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Questions and Answers
Quelle formule donne la densité de probabilité d'une loi exponentielle?
Quelle formule donne la densité de probabilité d'une loi exponentielle?
- f(x) = λe^(-λx) (correct)
- f(x) = λe^(λx)
- f(x) = e^(-λx)
- f(x) = λ²e^(-λx)
Si X suit une loi exponentielle de paramètre λ, que vaut P(X ≤ b)?
Si X suit une loi exponentielle de paramètre λ, que vaut P(X ≤ b)?
- 1 + e^(-λb)
- e^(-λb)
- 1 - e^(-λb) (correct)
- e^(λb)
Quelle est la propriété la plus importante de la loi exponentielle?
Quelle est la propriété la plus importante de la loi exponentielle?
- Espérance infinie
- Variance nulle
- Dépendance du futur par rapport au passé
- Absence de mémoire (correct)
Quelle est la formule de l'espérance (valeur moyenne) d'une loi exponentielle avec paramètre λ?
Quelle est la formule de l'espérance (valeur moyenne) d'une loi exponentielle avec paramètre λ?
En fiabilité, comment appelle-t-on la fonction R(t) = P(X > t)?
En fiabilité, comment appelle-t-on la fonction R(t) = P(X > t)?
Que représente le paramètre λ dans le contexte des études de fiabilité?
Que représente le paramètre λ dans le contexte des études de fiabilité?
Si X suit une loi exponentielle, quelle est la formule de sa variance?
Si X suit une loi exponentielle, quelle est la formule de sa variance?
La loi exponentielle peut être utilisée pour modéliser quel phénomène?
La loi exponentielle peut être utilisée pour modéliser quel phénomène?
Pour une loi exponentielle, comment calcule-t-on P(X > a)?
Pour une loi exponentielle, comment calcule-t-on P(X > a)?
Dans le contexte de la durée de vie d'un composant, que représente E(X) = 1/λ?
Dans le contexte de la durée de vie d'un composant, que représente E(X) = 1/λ?
Si un composant suit une loi exponentielle, que signifie 'absence de mémoire'?
Si un composant suit une loi exponentielle, que signifie 'absence de mémoire'?
Quelle est la valeur de la densité de probabilité f(x) quand x = 0 pour une loi exponentielle?
Quelle est la valeur de la densité de probabilité f(x) quand x = 0 pour une loi exponentielle?
Quelle formule permet de calculer $P(a ≤ X ≤ b)$ pour une loi exponentielle?
Quelle formule permet de calculer $P(a ≤ X ≤ b)$ pour une loi exponentielle?
Dans une loi exponentielle, que se passe-t-il à la courbe de densité de probabilité lorsque x tend vers l'infini?
Dans une loi exponentielle, que se passe-t-il à la courbe de densité de probabilité lorsque x tend vers l'infini?
Si λ augmente, que se passe-t-il à l'espérance de la loi exponentielle?
Si λ augmente, que se passe-t-il à l'espérance de la loi exponentielle?
Selon la loi exponentielle, si X > x, quelle est la probabilité que X > x + h?
Selon la loi exponentielle, si X > x, quelle est la probabilité que X > x + h?
Comment appelle-t-on la fonction F(t) = P(X ≤ t) en fiabilité?
Comment appelle-t-on la fonction F(t) = P(X ≤ t) en fiabilité?
Quelle est une caractéristique clé qui rend la loi exponentielle facile à utiliser?
Quelle est une caractéristique clé qui rend la loi exponentielle facile à utiliser?
Si une variable aléatoire suit une loi exponentielle, quelle est la condition sur la valeur de son paramètre λ?
Si une variable aléatoire suit une loi exponentielle, quelle est la condition sur la valeur de son paramètre λ?
La loi exponentielle modélise principalement quel type de données?
La loi exponentielle modélise principalement quel type de données?
Si la variance d'une loi exponentielle est grande, que peut-on dire de la valeur de λ?
Si la variance d'une loi exponentielle est grande, que peut-on dire de la valeur de λ?
Que signifie une fonction de fiabilité R(t) qui diminue avec le temps?
Que signifie une fonction de fiabilité R(t) qui diminue avec le temps?
Quelle est l'allure générale de la courbe de la fonction de répartition F(x) d'une loi exponentielle?
Quelle est l'allure générale de la courbe de la fonction de répartition F(x) d'une loi exponentielle?
Comment la propriété d'absence de mémoire simplifie-t-elle les calculs de probabilité?
Comment la propriété d'absence de mémoire simplifie-t-elle les calculs de probabilité?
