Logique et Raisonnement: Chapitre 1

• Le chapitre 1 porte sur la logique et le raisonnement.

Propositions

• Une proposition est un énoncé qui est soit vrai, soit faux, mais jamais les deux.
• Par exemple, « La neige est blanche » ou « 2 + 2 = 4 » sont des propositions.
• Les questions ou les commandes ne sont pas des propositions.
• Un prédicat contient des variables non définies et devient une proposition une fois que ces variables sont spécifiées.

Propositions Composées

• Les propositions composées sont construites à partir de propositions existantes via des opérateurs logiques.

Conjonction

• La conjonction de $p$ et $q$ ($p \land q$) est vraie si $p$ et $q$ sont toutes les deux vraies.

Disjonction

• La disjonction de $p$ et $q$ ($p \lor q$) est vraie si au moins une des deux propositions est vraie.

Négation

• La négation de $p$ ($\neg p$) inverse sa valeur de vérité.

Disjonction Exclusive

• La disjonction exclusive de $p$ et $q$ ($p \oplus q$) est vraie si exactement une des deux propositions est vraie.

Conditionnelle

• La conditionnelle de $q$ par $p$ ($p \rightarrow q$) signifie « si $p$, alors $q$ ».
• Dans $p \rightarrow q$, $p$ est l'hypothèse et $q$ est la conclusion.
• $p \rightarrow q$ est fausse seulement si $p$ est vraie et $q$ est fausse.
• La réciproque de $p \rightarrow q$ est $q \rightarrow p$.
• L'inverse de $p \rightarrow q$ est $\neg p \rightarrow \neg q$.
• La contraposée de $p \rightarrow q$ est $\neg q \rightarrow \neg p$.

Biconditionnelle

• La biconditionnelle de $p$ et $q$ ($p \leftrightarrow q$) est vraie si $p$ et $q$ ont la même valeur de vérité.

Tables de Vérité

• Les tables de vérité résument les valeurs de vérité pour les opérations logiques.

Priorité des Opérateurs

• L'ordre de priorité des opérateurs est : négation, conjonction, disjonction, conditionnelle, biconditionnelle.
• Les parenthèses peuvent être utilisées pour modifier l'ordre.

Équivalences Logiques

• Deux propositions composées sont logiquement équivalentes si elles ont la même table de vérité.

Lois Logiques

• Les lois logiques comprennent l'identité, la domination, l'idempotence, la double négation, et la complémentarité.

Lois de De Morgan

• Lois de De Morgan :
  • $\neg (p \lor q) \equiv \neg p \land \neg q$
  • $\neg (p \land q) \equiv \neg p \lor \neg q$

Autres Lois Logiques

• Lois logiques : commutative, associative, distributive.

Prédicats et Quantificateurs

• Un prédicat devient une proposition quand on donne des valeurs à ses variables.

Quantification Universelle

• La quantification universelle ($\forall x \in D, P(x)$) affirme que $P(x)$ est vraie pour tout $x$ dans le domaine $D$.

Quantification Existentielle

• La quantification existentielle ($\exists x \in D, P(x)$) affirme qu'il existe au moins un $x$ dans $D$ tel que $P(x)$ soit vraie.

Négation des Quantificateurs

• Les règles de négation des quantificateurs indiquent comment nier des propositions quantifiées.
  • $\neg (\forall x \in D, P(x)) \equiv \exists x \in D, \neg P(x)$
  • $\neg (\exists x \in D, P(x)) \equiv \forall x \in D, \neg P(x)$

Quantificateurs Imbriqués

• L'ordre des quantificateurs est important. $\forall x \exists y P(x, y)$ n'est pas équivalente à $\exists y \forall x P(x, y)$.

Règles d'Inférence

• Une règle d'inférence permet de déduire une conclusion à partir de prémisses.
• Un argument est valide si la conclusion est vraie chaque fois que les prémisses sont vraies.

Modus Ponens

• Modus ponens : de $p \rightarrow q$ et $p$, on déduit $q$.

Modus Tollens

• Modus tollens : de $p \rightarrow q$ et $\neg q$, on déduit $\neg p$.

Syllogisme

• Syllogisme hypothétique : de $p \rightarrow q$ et $q \rightarrow r$, on déduit $p \rightarrow r$.
• Syllogisme disjonctif : de $p \lor q$ et $\neg p$, on déduit $q$.

