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Questions and Answers
Quelle expression est une tautologie?
Quelle expression est une tautologie?
- P ⇔ (non P)
- P ∧ (non P)
- P ∨ (non P) (correct)
- P ⇒ (non P)
Qu'est-ce que la contraposée de (P ⇒ Q)?
Qu'est-ce que la contraposée de (P ⇒ Q)?
- (non P) ⇒ Q
- Q ⇒ (non P)
- (non Q) ⇒ (non P) (correct)
- P ⇒ (non Q)
Quels connecteurs logiques se notent aussi '∧' et '∨' respectivement?
Quels connecteurs logiques se notent aussi '∧' et '∨' respectivement?
- Implication et équivalence
- Conjonction et négation
- Négation et disjonction
- Conjonction et disjonction (correct)
Quel est le résultat de la conjonction F et V?
Quel est le résultat de la conjonction F et V?
La formulation correcte de l'équivalence (P ⇔ Q) est que:
La formulation correcte de l'équivalence (P ⇔ Q) est que:
Quelle proposition est toujours fausse?
Quelle proposition est toujours fausse?
Quelle propriété est correcte concernant la négation?
Quelle propriété est correcte concernant la négation?
Si P est vrai et Q est faux, quelle est la valeur de (P ⇒ Q)?
Si P est vrai et Q est faux, quelle est la valeur de (P ⇒ Q)?
Quelle est la signification du quantificateur existentiel ?
Quelle est la signification du quantificateur existentiel ?
Quelle est la forme correcte de la négation de la proposition (∀x ∈ E, P(x)) ?
Quelle est la forme correcte de la négation de la proposition (∀x ∈ E, P(x)) ?
Pourquoi la proposition ∃x ∈ R, ∀y ∈ R, y > x est incorrecte ?
Pourquoi la proposition ∃x ∈ R, ∀y ∈ R, y > x est incorrecte ?
Quelle est la propriété de simultanéité des quantificateurs ?
Quelle est la propriété de simultanéité des quantificateurs ?
Quelle est l'apparence correcte d'une table de vérité pour les lois de De Morgan ?
Quelle est l'apparence correcte d'une table de vérité pour les lois de De Morgan ?
Quels éléments sont décrits comme les éléments de l'ensemble E ?
Quels éléments sont décrits comme les éléments de l'ensemble E ?
Quelle est la relation correcte entre la proposition (∀x ∈ R, P(x)) et (∃x ∈ R, P(x)) ?
Quelle est la relation correcte entre la proposition (∀x ∈ R, P(x)) et (∃x ∈ R, P(x)) ?
Comment la propriété P(x) : 'x^2 ≥ 1' se comporte-t-elle sur les réels ?
Comment la propriété P(x) : 'x^2 ≥ 1' se comporte-t-elle sur les réels ?
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Study Notes
Définitions fondamentales
- Une proposition est un énoncé qui peut être soit vrai (V) soit faux (F).
- Exemple de proposition vraie : 32 > 8 ; exemple de proposition fausse : "Tout entier impair est premier" (9 est impair mais non premier).
- Une tautologie est une proposition toujours vraie.
Négation d'une proposition
- La négation d'une proposition P est notée ¬P ou non P.
- Table de vérité pour la négation :
- P : V, non P : F
- P : F, non P : V
Connecteurs logiques
- Conjonction (et) :
- Notée P ∧ Q
- Table de vérité :
- V ∧ V = V
- V ∧ F = F
- F ∧ V = F
- F ∧ F = F
- Disjonction (ou) :
- Notée P ∨ Q
- Table de vérité :
- V ∨ V = V
- V ∨ F = V
- F ∨ V = V
- F ∨ F = F
- Implication :
- Notée P ⇒ Q
- Table de vérité :
- V ⇒ V = V
- V ⇒ F = F
- F ⇒ V = V
- F ⇒ F = V
- Équivalence :
- Notée P ⇔ Q
- Valeurs vraies si P et Q sont égales.
Propriétés des connecteurs logiques
- Contraposée de (P ⇒ Q) : non Q ⇒ non P.
- Réciproque de (P ⇒ Q) : Q ⇒ P.
- Propriétés notables :
- P ∧ P ⇔ P
- P ∨ P ⇔ P
- (P ⇒ Q) ⇔ (¬Q ⇒ ¬P) (contraposition)
- (P ∨ ¬P) est toujours vrai (loi du tiers exclu).
- (P ∧ ¬P) est toujours faux (loi de non-contradiction).
- Lois de De Morgan :
- ¬(P ∧ Q) ⇔ ¬P ∨ ¬Q
- ¬(P ∨ Q) ⇔ ¬P ∧ ¬Q
Ensembles et quantificateurs
- Un ensemble E est une collection d'objets ; x ∈ E signifie que x est un élément de E.
- Propriétés des quantificateurs :
- ∀x ∈ E, P(x) : pour tout x dans E, P est vrai.
- ∃x ∈ E, P(x) : il existe au moins un x dans E tel que P est vrai.
- ∃!x ∈ E, P(x) : il existe un unique x dans E tel que P est vrai.
- Notations : "∀" pour le quantificateur universel et "∃" pour le quantificateur existentiel.
Négation des propositions quantifiées
- Négation d'une phrase quantifiée :
- ¬(∀x ∈ E, P(x)) ⇔ ∃x ∈ E, ¬P(x)
- ¬(∃x ∈ E, P(x)) ⇔ ∀x ∈ E, ¬P(x)
Méthodes de raisonnement
- Démonstration par contraposition : montrer (P ⇒ Q) équivaut à montrer (¬Q ⇒ ¬P), basé sur le principe de contraposition.
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