Magnitudes escalares y vectoriales

Magnitudes Escalares

• Se definen completamente con un número y una unidad de medida.
• Ejemplos: masa, tiempo, temperatura, distancia, energía, densidad y carga eléctrica.
• Se definen por un valor numérico y una unidad de medida, sin dirección ni sentido.
• Poseen un valor numérico que indica la cantidad.
• Se miden en una unidad específica, como metros, segundos o kilogramos.
• La masa se mide en kilogramos (kg).
• La temperatura se mide en grados Celsius (°C) o Fahrenheit (°F).
• El tiempo se mide en segundos (s), minutos (min) u horas (h).
• La energía se mide en julios (J).

Magnitudes Vectoriales

• Para definirse completamente, requieren un número, una unidad, una dirección y un sentido.
• Ejemplos: velocidad, aceleración, fuerza, desplazamiento, peso, campo eléctrico y momentum.
• Se definen por un valor numérico, dirección y sentido.
• Tiene una magnitud que es el tamaño del vector, representada numéricamente.
• La dirección especifica la orientación del vector en el espacio
• El sentido apunta hacia dónde se dirige el vector, como norte, sur, este u oeste.
• El punto de aplicación es donde se aplica el vector.
• La velocidad se mide en metros por segundo (m/s) con una dirección específica.
• La fuerza se mide en newtons (N) con una dirección específica.
• El desplazamiento se mide en metros (m) con una dirección específica.
• La aceleración se mide en metros por segundo al cuadrado (m/s²) con una dirección específica.

Diferencias Clave

• Las magnitudes escalares son unidimensionales al requerir solo valor y unidad.
• Las magnitudes vectoriales son multidimensionales al requerir valor, dirección y sentido.
• Magnitudes escalares: masa, temperatura, tiempo y energía.
• Magnitudes vectoriales: velocidad, fuerza, desplazamiento y aceleración.
• Las magnitudes escalares se representan como números (ej., 5 kg, 25°C).
• Las magnitudes vectoriales se representan con flechas en diagramas, donde la longitud indica la magnitud y la dirección muestra la orientación.

Representación de Vectores

• Se representan gráficamente mediante flechas.
• La longitud de la flecha es proporcional a la magnitud del vector.
• La dirección de la flecha indica la dirección del vector.
• La punta de la flecha indica el sentido del vector.
• Se denotan con letras con una flecha encima (e.g., $\vec{A}$) o en negrita (e.g., A).

Componentes de un Vector

• Un vector en un plano se puede descomponer en dos componentes perpendiculares: una componente horizontal (Ax) y una componente vertical (Ay).
• Si $\vec{A}$ forma un ángulo θ con el eje x positivo, entonces:
  • $A_x = A \cos θ$
  • $A_y = A \sin θ$
• Donde A es la magnitud del vector $\vec{A}$.
• La magnitud del vector $\vec{A}$ se puede calcular a partir de sus componentes: $A = \sqrt{A_x^2 + A_y^2}$
• El ángulo θ se puede calcular a partir de las componentes: $θ = \arctan(\frac{A_y}{A_x})$

Operaciones con Vectores

Suma de Vectores

• Método del paralelogramo: los vectores se colocan de modo que sus puntos de inicio coincidan, formando un paralelogramo donde la diagonal representa la suma.
• Método del triángulo: el extremo de un vector se coloca en el extremo del otro, y la suma es el vector desde el inicio del primero al extremo del segundo.
• Método gráfico: Se colocan los vectores uno a continuación del otro, manteniendo su magnitud, dirección y sentido; el vector resultante es la flecha que va desde el origen del primer vector hasta la punta del último vector (método del polígono).
• Método analítico: Se suman las componentes de los vectores. Si $\vec{R} = \vec{A} + \vec{B}$, entonces:
  • $R_x = A_x + B_x$
  • $R_y = A_y + B_y$
• La magnitud y dirección del vector resultante se calculan como en el caso de las componentes de un vector individual:
  • $R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2}$
  • $θ = \arctan(\frac{R_y}{R_x})$

Resta de Vectores

• La resta de vectores se puede considerar como la suma de un vector y el negativo del otro.
• $\vec{A} - \vec{B} = \vec{A} + (-\vec{B})$
• Para obtener $-\vec{B}$, se cambia el sentido del vector $\vec{B}$, manteniendo su magnitud y dirección.
• Analíticamente, si $\vec{D} = \vec{A} - \vec{B}$:
  • $D_x = A_x - B_x$
  • $D_y = A_y - B_y$