Autres Règles d'Inférence

• Les autres règles d'inférence sont l'addition, la simplification, la conjonction, et la résolution.

Méthodes de Preuve

• Une preuve est un argument valide qui établit la vérité d'une proposition.

Preuve Directe

• La preuve directe montre que la conclusion est vraie en supposant les prémisses vraies.

Preuve par Contraposée

• La preuve par contraposée montre que la contraposée de la proposition est vraie.

Preuve par Contradiction

• Utiliser la preuve par contradiction mène à une contradiction en supposant que la proposition est fausse.

Preuve par Cas

• La preuve par cas divise la proposition en cas et montre que la proposition est vraie dans chaque cas.

Preuve par Équivalence

• La preuve par équivalence démontre que deux propositions sont logiquement équivalentes.

Erreurs Courantes dans les Preuves

• Les erreurs incluent l'affirmation de la conclusion, la négation de l'hypothèse et le raisonnement circulaire.

• La leçon porte sur la thermodynamique.

Énergie

• L'énergie est la capacité de faire un travail.
• L'énergie cinétique (KE) est l'énergie du mouvement : $KE = \frac{1}{2} mv^2$
• L'énergie potentielle (PE) est l'énergie de position : $PE = mgh$

Énergie Interne

• L'énergie interne est la somme de toutes les énergies cinétiques et potentielles d'un système.
• L'intérêt est axé sur le changement de l'énergie interne, $\Delta U$.
• L'énergie interne peut changer grâce à la chaleur et au travail.

Fonctions d'État

• Les fonctions d'état ne dépendent que de l'état actuel du système, pas de la manière dont il a atteint cet état.
• Exemples : Énergie interne (U), enthalpie (H), entropie (S) et énergie libre de Gibbs (G).

Chaleur (q)

• La chaleur est le transfert d'énergie entre deux objets en raison d'une différence de température.
• La chaleur circule des objets les plus chauds vers les objets les plus froids.
• Exothermique : libère de la chaleur (q < 0)
• Endothermique : absorbe la chaleur (q > 0)
• La quantité de chaleur requise pour modifier la température d'une substance dépend de sa masse (m) et de sa capacité thermique massique (c).
• $q = mc\Delta T$

Travail (w)

• Le travail est l'énergie transférée lorsqu'une force provoque un déplacement.
• Le travail de pression-volume (PV) est souvent considéré en thermodynamique.
• $w = -P\Delta V$
• Si le gaz se dilate ($\Delta V > 0$), il effectue un travail sur l'environnement, et w < 0.
• Si le gaz se comprime ($\Delta V < 0$), l'environnement effectue un travail sur le gaz, et w > 0.

Première Loi de la Thermodynamique

• L'énergie ne peut être ni créée ni détruite, seulement transférée ou convertie.
• Le changement d'énergie interne d'un système est égal à la chaleur ajoutée au système moins le travail effectué par le système.
• $\Delta U = q - w$
• Pour un processus à volume constant, $\Delta U = q_v$.

Enthalpie (H)

• H = U + PV
• A pression constante, la variation d'enthalpie est égale à la chaleur ajoutée au système : $\Delta H = q_p$
• $\Delta H > 0$ est endothermique.
• $\Delta H < 0$ est exothermique.

Enthalpie Standard de Formation ($\Delta H_f^\circ$)

• C'est le changement d'enthalpie lorsqu'une mole d'un composé est formée à partir de ses éléments dans leur état standard.
• $\Delta H_f^\circ$ pour un élément dans son état standard est nul.

Loi de Hess

• Le changement d'enthalpie pour une réaction est indépendant de la voie.
• $\Delta H_{reaction}^\circ = \sum n \Delta H_f^\circ (products) - \sum n \Delta H_f^\circ (reactants)$

Enthalpie de Liaison

• L'énergie nécessaire pour rompre une mole d'une liaison particulière en phase gazeuse.
• La rupture des liaisons est endothermique ($\Delta H > 0$).
• La formation de liaisons est exothermique ($\Delta H < 0$).
• $\Delta H_{reaction} \approx \sum$(enthalpies de liaison des réactifs) - $\sum$(enthalpies de liaison des produits)

Entropie (S)

