Loi Binomiale: Schéma de Bernoulli

• La loi binomiale est un modèle de probabilité utilisé pour décrire le nombre de succès dans une série d'épreuves indépendantes, où chaque épreuve a seulement deux issues possibles : succès ou échec.

Schéma de Bernoulli

• Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire avec seulement deux issues possibles, souvent appelées succès et échec.
• La probabilité de succès est notée p, et la probabilité d'échec est q = 1 - p.

Répétition d'épreuves de Bernoulli

• Un schéma de Bernoulli consiste à répéter n fois de manière indépendante une épreuve de Bernoulli.
• L'indépendance signifie que le résultat d'une épreuve n'affecte pas le résultat des autres épreuves.

Variable aléatoire de Bernoulli

• Une variable aléatoire de Bernoulli X prend la valeur 1 en cas de succès et 0 en cas d'échec.
• Sa loi de probabilité est définie par P(X = 1) = p et P(X = 0) = 1 - p.

Loi binomiale

• La loi binomiale modélise le nombre de succès dans un schéma de Bernoulli.
• Si on répète n fois une épreuve de Bernoulli avec probabilité de succès p, alors la variable aléatoire X qui compte le nombre de succès suit une loi binomiale.
• On note X ~ B(n, p), où n est le nombre d'épreuves et p la probabilité de succès.

Paramètres de la loi binomiale

• n représente le nombre d'épreuves indépendantes.
• p représente la probabilité de succès pour chaque épreuve.

Probabilité dans une loi binomiale

• La probabilité d'obtenir exactement k succès dans n épreuves est donnée par la formule: P(X = k) = (n choose k) * p^k * (1 - p)^(n - k), où (n choose k) est le coefficient binomial.
• Le coefficient binomial (n choose k), se lit "k parmi n", représente le nombre de façons de choisir k succès parmi n épreuves.
• Formule du coefficient binomial: (n choose k) = n! / (k! * (n - k)!), où "!" désigne la factorielle.
• n! (n factorielle) est le produit de tous les entiers positifs jusqu'à n (n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1).
• Par convention, 0! = 1.
• La calculatrice peut être utilisée pour calculer directement les coefficients binomiaux.

Utilisation de la calculatrice

• Les calculatrices permettent de calculer les probabilités associées à la loi binomiale.
• Instructions générales : Accéder aux fonctions de distribution de probabilité, choisir la loi binomiale, et entrer les valeurs de n, p et k.
• Pour calculer P(X = k), on utilise souvent une fonction nommée "binompdf" ou similaire.
• Pour calculer P(X ≤ k), on utilise une fonction nommée "binomcdf" ou similaire.
• Les notations et fonctions exactes peuvent varier selon le modèle de la calculatrice.

Espérance mathématique d'une loi binomiale

• L'espérance mathématique E(X) d'une variable aléatoire X suivant une loi binomiale B(n, p) est donnée par E(X) = n * p.
• L'espérance représente le nombre moyen de succès que l'on peut attendre sur un grand nombre de répétitions du schéma de Bernoulli.

Variance et écart-type d'une loi binomiale

• La variance V(X) d'une variable aléatoire X suivant une loi binomiale B(n, p) est donnée par V(X) = n * p * (1 - p).
• L'écart-type σ(X) est la racine carrée de la variance : σ(X) = sqrt(n * p * (1 - p)).
• L'écart-type mesure la dispersion des valeurs autour de l'espérance.

Conditions d'application de la loi binomiale

• Les épreuves doivent être indépendantes les unes des autres.
• Chaque épreuve ne doit avoir que deux issues possibles (succès ou échec).
• La probabilité de succès doit être la même pour chaque épreuve.
• Le nombre d'épreuves doit être fixé à l'avance.

Exemples d'applications

• Lancer une pièce de monnaie n fois et compter le nombre de fois où l'on obtient "pile".
• Tirer avec remise n fois une boule dans une urne contenant des boules de deux couleurs différentes et compter le nombre de fois où l'on tire une boule d'une couleur spécifique.
• Tester n objets produits par une machine et compter le nombre d'objets défectueux.

Exemples de problèmes avec la loi binomiale

• Calculer la probabilité d'obtenir exactement 3 piles en 5 lancers d'une pièce équilibrée.
• Déterminer la probabilité qu'au moins 8 étudiants réussissent un examen si l'on interroge un échantillon de 10 étudiants et que la probabilité de réussite est de 0.7 pour chaque étudiant.
• Estimer le nombre moyen de personnes qui achèteront un produit si l'on sait que 5% des personnes démarchées l'achètent et que l'on démarche 200 personnes.