Descomposición de Vectores

• Un vector (\vec{A}) con magnitud (A) y ángulo (\theta) se descompone en componentes:
  • (A_x = A \cdot \cos(\theta))
  • (A_y = A \cdot \sin(\theta))

Producto Escalar (Producto Punto)

• El producto escalar de dos vectores $\vec{A}$ y $\vec{B}$ se define como:
  • $\vec{A} \cdot \vec{B} = A B \cos θ$
• Donde A y B son las magnitudes de los vectores $\vec{A}$ y $\vec{B}$, respectivamente, y θ es el ángulo entre los dos vectores.
• El resultado es un escalar.
• En términos de componentes: $\vec{A} \cdot \vec{B} = A_x B_x + A_y B_y$
• Propiedades:
  • Conmutativo: $\vec{A} \cdot \vec{B} = \vec{B} \cdot \vec{A}$
  • Distributivo: $\vec{A} \cdot (\vec{B} + \vec{C}) = \vec{A} \cdot \vec{B} + \vec{A} \cdot \vec{C}$
  • Si $\vec{A} \cdot \vec{B} = 0$ y ni $\vec{A}$ ni $\vec{B}$ son el vector cero, entonces $\vec{A}$ y $\vec{B}$ son perpendiculares (θ = 90°).

Producto Vectorial (Producto Cruz)

• El producto vectorial de dos vectores $\vec{A}$ y $\vec{B}$ se define como un vector $\vec{C}$ cuya magnitud es:
  • $C = A B \sin θ$
• Donde A y B son las magnitudes de los vectores $\vec{A}$ y $\vec{B}$, respectivamente, y θ es el ángulo entre los dos vectores.
• La dirección de $\vec{C}$ es perpendicular al plano que contiene a $\vec{A}$ y $\vec{B}$.
• El sentido de $\vec{C}$ se determina por la regla de la mano derecha.
• El resultado es un vector.
• Se denota como $\vec{A} \times \vec{B}$.
• En términos de componentes:
  • $\vec{A} \times \vec{B} = (A_y B_z - A_z B_y) \hat{i} + (A_z B_x - A_x B_z) \hat{j} + (A_x B_y - A_y B_x) \hat{k}$
• Donde $\hat{i}$, $\hat{j}$ y $\hat{k}$ son los vectores unitarios en las direcciones x, y y z, respectivamente.
• Propiedades:
  • No es conmutativo: $\vec{A} \times \vec{B} = -(\vec{B} \times \vec{A})$
  • Distributivo: $\vec{A} \times (\vec{B} + \vec{C}) = \vec{A} \times \vec{B} + \vec{A} \times \vec{C}$
  • Si $\vec{A} \times \vec{B} = \vec{0}$ y ni $\vec{A}$ ni $\vec{B}$ son el vector cero, entonces $\vec{A}$ y $\vec{B}$ son paralelos (θ = 0° o 180°).

Aplicaciones

• La cinemática y la dinámica dependen de la comprensión de las magnitudes vectoriales.
• Los vectores son esenciales para describir fuerzas y energías en sistemas.
• El diseño y análisis de estructuras requiere vectores para calcular fuerzas y momentos.
• El álgebra vectorial es fundamental en sistemas y procesos multidimensionales.
• El álgebra vectorial es esencial para resolver problemas multidimensionales y sistemas de ecuaciones.
• Los vectores son fundamentales para el análisis geométrico y la trigonometría.

Ejercicios Comunes

• Suma de fuerzas: Calcular la fuerza resultante al aplicar varias fuerzas sobre un objeto.
• Desplazamiento resultante: Determinar el desplazamiento total al realizar varios desplazamientos sucesivos.
• Velocidad relativa: Calcular la velocidad de un objeto con respecto a otro en movimiento.
• Trabajo realizado por una fuerza: Calcular el trabajo realizado por una fuerza al desplazar un objeto (producto escalar de la fuerza y el desplazamiento).
• Torque: Calcular el torque ejercido por una fuerza sobre un objeto (producto vectorial de la fuerza y el vector de posición).