• Une mesure du désordre ou du caractère aléatoire d'un système.
• $\Delta S = S_{final} - S_{initial}$
• $\Delta S > 0$ : le désordre augmente.
• $\Delta S < 0$ : le désordre diminue.
• L'entropie augmente avec l'augmentation de la température, de son volume, son évolution(solide < liquide < gaz), son nombre de molécules qui croît.
• Change in Entropy: $\Delta S_{reaction}^\circ = \sum nS^\circ(produits) - \sum nS^\circ(réactifs)$

Deuxième Loi de la Thermodynamique

• L'entropie de l'univers augmente toujours dans un processus spontané.
• $\Delta S_{universe} = \Delta S_{system} + \Delta S_{surroundings} > 0$
• Pour un processus irréversible, $\Delta S_{universe} = 0$ est vrai.
• Changement d'entropie dans l'environnement :
  • $\Delta S_{surroundings} = \frac{-q_{system}}{T} = \frac{-\Delta H_{system}}{T} \ \ (à , pression , constante)$

Energie Libre de Gibbs (G)

• Une fonction d'état qui combine l'enthalpie et l'entropie pour déterminer la spontanéité d'un processus.
• $G = H - TS$
• $\Delta G = \Delta H - T\Delta S$
• $\Delta G < 0$ : processus spontané
• $\Delta G > 0$ : processus non spontané
• $\Delta G = 0$ : équilibre

Changement d'énergie libre standard

• $\Delta G^\circ = \sum n\Delta G_f^\circ (products) - \sum n\Delta G_f^\circ (reactants)$

Energie Libre et Équilibre

• $\Delta G = -RT\ln K$
• $\Delta G^\circ = -RT\ln K$
• $K = e^{-\Delta G^\circ / RT}$

Dépendance de la Température de la Constante d'Équilibre

• $\ln \frac{K_2}{K_1} = \frac{-\Delta H^\circ}{R} (\frac{1}{T_2} - \frac{1}{T_1})$

• Ceci est connu sous le nom d'équation de van't Hoff.

• Cette conférence présentait la théorie algorithmique de jeux.

Concept de Mécanismes

• Les préférences quasi-linéaires échouent
• Besoin de forcer la participation et la sincérité sans paiement

Cadre:

• n agents, agent $i$ a un type $\theta_i \in \Theta_i$ privé
• résultat $o \in \mathcal{O}$, fonction de choix social $f: \Theta_1 \times \ldots \times \Theta_n \rightarrow \mathcal{O}$
• L'agent $i$ a une utilité $v_i(o, \theta_i)$

Définition des Mecanismes

• Un mécanisme est un mappage $M: \Theta_1 \times \ldots \times \Theta_n \rightarrow \mathcal{O}$.
• Un mécanisme est adapté aux stratégies si pour tout $i$, pour tout $\theta_i, \theta_i' \in \Theta_i$, et pour tout $\theta_{-i} \in \Theta_{-i}$:
• $v_i(M(\theta_i, \theta_{-i}), \theta_i) \geq v_i(M(\theta_i', \theta_{-i}), \theta_i)$.

Rationalité Individuelle Ex-Post

• Un mécanisme est également rationnel individuellement ex-post si pour tout $i$, pour tout $\theta \in \Theta$, $v_i(M(\theta), \theta_i) \geq 0$.

Résultat d'Impossibilité

• Le réglage : localisation des installations sur une ligne.
• $\mathcal{O} = \mathbb{R}$: ensemble des localisations possibles
• $\Theta_i = \mathbb{R}$ : la localisation idéale de l'agent $i$
• $v_i(o, \theta_i) = -|o - \theta_i|$: l'utilité de l'agent $i$

Fonction de Choix Social : médiane

• $f(\theta) = \text{median}(\theta_1, \ldots, \theta_n)$

Proposition (Schmeidler & Fishburn 1975)

• Si $n \geq 3$, alors le mécanisme de la médiane est le seul mécanisme qui est adapté aux stratégies et rationnel individuellement ex-post.
• Pour $n = 1$ : définir $M(\theta) = \theta_1$
• Pour $n = 2$ : chaque fonction $M(\theta_1, \theta_2) \in [\theta_1, \theta_2]$ est adaptée aux stratégies et rationnelle individuellement ex-post.

Caractère Unilatéral du Type Optimal

• Fixer $\theta_{-i}$.
• Si $\theta_i < \theta_i'$, alors $M(\theta_i, \theta_{-i}) \leq M(\theta_i', \theta_{-i})$.

