Podcast
Questions and Answers
Vilken metod används för att lösa linjära ekvationssystem med hjälp av trappstegsform?
Vilken metod används för att lösa linjära ekvationssystem med hjälp av trappstegsform?
Vad karakteriserar ett radrum i linjär algebra?
Vad karakteriserar ett radrum i linjär algebra?
Vilken av följande används för att representera linjära avbildningar?
Vilken av följande används för att representera linjära avbildningar?
Vad är en normalvektor i förhållande till ett plan i rummet?
Vad är en normalvektor i förhållande till ett plan i rummet?
Signup and view all the answers
Vad representerar en determinant av en matris?
Vad representerar en determinant av en matris?
Signup and view all the answers
Vilken metod används för att beräkna volymen av en tetraeder med hjälp av vektorprodukter?
Vilken metod används för att beräkna volymen av en tetraeder med hjälp av vektorprodukter?
Signup and view all the answers
Vilken term hänvisar till transformationsprocessen mellan olika koordinatsystem?
Vilken term hänvisar till transformationsprocessen mellan olika koordinatsystem?
Signup and view all the answers
Vilken egenskap har ortogonala projektioner i vektorrum?
Vilken egenskap har ortogonala projektioner i vektorrum?
Signup and view all the answers
Vad är värdet av $d$ i ekvationen $d=(4-1)^2 + (5-1)^2 + (6-1)^2$?
Vad är värdet av $d$ i ekvationen $d=(4-1)^2 + (5-1)^2 + (6-1)^2$?
Signup and view all the answers
Vad är determinanten av blockmatrisen $A=[(2, 1), (1, 2)]$?
Vad är determinanten av blockmatrisen $A=[(2, 1), (1, 2)]$?
Signup and view all the answers
Hur beräknas volymen av en tetraeder med hörn $O=(0,0,0)$, $A=(1,0,0)$, $B=(0,1,0)$, $C=(0,0,1)$?
Hur beräknas volymen av en tetraeder med hörn $O=(0,0,0)$, $A=(1,0,0)$, $B=(0,1,0)$, $C=(0,0,1)$?
Signup and view all the answers
Vad är ekvationen för planet som bildas med punkten (1, 2, 3) och normalvektorn n = [2, -1, 1]?
Vad är ekvationen för planet som bildas med punkten (1, 2, 3) och normalvektorn n = [2, -1, 1]?
Signup and view all the answers
Vilket av följande är korrekt om basbyte i linjära avbildningar?
Vilket av följande är korrekt om basbyte i linjära avbildningar?
Signup and view all the answers
Vilken parameter värde t ger skärningen mellan linjen (1, 1, 1) + t(1, 2, 3) och planet x + y + z = 6?
Vilken parameter värde t ger skärningen mellan linjen (1, 1, 1) + t(1, 2, 3) och planet x + y + z = 6?
Signup and view all the answers
Vad är värdet av $c_1$ i systemet $c_1 + c_2 = 3$ och $c_1 - c_2 = 4$?
Vad är värdet av $c_1$ i systemet $c_1 + c_2 = 3$ och $c_1 - c_2 = 4$?
Signup and view all the answers
Vad är arean av triangeln med hörn A=(0,0,0), B=(1,0,0) och C=(0,1,0)?
Vad är arean av triangeln med hörn A=(0,0,0), B=(1,0,0) och C=(0,1,0)?
Signup and view all the answers
Vad är $det(P)$ för matris $P = [(1, 1), (1, -1)]$?
Vad är $det(P)$ för matris $P = [(1, 1), (1, -1)]$?
Signup and view all the answers
Vilken matris representerar en 90° rotation moturs?
Vilken matris representerar en 90° rotation moturs?
Signup and view all the answers
Vad är resultatet av kryssprodukten $OB imes OC$ där $OB=(0, 1, 0)$ och $OC=(0, 0, 1)$?
Vad är resultatet av kryssprodukten $OB imes OC$ där $OB=(0, 1, 0)$ och $OC=(0, 0, 1)$?
Signup and view all the answers
Vad är det korrekta avståndet mellan punkterna A=(1,1,1) och B=(4,5,6)?
Vad är det korrekta avståndet mellan punkterna A=(1,1,1) och B=(4,5,6)?
Signup and view all the answers
Hur skrivs vektorn $v=[3, 4]$ i basen $b_1=[1, 1]$ och $b_2=[1, -1]$?
Hur skrivs vektorn $v=[3, 4]$ i basen $b_1=[1, 1]$ och $b_2=[1, -1]$?
Signup and view all the answers
Vilken formel används för att beräkna volymen av en tetraeder med hörnen O=(0,0,0), A=(1,0,0), B=(0,1,0), C=(0,0,1)?
Vilken formel används för att beräkna volymen av en tetraeder med hörnen O=(0,0,0), A=(1,0,0), B=(0,1,0), C=(0,0,1)?
Signup and view all the answers
Vad är resultatet av den skalära produkten $OA ullet (OB imes OC)$ där $OA=(1, 0, 0)$?
