Manipulación de Variables en Álgebra

Variable Manipulation

Adding and Subtracting Like Terms

• Like terms are terms that have the same variable(s) and coefficient
• Example: 2x and 3x are like terms, but 2x and 2y are not
• To add or subtract like terms, combine coefficients and keep the variable(s) the same
  • Example: 2x + 3x = (2 + 3)x = 5x
  • Example: 2x - 3x = (2 - 3)x = -x

Multiplying Variables

• When multiplying variables, multiply coefficients and combine variable(s)
  • Example: 2x × 3x = (2 × 3)x² = 6x²
  • Example: 2x × y = 2xy

Distributive Property

• The distributive property allows us to expand products of sums or differences
  • Example: 2(x + 3) = 2x + 6
  • Example: x(2y - 3) = 2xy - 3x

Combining Like Terms with Different Coefficients

• When combining like terms with different coefficients, add or subtract the coefficients and keep the variable(s) the same
  • Example: 2x + 5x = (2 + 5)x = 7x
  • Example: 3x - 2x = (3 - 2)x = x

Manipulación de Variables

• Suma y Resta de Términos Similares*
• Los términos similares tienen la misma(s) variable(s) y coeficientes.
• Ejemplo: 2x y 3x son términos similares; 2x y 2y no lo son.
• Para sumar o restar términos similares, se combinan los coeficientes y se mantiene la(s) variable(s).
  • Ejemplo: 2x + 3x se simplifica a 5x.
  • Ejemplo: 2x - 3x se simplifica a -x.
• Multiplicación de Variables*
• Al multiplicar variables, se multiplican los coeficientes y se combinan las variables.
  • Ejemplo: 2x × 3x resulta en 6x².
  • Ejemplo: 2x × y se simplifica a 2xy.
• Propiedad Distributiva*
• La propiedad distributiva permite expandir productos de sumas o diferencias.
  • Ejemplo: 2(x + 3) se distribuye a 2x + 6.
  • Ejemplo: x(2y - 3) se transforma en 2xy - 3x.
• Combinación de Términos Similares con Diferentes Coeficientes*
• Para combinar términos similares con diferentes coeficientes, se suman o restan los coeficientes y se mantiene la(s) variable(s).
  • Ejemplo: 2x + 5x se simplifica a 7x.
  • Ejemplo: 3x - 2x se convierte en x.

Operaciones de Matrices en Ecuaciones Lineales

Suma y Resta de Matrices

• Se pueden sumar o restar dos matrices únicamente si tienen las mismas dimensiones (igual número de filas y columnas).
• La suma y resta de matrices se realiza de manera elemento por elemento.
• Ejemplo de suma:
  • Para A = [[1, 2], [3, 4]] y B = [[5, 6], [7, 8]],
  • La suma A + B = [[6, 8], [10, 12]].
• Ejemplo de resta:
  • A - B = [[-4, -4], [-4, -4]].

Multiplicación de Matrices

• Dos matrices pueden multiplicarse si el número de columnas de la primera matriz es igual al número de filas de la segunda.
• La multiplicación de matrices no es conmutativa, es decir, A * B ≠ B * A.
• Ejemplo de multiplicación:
  • Para A = [[1, 2], [3, 4]] y B = [[5, 6], [7, 8]],
  • El producto A * B = [[19, 22], [43, 50]].

Multiplicación Escalar

• Una matriz puede ser multiplicada por un escalar (un número único).
• La multiplicación escalar es distributiva respecto a la suma de matrices.
• Ejemplo:
  • Para A = [[1, 2], [3, 4]] y k = 2,
  • k * A = [[2, 4], [6, 8]].

Matrix Inversa

• La inversa de una matriz A se denota como A^(-1).
• A^(-1) existe si y solo si A es cuadrada (mismo número de filas y columnas) y no tiene filas o columnas nulas.
• La relación A * A^(-1) = I se cumple, donde I es la matriz identidad.
• Ejemplo de inversa:
  • Para A = [[1, 2], [3, 4]], su inversa A^(-1) es [[−2, 1], [1.5, −0.5]].
  • Se cumple que A * A^(-1) = [[1, 0], [0, 1]].

Resolución de Ecuaciones Lineales usando Matrices

• Un sistema de ecuaciones lineales puede representarse como una ecuación de matriz AX = B.
• A es la matriz de coeficientes, X es la matriz de variables y B es la matriz de constantes.
• La solución del sistema se encuentra al calcular la inversa de A y multiplicar ambos lados por A^(-1): X = A^(-1)B.

Aprende a sumar, restar, multiplicar y combinar términos semejantes en álgebra. Entender como combinar coeficientes y variables es esencial para resolver ecuaciones.