Restriction d'Intervalle

• Pour tout $i$ et $\theta_{-i}$, nous avons $M(\theta_i, \theta_{-i}) \in [\min_j \theta_j, \max_j \theta_j]$.

Indépendance des Solutions Alternatives Non Pertinentes

• Pour tout $i$, $\theta_i, \theta_i' \in [\min_j \theta_j, \max_j \theta_j]$, $M(\theta_i, \theta_{-i}) = M(\theta_i', \theta_{-i})$.

Optimalité par les Méthodes de Pareto

• $M(\theta) \in [\min_j \theta_j, \max_j \theta_j]$

Neutralité

• Pour toute constante $c$, $M(\theta_1 + c, \ldots, \theta_n + c) = M(\theta_1, \ldots, \theta_n) + c$.

Anonymat

• Pour toute permutation $\pi$ de ${1, \ldots, n}$, nous avons $M(\theta_1, \ldots, \theta_n) = M(\theta_{\pi(1)}, \ldots, \theta_{\pi(n)})$.

Choix Social Stratégique sans Argent

• Caractérisation par Moulin (1988)
• Soit $n$ agents qui choisissent parmi $m$ alternatives.
• $\mathcal{O} = {1, \ldots, m}$ : ensemble des alternatives
• $\Theta_i$ : ensemble de tous les classements des alternatives dans $\mathcal{O}$
• $v_i(o, \theta_i)$: l'utilité de l'agent $i$ (ordinale)
• $v_i(o, \theta_i) > v_i(o', \theta_i)$ signifie que l'agent $i$ préfère $o$ à $o'$ selon $\theta_i$.
• Fonction de choix social $f: \Theta_1 \times \ldots \times \Theta_n \rightarrow \mathcal{O}$
• $f(\theta)$ est l'alternative choisie étant donné les préférences rapportées $\theta$.

Optimum de Pareto

• Pour un profil $\theta$, l'alternative $o$ domine au sens de Pareto $o'$ si et seulement si $o$ préfère et si l'alternative $o'$ est la première de toutes pour chaque $i$ et $o$ préféré à $o'$ pour certains $i$.

Optimal de Pareto

• Une fonction de choix social $f$ est optimale au sens de Pareto si $f(\theta)$ n'est jamais dominé au sens de Pareto pour tout $\theta$.

La Monotonicité

• Une fonction de choix social $f$ est monotone si, pour tout $\theta$ et $i$, si $f(\theta) = o$ et si $o \succeq_i o'$ implique $o \succeq_i' o'$ pour tout $o' \neq o$, alors pour $\theta' = (\theta_i', \theta_{-i})$, nous avons $f(\theta') = o$.
• La monotonicité est une condition nécessaire pour la protection des stratégies, mais non suffisante.

Dictature

• $f$ est une dictature s'il existe un agent $i$ tel que $f(\theta)$ soit toujours l'alternative la plus préférée de l'agent $i$.

Proposition (Théorème d'Impossibilité de Gibbard-Satterthwaite)

• Si $|\mathcal{O}| \geq 3$, alors toute fonction de choix social qui est adaptée aux stratégies et optimale au sens de Pareto est une dictature.

Contourner l'Impossibilité

• Restreindre les préférences, par exemple les préférences à pic unique.
• Randomisation.
• Assouplir la protection des stratégies

Randomisation

• Considérer la fonction de choix social et choisir la distribution de probabilité sur les résultats.
• Fonction de choix social : $f: \Theta_1 \times \ldots \times \Theta_n \rightarrow \Delta(\mathcal{O})$
• Les préférences de l'agent $i$ sont toujours des classements stricts sur les résultats dans $\mathcal{O}$.

Dominance Stochastique

• Pour un profil $\theta$, une distribution $p$ domine stochastiquement une distribution $q$ si, pour tout résultat $o \in \mathcal{O}$:
• $\sum_{o' \succeq_i o} p(o') \geq \sum_{o' \succeq_i o} q(o')$

Choix Social Aléatoire

• Choisir un ordre aléatoire des agents.
• Le premier agent choisit son résultat préféré.
• Le deuxième agent choisit son résultat préféré parmi les résultats restants, et ainsi de suite.

Proposition (Gibbard 1977)

• La dictature sérielle aléatoire est adaptée aux stratégies.

