Manipulación de Variables en Álgebra

Study Notes

Adding and Subtracting Like Terms

Like terms are terms that have the same variable(s) and coefficient
Example: 2x and 3x are like terms, but 2x and 2y are not
To add or subtract like terms, combine coefficients and keep the variable(s) the same
- Example: 2x + 3x = (2 + 3)x = 5x
- Example: 2x - 3x = (2 - 3)x = -x

Multiplying Variables

When multiplying variables, multiply coefficients and combine variable(s)
- Example: 2x × 3x = (2 × 3)x² = 6x²
- Example: 2x × y = 2xy

Distributive Property

The distributive property allows us to expand products of sums or differences
- Example: 2(x + 3) = 2x + 6
- Example: x(2y - 3) = 2xy - 3x

Combining Like Terms with Different Coefficients

When combining like terms with different coefficients, add or subtract the coefficients and keep the variable(s) the same
- Example: 2x + 5x = (2 + 5)x = 7x
- Example: 3x - 2x = (3 - 2)x = x

Suma y Resta de Términos Similares*
Los términos similares tienen la misma(s) variable(s) y coeficientes.
Ejemplo: 2x y 3x son términos similares; 2x y 2y no lo son.
Para sumar o restar términos similares, se combinan los coeficientes y se mantiene la(s) variable(s).
- Ejemplo: 2x + 3x se simplifica a 5x.
- Ejemplo: 2x - 3x se simplifica a -x.
Multiplicación de Variables*
Al multiplicar variables, se multiplican los coeficientes y se combinan las variables.
- Ejemplo: 2x × 3x resulta en 6x².
- Ejemplo: 2x × y se simplifica a 2xy.
Propiedad Distributiva*
La propiedad distributiva permite expandir productos de sumas o diferencias.
- Ejemplo: 2(x + 3) se distribuye a 2x + 6.
- Ejemplo: x(2y - 3) se transforma en 2xy - 3x.
Combinación de Términos Similares con Diferentes Coeficientes*
Para combinar términos similares con diferentes coeficientes, se suman o restan los coeficientes y se mantiene la(s) variable(s).
- Ejemplo: 2x + 5x se simplifica a 7x.
- Ejemplo: 3x - 2x se convierte en x.

Se pueden sumar o restar dos matrices únicamente si tienen las mismas dimensiones (igual número de filas y columnas).
La suma y resta de matrices se realiza de manera elemento por elemento.
Ejemplo de suma:
- Para A = [[1, 2], [3, 4]] y B = [[5, 6], [7, 8]],
- La suma A + B = [[6, 8], [10, 12]].
Ejemplo de resta:
- A - B = [[-4, -4], [-4, -4]].

Dos matrices pueden multiplicarse si el número de columnas de la primera matriz es igual al número de filas de la segunda.
La multiplicación de matrices no es conmutativa, es decir, A * B ≠ B * A.
Ejemplo de multiplicación:
- Para A = [[1, 2], [3, 4]] y B = [[5, 6], [7, 8]],
- El producto A * B = [[19, 22], [43, 50]].

La inversa de una matriz A se denota como A^(-1).
A^(-1) existe si y solo si A es cuadrada (mismo número de filas y columnas) y no tiene filas o columnas nulas.
La relación A * A^(-1) = I se cumple, donde I es la matriz identidad.
Ejemplo de inversa:
- Para A = [[1, 2], [3, 4]], su inversa A^(-1) es [[−2, 1], [1.5, −0.5]].
- Se cumple que A * A^(-1) = [[1, 0], [0, 1]].

Un sistema de ecuaciones lineales puede representarse como una ecuación de matriz AX = B.
A es la matriz de coeficientes, X es la matriz de variables y B es la matriz de constantes.
La solución del sistema se encuentra al calcular la inversa de A y multiplicar ambos lados por A^(-1): X = A^(-1)B.