Dans l'expression f(x) = λe^(-λx), que représente 'e'?
Dans l'expression f(x) = λe^(-λx), que représente 'e'?
Quel est l'impact d'une valeur de λ proche de zéro sur la durée de vie moyenne d'un composant?
Quel est l'impact d'une valeur de λ proche de zéro sur la durée de vie moyenne d'un composant?
Quelle est la relation entre la fonction de fiabilité et la fonction de défaillance?
Quelle est la relation entre la fonction de fiabilité et la fonction de défaillance?
Comment la loi exponentielle est-elle visuellement représentée?
Comment la loi exponentielle est-elle visuellement représentée?
Quelle est l'influence de la durée de vie passée d'un appareil sur sa probabilité de panne future, selon la loi exponentielle?
Quelle est l'influence de la durée de vie passée d'un appareil sur sa probabilité de panne future, selon la loi exponentielle?
Flashcards
Utilité de la loi exponentielle
Utilité de la loi exponentielle
Modélise les études de fiabilité, la durée de fonctionnement des systèmes et le temps entre événements.
Densité de probabilité
Densité de probabilité
f(x) = λe^(-λx) pour x ≥ 0, où λ > 0 est le paramètre.
P(X ≤ b)
P(X ≤ b)
Probabilité que X soit inférieure ou égale à b.
P(X > a)
P(X > a)
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P(a ≤ X ≤ b)
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Absence de mémoire
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E(X) (Espérance)
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V(X) (Variance)
V(X) (Variance)
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σ(X) (Écart-type)
σ(X) (Écart-type)
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Fonction de défaillance
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Fonction de fiabilité
Fonction de fiabilité
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MTBF (Temps Moyen...)
MTBF (Temps Moyen...)
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Le paramètre λ
Le paramètre λ
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Study Notes
- La loi exponentielle sert à modéliser les études de fiabilité (taux de panne λ), la durée de fonctionnement des systèmes et le temps entre des événements.
Définition
- Une variable aléatoire X suit une loi exponentielle de paramètre λ (λ > 0) si sa densité de probabilité est f(x) = λe^(-λx) pour x ≥ 0.
- Visuellement, c'est une courbe décroissante partant de λ quand x = 0 et tendant vers 0 quand x tend vers l'infini.
Calcul des probabilités
- Formules fondamentales pour 0 ≤ a ≤ b :
- P(X ≤ b) = 1 - e^(-λb)
- P(X > a) = e^(-λa)
- P(a ≤ X ≤ b) = e^(-λa) - e^(-λb)
- Exemple : Pour une variable X suivant une loi exponentielle avec λ = 0,4 :
- P(X ≤ 3) ≈ 0,699 (69,9 % de chances que X soit inférieure ou égale à 3)
- P(X > 3) ≈ 0,301 (30,1 % de chances que X soit supérieure à 3)
Propriétés importantes
- Absence de mémoire : P(X > x+h | X > x) = P(X > h) pour tous réels positifs x et h.
- Spécifique à la loi exponentielle, elle implique que "le futur ne dépend pas du passé".
- X suit une loi sans vieillissement ou sans mémoire.
- Si X suit une loi exponentielle de paramètre λ :
- E(X) = 1/λ (valeur moyenne)
- V(X) = 1/λ² (variance)
- σ(X) = 1/λ (écart-type)
Application à la fiabilité
- Si X représente la durée de vie d'un composant :
- F(t) = P(X ≤ t) = 1 - e^(-λt) est la fonction de défaillance.
- R(t) = P(X > t) = e^(-λt) est la fonction de fiabilité.
- E(X) = 1/λ est le temps moyen de bon fonctionnement (MTBF).
- Exemple concret : Durée de vie de composants électroniques suivant une loi exponentielle avec λ = 1/3 ≈ 0,333 (en milliers d'heures).
- Probabilité qu'un composant dépasse 3000 heures : P(X > 3) ≈ 0,368 (36,8 % de chances)
- Probabilité qu'un composant dure entre 1000 et 3000 heures : P(1 ≤ X ≤ 3) ≈ 0,349 (34,9 % de chances)
- Probabilité qu'un composant dure 1000 heures de plus après avoir fonctionné 3000 heures : P(X > 3+1 | X > 3) ≈ 0,717 (71,7 % de chances)
Conclusion
- La loi exponentielle modélise simplement de nombreux phénomènes aléatoires.
- Elle possède la propriété d'absence de mémoire.
- Elle est caractérisée par un seul paramètre λ.
- Elle permet de calculer facilement les probabilités avec des formules simples.
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