quale delle seguenti rappresentazioni è corretta per l'autospazio V0?

    <p>span(1, 0)</p> Signup and view all the answers

    Qual è la matrice M del cambiamento di coordinate ortonormale?

    <p>M = [1/√2, -1/√2, 0; 1/2, -1/2, 0; 0, 0, 1]</p> Signup and view all the answers

    Quali sono i termini eliminati dalla traslazione?

    <p>Il termine di primo grado e il termine costante</p> Signup and view all the answers

    Qual è l'equazione originale prima della traslazione?

    <p>(x01)^2 + x1 + x - x03 + 5 = 0</p> Signup and view all the answers

    Quale delle seguenti affermazioni è vera riguardo agli autovalori di A?

    <p>Gli autovalori possono essere negativi</p> Signup and view all the answers

    Qual è l'equazione canonica metrica della quadrica data nel testo?

    <p>$X_1^2 + \frac{X_2}{6} = 0$</p> Signup and view all the answers

    Che tipo di figura geometrica rappresenta la quadrica menzionata?

    <p>Cilindro parabolico</p> Signup and view all the answers

    Quale delle seguenti equazioni non appartiene al gruppo di esercizi (8.A)?

    <p>$2X^2 + 4XY + 4Y^2 + 2XZ + 4YZ + Z^2 + 8X + 4Z = 0$</p> Signup and view all the answers

    Cosa si deve fare per portare le quadriche in forma canonica metrica?

    <p>Utilizzare un'isometria</p> Signup and view all the answers

    Quale delle seguenti equazioni è richiesta per determinare il tipo affine della quadrica?

    <p>$3X^2 + 2XY + 2Y^2 + 6YZ + 7Z^2 + 2X + 2Y + 4Z + 1 = 0$</p> Signup and view all the answers

    Quale delle seguenti quadriche non è presente nell'esercizio (8.E)?

    <p>$X^2 + Y^2 + Z^2 + tXY - 2X = 0$</p> Signup and view all the answers

    Quale condizione deve soddisfare una quadrica affinché sia classificabile come cilindro parabolico?

    <p>Deve avere un termine quadratico nullo lungo una direzione</p> Signup and view all the answers

    Study Notes

    Coordinate e Matrici

    • Coordinate indotte dalla base {e01, e02, e03} rappresentate come x = Mx0.
    • La trasformazione di coordinate porta all'equazione quadratica senza termini "misti".
    • L'equazione quadratica generale è λ1(x01)² + λ2(x02)² + λ3(x03)² + g0x01 + h0x02 + j0x03 + k0 = 0.

    Classificazione delle Quadriche

    • Le quadriche sono classificate in 17 tipi distinti, divide in 5 famiglie in base al rango della matrice A e agli autovalori.
    • Famiglie di quadriche:
      • Rango 3, autovalori dello stesso segno.
      • Rango 3, autovalori di segni diversi.
      • Rango 2, due autovalori non nulli dello stesso segno.
      • Rango 2, due autovalori non nulli di segni diversi.
      • Rango 1, un autovalore non nullo.

    Traslazione e Forma Canonica

    • Coefficienti λi possono essere resi positivi tramite opportuno cambiamento di segno.
    • È possibile eliminare i termini lineari con traslazioni, che semplifica l'equazione alla forma λ1(x001)² + λ2(x002)² + λ3(x003)² = k00.
    • Tre possibilità per k00:
      • k00 > 0: ellissoide.
      • k00 = 0: punto (0, 0, 0).
      • k00 < 0: nessun punto.

    Casi Specifici di Autovalori

    • Se λ1, λ2 > 0 e λ3 < 0, si ha:
      • k00 > 0: iperboloide a una falda.
      • k00 = 0: cono.
      • k00 < 0: iperboloide a due falde.
    • Per λ1, λ2 > 0 e λ3 = 0:
      • Se h00 = j00 = 0, l’equazione diventa λ1(x001)² = k00 con:
        • k00 > 0: unione di due piani paralleli.
        • k00 = 0: due piani coincidenti.
        • k00 < 0: nessun punto.

    Forma Canonica Affine

    • Attraverso trasformazioni affini, l’equazione può essere ulteriormente semplificata a coefficienti 1, -1 o 0.
    • L'equazione canonica affine di una quadrica si ottiene da quella canonica metrica tramite dilatazioni.

    Elenco delle Quadriche in Forma Canonica Affine

    • Ellissoide: X1² + X2² + X3² = 1.
    • Punto: X1² + X2² + X3² = 0.
    • Vuoto: X1² + X2² + X3² = -1.
    • Iperboloide a una falda: X1² + X2² - X3² = 1.
    • Cono: X1² + X2² - X3² = 0.
    • Iperboloide a due falde: X1² + X2² - X3² = -1.
    • Paraboloide ellittico: X1² + X2² + X3 = 0.

    Esercizi

    • La sezione finale propone esercizi di riduzione delle quadriche a forma canonica metrica sia tramite isometrie che attraverso classificazioni affini.

    Note Finali

    • La classificazione e la riduzione delle quadriche sono essenziali per l'analisi geometrica nello spazio.
    • L'approccio sistematico consente di semplificare e comprendere le proprietà geometriche delle superfici quadriche.

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    Quiz Team

    Description

    Questo quiz esplora le coordinate indotte da una base in Matematica Lineare. Attraverso esercizi e domande, gli studenti possono testare la loro comprensione delle trasformazioni lineari e delle matrici. È un importante strumento per chi studia algebra lineare e applicazioni pratiche.

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