Propriétés Souhaitables

• Protection des stratégies
• Efficacité ex-post: aucun résultat $o$ n'est dominé de Pareto par un autre résultat $o'$.
• Efficacité ex-ante: l'utilité attendue du résultat est maximisée.
• Équité : égalité de traitement des égaux.

Optimalité de Pareto

• implique une efficacité ex-ante.

Équité

• Les agents ont une probabilité égale d'être premier, deuxième, etc.

• Note:

  • l'efficacité ex-post est impossible.
  • les préférences ordinales $\Rightarrow$ pas d'efficacité ex-ante.

• L'image fournit des notes d'étude sur le chapitre 1 concernant la logique.

Propositions

• Une proposition est une phrase déclarative qui est soit "vraie", soit "fausse".
• Des exemples incluent "Ottawa est la capitale du Canada" (Vraie) et "2 + 2 = 5" (Fausse).
• Les questions, telles que "Quelle heure est-il?" ne sont pas des propositions.

Opérations logiques

Négation

• La négation ($\neg p$) d'une proposition $p$ inverse sa valeur de vérité.

Conjonction

• La conjonction (p ∧ q) est vraie uniquement si p et q sont toutes les deux vraies.

Disjonction

• La disjonction (p ∨ q) est vraie si au moins une des propositions p ou q est vraie.

Implication

• L'implication (p ⇒ q) est fausse uniquement lorsque p est vraie et q est fausse.
• p est l'antécédent, et q est le conséquent.

Équivalence

• L'équivalence (p ⇔ q) est vraie si p et q ont toutes les deux la même valeur de vérité.

Tables de Vérité

• Une table de vérité affiche toutes les valeurs de vérité possibles d'une proposition.

Priorité des opérations logiques

• L'ordre dans lequel les opérations лог se déroulent sont : négation, conjonction, disjonction, implication, équivalence.

Lois de De Morgan

• Les lois de De Morgan incluent :
  • ¬(p ∧ q) ⇔ (¬p) ∨ (¬q)
  • ¬(p ∨ q) ⇔ (¬p) ∧ (¬q)

Prédicats

• Un prédicat devient une proposition lorsque sa variable reçoit une valeur.

Quantificateurs

Quantificateur universel

• Le quantificateur universel (∀) signifie "pour tout".

Quantificateur existentiel

• L'existentiel (∃) signifie "il existe au moins un".

Négation des quantificateurs

• Les négations des quantificateurs include:
  • ¬(∀x, P(x)) ⇔∃x, ¬P(x)
  • ¬(∃x, P(x)) ⇔∀x, ¬P(x)

Raisonnement

• Le raisonnement est un processus de conclusions résultant des prémisses.

Règles d'inférence

Modus ponens

• D'après si p ⇒ q et p est vrai, alors q est vrai.

Modus tollens

• D'après si p ⇒ q et q est faux (ou ¬q), alors p est faux (ou ¬p).

Syllogisme hypothétique

• D'après si p ⇒ q et q ⇒ r, alors p ⇒ r.

Fausses justifications

Affirmer le conséquent

• Affirmer le conséquent produit une cause injustifiée.

Dénier l'antécédent

• Dénier l'antécédent produit une conclusion non justifiée.

Méthodes de preuve

Preuve directe

• Utilise les prémisses pour arriver à une conclusion.

Preuve par contraposition

• En utilisant la contraposition, prouvant p ⇒ q prouve ¬q ⇒ ¬p.

Preuve par contradiction

• Montre qu'assumer la fausseté d'une proposition crée une contradiction.

Preuve par cas

• Prouver chaque cas individuellement.

Preuve par induction

• Utiliser l'induction mathématique.

• Le texte porte sur un résumé exécutif des résultats d'une enquête auprès de 14 000 étudiants en dernière année d'études secondaires dans l'Illinois concernant leurs projets post-diplôme d'études secondaires et leur intention de s'inscrire à l'université, leurs préoccupations financières et l'impact de la pandémie COVID-19 sur leurs décisions.

Principales conclusions :

• 63 % des étudiants prévoient de s'inscrire à une université de quatre ans, ce qui représente une légère baisse par rapport à la tendance des années précédentes.
• 15 % supplémentaires ont l'intention de fréquenter un collège communautaire.
• Les taux de fréquentation varient en fonction du revenu des ménages.

