Lógica Matemática: Identificando Proposiciones

Lógica Matemática

Proposiciones

• Una proposición es toda expresión lingüística que posee una función informativa, que afirma o niega algo.
• Ejemplos de proposiciones: "Los alumnos estudian mucho para el examen del viernes", "La capital de Cordillera no es Tobati".
• No son proposiciones: preguntas, órdenes, ruegos, exclamaciones y deseos.

Tipos de Proposiciones

• Proposiciones atómicas: expresiones lingüísticas que expresan una sola idea.
  • Ejemplos: "Raquel estudia manicura", "La casa de mi mama es grande".
• Proposiciones moleculares: expresiones lingüísticas que están formadas por dos o más proposiciones atómicas.
  • Ejemplos: "Raquel estudia manicura y Sandra aprovecha las oportunidades", "Hoy es martes y mañana es feriado".

Términos de Enlace

• Son palabras que sirven para enlazar proposiciones atómicas y convertirlas en proposiciones moleculares.
• Ejemplos: "y", "o", "no", "si, entonces...", "si y solo si".
• Conjunción (y): se simboliza con el punto (.)
• Disyunción (o): se clasifica en inclusiva y exclusiva, se simboliza con "v" o "w".
• Negación (no): se simboliza con "¬" o "-".
• Condicional (si, entonces): se simboliza con "→".
• Bicondicional (si y solo si): se simboliza con "↔".

Conjunción

• Es un término de enlace representado por la letra "y" y se simboliza con el punto (.)
• Ejemplos: "El perro es grande y muy rabioso", "El perro es grande pero muy rabioso", "El perro es grande sin embargo muy rabioso"

Disyunción

• Es un término de enlace representado por la letra "o" y se clasifica en inclusiva y exclusiva
• Disyunción inclusiva: se simboliza con "v" y la conclusión puede ser cualquiera de las proposiciones atómicas o las dos proposiciones
• Disyunción exclusiva: se simboliza con "w" y la conclusión puede ser una de las proposiciones atómicas

Negación

• Es un término de enlace representado por la palabra "no" y se simboliza con "¬" o "-"
• Ejemplos: "No es cierto que Carmen es estudiosa", "Es falso que Augusto Roa Bastos ganó el premio de fórmula uno"

Condicional

• Es la proposición que se obtiene anteponiendo a la primera la palabra "si" y uniéndolas con la palabra "entonces"
• Se simboliza con "→"
• Ejemplos: "Si el examen de Lógica es viernes, entonces me pondré las pilas para estudiar", "Toda vez que el examen de Lógica sea viernes, entonces me pondré las pilas para estudiar"### Bicondicional o Doble Implicancia
• La bicondicional se representa mediante la palabra "Si y solo si" y se simboliza con "↔".
• La bicondicional supone dos implicaciones: P ↔ Q y Q ↔ P, lo que significa que cada proposición es condición necesaria y suficiente para la otra.

Tablas de Verdad o Certeza

• Una tabla de verdad o certeza es una tabla que sirve para determinar la verdad o falsedad de las proposiciones.
• Las tablas de verdad se utilizan para clasificar las proposiciones como tautológicas, contradictorias o contingentes.

Reglas de Inferencia

• Las reglas de inferencia son operaciones intelectuales que permiten pasar de una verdad a otra.
• Existen varias reglas de inferencia, como:
  • Modus Ponendo Ponens (PP): si P → Q, y P es verdadera, entonces Q es verdadera.
  • Modus Tollendo Tollens (TT): si P → Q, y Q es falsa, entonces P es falsa.
  • Modus Tollendo Ponens (TP): en una disyunción, negando una de las proposiciones, se afirma la otra.
  • Regla de Adjunción (A): de dos proposiciones verdaderas se obtiene una conjunción verdadera.
  • Regla de Simplificación (S): de una conjunción se puede obtener una de las proposiciones que la componen.

Teoría de Conjunto

• Un conjunto es una lista, colección o clase de objetos bien definidos.
• Los conjuntos se pueden expresar por comprensión o por extensión.
• Operaciones con conjuntos:
  • Intersección: el conjunto de los elementos que son comunes a dos conjuntos.
  • Unión: el conjunto de todos los elementos que pertenecen a uno o ambos conjuntos.
  • Diferencia: el conjunto de elementos que pertenecen a un conjunto, pero no a otro.

Conjuntos y Pertenencia

• La pertenencia se simboliza con ∈.

• Los conjuntos se pueden clasificar en:

  • Unitario
  • Vacío
  • Finito
  • Infinito### Operaciones con Conjuntos

• El conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y B = {2, 3, 4, 5} se pueden operar mediante la intersección, unión, diferencia y producto cartesiano.

• La intersección A∩B es el conjunto de elementos que pertenecen a ambos conjuntos, es decir, {2, 3, 4, 5}.

• La unión AUB es el conjunto de elementos que pertenecen a alguno de los conjuntos, es decir, {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

• La diferencia A - B es el conjunto de elementos que pertenecen a A pero no a B, es decir, {1, 6}.

• La intersección triple A∩B∩C es el conjunto de elementos que pertenecen a los tres conjuntos, es decir, {3}.

• La unión triple AUBUC es el conjunto de elementos que pertenecen a alguno de los tres conjuntos, es decir, {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

• La diferencia doble A - B - C es el conjunto de elementos que pertenecen a A pero no a B ni C, es decir, {2, 4, 5}.

Producto Cartesiano

• El producto cartesiano A x B se puede hallar mediante la propiedad distributiva de los elementos, es decir, formar el par ordenado (a, b).
• El producto cartesiano A x B es el conjunto de pares ordenados (a, b) donde a pertenece a A y b pertenece a B.

Situaciones Problemáticas

• En una clase de 45 alumnos, a 15 de ellos les gusta la enfermería, a 13 de ellos la obstetricia, a 6 alumnos las dos materias. 30 alumnos no les gustan ni la enfermería ni la obstetricia.
• En un hotel 18 personas comen huevos en el almuerzo, 8 comen panes, 4 comen a la vez huevos y panes y 5 no comen nada. 21 personas comen en este hotel.
• En una clase de 30 alumnos, a 12 de ellos les gustan las empanadas, a 17 de ellos las hamburguesas, a 6 alumnos las dos cosas. 9 alumnos no les gustan ni las empanadas ni las hamburguesas.
• En un hotel 38 personas comen salsa en el almuerzo, 17 comen tallarín, 9 comen a la vez salsa y tallarín y 10 no comen nada. 27 personas comen en este hotel.