Longitud de arco y vectores tangente, normal y binormal

Longitud de arco

• La longitud de arco $s$ de una curva parametrizada por $\overrightarrow{r}(t)$, con $t \in [a, b]$, se calcula mediante la integral $s = \int_{a}^{b} ||\overrightarrow{r}\ '(t)|| dt$.
• Esta integral también se puede expresar como $s = \int_{a}^{b} \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2 + (z'(t))^2} dt$.

Vector tangente unitario

• El vector tangente unitario $\overrightarrow{T}(t)$ se define como $\overrightarrow{T}(t) = \frac{\overrightarrow{r}\ '(t)}{||\overrightarrow{r}\ '(t)||}$.
• $\overrightarrow{T}(t)$ es tangente a la curva en el punto correspondiente al parámetro $t$.
• Tiene una magnitud de 1.

Vector normal principal

• El vector normal principal $\overrightarrow{N}(t)$ se define como $\overrightarrow{N}(t) = \frac{\overrightarrow{T}\ '(t)}{||\overrightarrow{T}\ '(t)||}$.
• $\overrightarrow{N}(t)$ es normal al vector tangente unitario.
• Apunta hacia el lado cóncavo de la curva.

Vector binormal

• El vector binormal $\overrightarrow{B}(t)$ se define como $\overrightarrow{B}(t) = \overrightarrow{T}(t) \times \overrightarrow{N}(t)$.
• Es perpendicular tanto al vector tangente unitario como al vector normal principal.
• Completa un sistema ortogonal de vectores.

Curvatura

• La curvatura $K$ mide la rapidez con la que la curva cambia de dirección.
• Se define como $K = \frac{||\overrightarrow{T}\ '(t)||}{||\overrightarrow{r}\ '(t)||} = \frac{||\overrightarrow{r}\ '(t) \times \overrightarrow{r}\ ''(t)||}{||\overrightarrow{r}\ '(t)||^3}$.
• Una curvatura alta indica que la curva se dobla bruscamente.
• Una curvatura baja indica que la curva es casi recta.

Torsión

• La torsión $\tau$ mide la rapidez con la que la curva se retuerce fuera del plano osculador.
• Se define como $\tau = -\frac{\overrightarrow{B}\ '(t) \cdot \overrightarrow{N}(t)}{||\overrightarrow{r}\ '(t)||} = \frac{(\overrightarrow{r}\ '(t) \times \overrightarrow{r}\ ''(t)) \cdot \overrightarrow{r}\ '''(t)}{||\overrightarrow{r}\ '(t) \times \overrightarrow{r}\ ''(t)||^2}$.
• Una torsión alta indica que la curva se retuerce rápidamente.
• Una torsión baja indica que la curva es casi plana.