Facteurs influençant

• Le facteur coût est un problème important.
• Effets de la pandémie : la pandémie a généré de l'incertitude et est un autre facteur.
• Soutien : Le soutien de leurs familles, des conseillers d'orientation scolaire et des mentors joue un rôle essentiel dans la mise en œuvre d'études supérieures.

Objectifs

• Les principaux domaines d'études à suivre sont le commerce, la santé, les matières STEM et l'éducation.

Recommandations

• Soutien financier accru : accroître le soutien aux bourses fondées sur les besoins, ainsi que subventionner des études supérieures.
• Possibilité de mieux profiter de l'orientation professionnelle : des activités de soutien sont nécessaires, en particulier pour les revenus les plus faibles et les communautés mal desservies.
• Faire bon usage de la commodité de la technologie : un accès plus facile aux universités est possible en ligne.

Conclusion

• Les conclusions de l'enquête sont perspicaces concernant la situation des étudiants finissants du secondaire.

• Ces notes concernent la thermodynamique.

1ère loi de la thermodynamique

• La conservation de l'énergie indique que l'énergie ne peut être créée ou détruite, uniquement transférée ou changée de forme.
• Le résumé de la conservation de l'énergie est affiché par la formule : $\Delta U = Q - W$
  • $\Delta U$ = changement d'énergie interne
  • $Q$ = chaleur ajoutée au système
  • $W$ = travail effectué par le système.

Types de processus

• Adiabatique : aucun échange de chaleur ; $Q = 0 \rightarrow \Delta U = -W$.
• Isochore : volume constant ; $W = 0 \rightarrow \Delta U = Q$.
• Isobarique : pression constante ; $\Delta U = Q - P\Delta V$.
• Isotherme : température constante ; $\Delta U = 0 \rightarrow Q = W$.

Transfert de chaleur

• Conduction : transfert de chaleur par contact direct. $H = kA\frac{T_H - T_C}{L}$
  • $H$ = taux de transfert de chaleur
  • $k$ = conductivité thermique
  • $A$ = zone
  • $L$ = épaisseur
  • $T_H$ = température élevée
  • $T_C$ = température basse
• Convection : transfert de chaleur par le mouvement des fluides.
• Rayonnement : transfert de chaleur par le rayonnement électromagnétique. $P = e\sigma A T^4$
  • $P$ = taux de rayonnement
  • $e$ = émissivité
  • $\sigma$ = constante de Stefan-Boltzmann
  • $A$ = zone
  • $T$ = température

2ème loi de la thermodynamique

• L'entropie indique que l'entropie d'un système isolé ne peut qu'augmenter. $\Delta S = \frac{Q}{T}$
  • $\Delta S$ = changement d'entropie
  • $Q$ = chaleur ajoutée
  • $T$ = température

Moteurs thermiques

• Convertissement de la chaleur en travail avec la formule : $W = Q_H - Q_C$
  • $W$ = travail effectué
  • $Q_H$ = chaleur du réservoir chaud
  • $Q_C$ = chaleur évacuée vers le réservoir froid.

Efficacité

• Peut être calculée par la formule : $e = \frac{W}{Q_H} = 1 - \frac{Q_C}{Q_H}$

Moteur de Carnot

• Moteur théorique avec une efficacité maximale calculée par la formule : $e_{max} = 1 - \frac{T_C}{T_H}$
  • $T_C$ = température du réservoir froid
  • $T_H$ = température du réservoir chaud

Réfrigérateurs

• Utiliser un travail pour transférer la chaleur du réservoir froid vers le réservoir chaud avec la formule : $COP = \frac{Q_C}{W}$

  • $COP$ = facteur de performance
  • $Q_C$ = chaleur extraite du réservoir froid
  • $W$ = entrée de travail

• Le texte définit ce que sont les "matrices".

Definition

• Une matrice $A$ est un arrangement des nombres dans les lignes et les colonnes : $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}$
  • $a_{ij}$ symbolise l'élément de $i$-ième rang et $j$-ième colonne.
  • Une matrice avec $m$ rangs et $n$ colonnes se qualifie comme une matrice $m \times n$.
  • Si $m = n$, alors $A$ est une matrice carrée de l'ordre $n$.