Vad är resultatet av den skalära produkten $OA ullet (OB imes OC)$ där $OA=(1, 0, 0)$?
Signup and view all the answers
Vad är den inverka matrisen A^{-1} för A = [[1, 2], [3, 4]]?
Vad är den inverka matrisen A^{-1} för A = [[1, 2], [3, 4]]?
Signup and view all the answers
Vilken ekvation representerar planet med lika avstånd mellan punkterna A=(-1,1,2) och B=(1,3,-4)?
Vilken ekvation representerar planet med lika avstånd mellan punkterna A=(-1,1,2) och B=(1,3,-4)?
Signup and view all the answers
Vad är volymen $V$ av den tetraeder som har $O=(0,0,0)$, $A=(1,0,0)$, $B=(0,1,0)$ och $C=(0,0,1)$?
Vad är volymen $V$ av den tetraeder som har $O=(0,0,0)$, $A=(1,0,0)$, $B=(0,1,0)$ och $C=(0,0,1)$?
Signup and view all the answers
I vilken situation används formeln $[T]_B = P^{-1}AP$?
I vilken situation används formeln $[T]_B = P^{-1}AP$?
Signup and view all the answers
Vilken av följande matriser är en blockmatris?
Vilken av följande matriser är en blockmatris?
Signup and view all the answers
Vad är det korrekta värdet av $c_2$ i systemet $c_1 + c_2 = 3$ och $c_1 - c_2 = 4$?
Vad är det korrekta värdet av $c_2$ i systemet $c_1 + c_2 = 3$ och $c_1 - c_2 = 4$?
Signup and view all the answers
Vad är formen för en coordinatsystem i en ny bas om v=[3,4] och baserna är b_1=[1,0] och b_2=[0,1]?
Vad är formen för en coordinatsystem i en ny bas om v=[3,4] och baserna är b_1=[1,0] och b_2=[0,1]?
Signup and view all the answers
Vad är värdet av determinanten för matrisen A = [[1, 2], [3, 4]]?
Vad är värdet av determinanten för matrisen A = [[1, 2], [3, 4]]?
Signup and view all the answers
Vad är värdet av $det(A)$ där $A = [(1, 2), (3, 4)]$?
Vad är värdet av $det(A)$ där $A = [(1, 2), (3, 4)]$?
Signup and view all the answers
Vad får man om man adderar $c_1 + c_2 = 3$ och $c_1 - c_2 = 4$?
Vad får man om man adderar $c_1 + c_2 = 3$ och $c_1 - c_2 = 4$?
Signup and view all the answers
Vilken är den korrekta formeln för att beräkna kryssprodukten av två vektorer?
Vilken är den korrekta formeln för att beräkna kryssprodukten av två vektorer?
Signup and view all the answers
Vilket av följande alternativ beskriver ett trippelprodukt med vektorer O=(0,0,0), A=(1,0,0), B=(0,1,0) och C=(0,0,1)?
Vilket av följande alternativ beskriver ett trippelprodukt med vektorer O=(0,0,0), A=(1,0,0), B=(0,1,0) och C=(0,0,1)?
Signup and view all the answers
Vad beskriver normalvektorn till ett plan?
Vad beskriver normalvektorn till ett plan?
Signup and view all the answers
Vad representerar matrisen $[T]_B$ i den nya basen $B$?
Vad representerar matrisen $[T]_B$ i den nya basen $B$?
Signup and view all the answers
Vilket av följande steg ingår inte i Gauss-eliminering?
Vilket av följande steg ingår inte i Gauss-eliminering?
Signup and view all the answers
Vad beskriver determinanten av en $2 imes 2$-matris?
Vad beskriver determinanten av en $2 imes 2$-matris?
Signup and view all the answers
I vilket fall är kryssprodukten av två vektorer noll?
I vilket fall är kryssprodukten av två vektorer noll?
Signup and view all the answers
Vad är en linjär avbildning mellan två rum $R^n$ och $R^m$ representerad med?
Vad är en linjär avbildning mellan två rum $R^n$ och $R^m$ representerad med?
Signup and view all the answers
Vad beskriver trippelprodukten för tre vektorer?
Vad beskriver trippelprodukten för tre vektorer?
Signup and view all the answers
Vilken av följande är inte en radoperation vid Gauss-eliminering?
Vilken av följande är inte en radoperation vid Gauss-eliminering?
Signup and view all the answers
Vad anger formeln för basbyte $[T]_B = P^{-1}AP$?
Vad anger formeln för basbyte $[T]_B = P^{-1}AP$?
Signup and view all the answers
Vad beskriver formeln för skalärprodukten?
Vad beskriver formeln för skalärprodukten?
Signup and view all the answers
Vilken typ av matris används för att representera en spegling över y-axeln?
Vilken typ av matris används för att representera en spegling över y-axeln?
Signup and view all the answers
Hur bestäms volymen av en parallellpiped spänd av vektorer?
Hur bestäms volymen av en parallellpiped spänd av vektorer?
Signup and view all the answers
När är skalärprodukten av två vektorer noll?
När är skalärprodukten av två vektorer noll?
Signup and view all the answers
Vad är syftet med att använda P-inversematris i formeln $[T]_B = P^{-1}AP$?
Vad är syftet med att använda P-inversematris i formeln $[T]_B = P^{-1}AP$?
Signup and view all the answers
Vilken av följande egenskaper gäller för en linjär avbildning?
Vilken av följande egenskaper gäller för en linjär avbildning?
Signup and view all the answers
Vad är syftet med Gauss-elimination?
Vad är syftet med Gauss-elimination?
Signup and view all the answers
Vilket påstående om reducerad trappstegsform är sant?
Vilket påstående om reducerad trappstegsform är sant?
Signup and view all the answers
Vad beskriver kolonnrummet av en matris?
Vad beskriver kolonnrummet av en matris?
Signup and view all the answers
Hur kan en vektor skrivas som en linjär kombination av andra vektorer?
Hur kan en vektor skrivas som en linjär kombination av andra vektorer?
Signup and view all the answers
Vad kännetecknar en normalvektor i ett plan?
Vad kännetecknar en normalvektor i ett plan?
Signup and view all the answers
Vilken formel används för att beräkna avstånd mellan två punkter i rummet?
Vilken formel används för att beräkna avstånd mellan två punkter i rummet?
Signup and view all the answers
Vad är determinanten av matrisen $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \ \end{bmatrix}$?
Vad är determinanten av matrisen $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \ \end{bmatrix}$?
Signup and view all the answers
Vad är en bas inom linjär algebra?
Vad är en bas inom linjär algebra?
Signup and view all the answers
Vad används skalärprodukten till inom vektoralgebra?
Vad används skalärprodukten till inom vektoralgebra?
Signup and view all the answers
Vilken av följande är en egenskap hos inversa matriser?
Vilken av följande är en egenskap hos inversa matriser?
Signup and view all the answers
Hur beräknas volymen av en tetraeder?
Hur beräknas volymen av en tetraeder?
Signup and view all the answers
Vilken fråga svarar ett mittpunktsplan på?
Vilken fråga svarar ett mittpunktsplan på?
Signup and view all the answers
Vad är en egenskap hos blockmatriser?
Vad är en egenskap hos blockmatriser?
Signup and view all the answers
Vad beskriver en linjär transformation?
Vad beskriver en linjär transformation?
Signup and view all the answers
Study Notes
Gauss-elimination
- Metoden bygger på radoperationer som inte ändrar lösningsmängden i ett linjärt ekvationssystem.
- Radoperationer:
- Byta plats på två rader.
- Multiplicera en rad med en konstant (≠ 0).
- Addera en multipel av en rad till en annan rad.
- Syftet är att föra matrisen till trappstegsform.
- Steg:
- Använd den första kolumnen för att eliminera element under det ledande elementet (första icke-noll elementet) i varje rad.
- Fortsätt med nästa ledande element i nästa kolumn och eliminera element under.
Determinanter
- För 2x2-matriser: det([a b; c d]) = ad - bc.
- Härledningen involverar att betrakta arean av en parallellogram spänd av vektorer.
- För nxn-matriser: Beräknas rekursivt med Laplace-expansion.
Kryssprodukt
- Definieras som: u × v = |i j k; u1 u2 u3; v1 v2 v3|.
- Expandera determinanten för att få uttrycket.
- Geometriskt: en vektor ortogonal mot u och v, med längd lika med arean av parallellogrammet spänd av u och v.
Matrisrepresentation av linjära avbildningar
- En linjär avbildning T: Rn → Rm representeras av en matris A.
- Varje kolumn i A är bilden av en standardbasvektor i Rn.
Skalärprodukt och vinklar
- Skalärprodukter definieras som: u ⋅ v = ||u|| ||v|| cos θ, där θ är vinkeln mellan u och v.
- Geometrisk tolkning relaterad till parallella och ortogonala vektorer.
Volym med trippelprodukten
- Trippelprodukten för tre vektorer u, v, w är: V = |u ⋅ (v × w)|.
- Kryssprodukten v × w ger en vektor ortogonal mot v och w.
- Absolutbeloppet av skalärprodukten u ⋅ (v × w) ger volymen av parallellpipeden spänd av u, v och w.
Basbyte och transformation
- Formeln för basbyte: [T]B = P⁻¹AP.
- P är matrisen som omvandlar från standardbasen till den nya basen B.
- P⁻¹ konverterar tillbaka från den nya basen till standardbasen.
- Bytet återspeglar hur avbildningen ser ut i den nya basen.
Studying That Suits You
Use AI to generate personalized quizzes and flashcards to suit your learning preferences.
Description
Testa dina kunskaper om linjär algebra med detta quiz, som täcker ämnen som linjära ekvationssystem, radrum, normalvektorer och mer. Utmaningar inkluderar att förstå vektorer och deras egenskaper samt att utföra operationer som involverar matriser.