Matrices spéciales

• Matrice nulle : Une matrice dont tous les éléments sont nuls.
• Matrice identité : une matrice carrée où tous les éléments de la diagonale principale sont 1 et que tous les autres éléments de la matrice sont 0. $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \ 0 & 1 & \cdots & 0 \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}$
• Matrice diagonale : Les éléments hors de la division principale sont nuls.
• Matrice triangulaire
  • Matrice triangulaire supérieure : tous les éléments sous la diagonale principale sont nuls.
  • Matrice triangulaire inférieure : tous les éléments au-dessus de la diagonale principale sont nuls.
• Matrice symétrique : identique à sa transposée (par exemple $A = A^T$).

Opérations de matrice

• Les opérations de matrices s'alignent sur l'addition, la soustraction, la multiplication scalaire, la multiplication linéaire et la transposition.

Addition et soustraction

• Les matrices doivent avoir la même taille pour être additionnées ou soustraites. $(A + B){ij} = A{ij} + B_{ij}$

Multiplication scalaire

• Chaque élément de la matrice est multiplié par le scalaire. $(cA){ij} = c \cdot A{ij}$

Multiplication de matrices

• Le produit de deux matrices $A$ ($m \times n$) et $B$ ($n \times p$) est une matrice $C$ ($m \times p$), où :
  • $C_{ij} = \sum_{k=1}^{n} A_{ik} \cdot B_{kj}$
• Le nombre de colonnes de $A$ doit être le même que le nombre de rangs de $B$.

Transposition

• La transposée d'une matrice $A$, notée $A^T$, est obtenue en inversant les rangs et les colonnes : $(A^T){ij} = A{ji}$.

Inverse d'une matrice

• L'inverse d'une matrice carrée A est notée $A^{-1}$, de sorte que $A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I$, où I est la matrice identité.
• Les matrices qui ne peuvent pas subir d'inversion sont nommées singulières, tandis que celles qui le peuvent sont nommées régulières.

Déterminant

• Une valeur scalaire encapsulant les propriétés importantes d'une matrice carrée (par exemple, inversibilité).
• Le déterminant d'une matrice A est noté $\det(A)$ ou $|A|$.

Calcul

• Pour une matrice 2 x 2 : $\begin{vmatrix} a & b \ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$
• Pour une matrice plus grande, la détermination est calculée avec l'expansion colinéaire ou d'autres méthodes.

Rang d'une matrice

• Le rang est le nombre de rangs/colonnes indépendants dans une matrice.

Applications

• Systèmes d'équations linéaires

• Transformateurs linéales

• Problèmes de valeurs propres

• Mathématiques numériques

• Physique

• Informatique

• Le texte décrit une introduction à la FEM(méthode des éléments finis) pour les équations de Poisson.

Idée clé

• La méthode des éléments finis (FEM) est une technique numérique utilisée pour résoudre les équations différentielles partielles (EDP). La principale idée est de multiplier l'équation par une fonction d'essai et d'intégrer le domaine. Cela conduit à une « forme faible » ou « formulation variationnelle » de l'équation.
• $\int_{\Omega} -\nabla \cdot (c \nabla u) v dx = \int_{\Omega} fv dx$ est la formule de départ.
• $\int_{\Omega} c\nabla u \cdot \nabla v dx - \int_{\Gamma} (c \nabla u \cdot \hat{n})v ds = \int_{\Omega} fv dx$ est la version intégrée.

Étapes

• Multiplier l'EDP par une fonction d'essai v, qui s'évanouit à la limite.
• Faire une intégration par parties pour transférer les dérivées de u vers v.
• Insérer des approximations d'éléments finis pour u et v.
• Mettre les termes égaux et résoudre pour le système d'équations linéaires obtenu.

1D Exemple

• Considérer : $-\nabla^2 u = f \text{ dans } \Omega$ et $u = 0 \text{ sur } \Gamma$
• La multiplication par v et l'intégration par partie donnent $\int_{\Omega} \nabla u \cdot \nabla v dx = \int_{\Omega} fv dx$.
• Écrire u et v comme des combinaisons linéaires de fonctions de base, substituer et simplifier conduit à un système linéaire d'équations : $\mathbf{KU} = \mathbf{F}$.
• $K_{ij} = \int_{\Omega} \nabla \phi_j \cdot \nabla \phi_i dx$
• $\sum_{j=1}^{N} K_{ij} U_j = F_i$
• $\mathbf{KU} = \mathbf{F}$

Choix des éléments finis

• Linears par pièces avec le triangulaire : Les fonctions de base sont linéaires et par pièce avec un support local qui se chevauchent.
• Quadratics par pièces :