Lineare Algebra: Vektoren und Matrizen

Einführung in die lineare Algebra

Vektoren

• Ein Vektor kennzeichnet sich durch Länge (Betrag) und Richtung.
• In einem kartesischen Koordinatensystem wird ein Vektor durch ein Zahlentupel repräsentiert, die seine Komponenten sind.
• Beispiel: Der Vektor $\vec{v} = (3, 2)$ liegt in der Ebene $\mathbb{R}^2$, während $\vec{w} = (1, -1, 4)$ im Raum $\mathbb{R}^3$ liegt.
• Die Vektoraddition von $\vec{u} = (u_1, u_2,..., u_n)$ und $\vec{v} = (v_1, v_2,..., v_n)$ ergibt $\vec{u} + \vec{v} = (u_1 + v_1, u_2 + v_2,..., u_n + v_n)$.
• Die Skalarmultiplikation eines Skalars $c \in \mathbb{R}$ und eines Vektors $\vec{v} = (v_1, v_2,..., v_n)$ ist $c\vec{v} = (cv_1, cv_2,..., cv_n)$.

Matrizen

• Eine Matrix ist eine rechteckige Anordnung von Zahlen in Zeilen und Spalten.
• Eine $m \times n$ Matrix besteht aus $m$ Zeilen und $n$ Spalten.
• Beispiel: Die Matrix $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}$ ist eine $2 \times 3$ Matrix.
• Die Matrixaddition erfolgt elementweise, d.h. $(A + B){ij} = A{ij} + B_{ij}$, wobei $A$ und $B$ Matrizen der Größe $m \times n$ sind.
• Die Skalarmultiplikation einer Matrix $A$ mit einem Skalar $c$ erfolgt elementweise, d.h. $(cA){ij} = cA{ij}$.
• Die Matrixmultiplikation einer $m \times n$ Matrix $A$ mit einer $n \times p$ Matrix $B$ resultiert in einer $m \times p$ Matrix $C$, wobei $C_{ij} = \sum_{k=1}^{n} A_{ik}B_{kj}$.

Lineare Gleichungssysteme

• Ein lineares Gleichungssystem (LGS) besteht aus einer Menge linearer Gleichungen.
• Beispiel für ein LGS:
  • $2x + 3y = 8$
  • $x - y = 1$
• Dieses System kann in Matrixform $Ax = b$ dargestellt werden, mit $A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \ 1 & -1 \end{pmatrix}$, $x = \begin{pmatrix} x \ y \end{pmatrix}$ und $b = \begin{pmatrix} 8 \ 1 \end{pmatrix}$.
• Lösungsverfahren umfassen Gaußsche Elimination und Cramersche Regel.

Vektorräume

• Ein Vektorraum ist eine Menge $V$ mit Addition und Skalarmultiplikation, die bestimmte Axiome erfüllt.
• Beispiele für Vektorräume sind $\mathbb{R}^n$, der Raum der Polynome und der Raum der stetigen Funktionen.

Lineare Abbildungen

• Eine lineare Abbildung ist eine Funktion $T: V \rightarrow W$ zwischen Vektorräumen, die die Vektoraddition und Skalarmultiplikation erhält.
• Es gelten folgende Bedingungen:
  • $T(\vec{u} + \vec{v}) = T(\vec{u}) + T(\vec{v})$ für alle $\vec{u}, \vec{v} \in V$
  • $T(c\vec{v}) = cT(\vec{v})$ für alle $\vec{v} \in V$ und $c \in \mathbb{R}$

Eigenwerte und Eigenvektoren

• Ein Skalar $\lambda$ ist ein Eigenwert einer $n \times n$ Matrix $A$, wenn es einen Vektor $\vec{v} \neq 0$ gibt, sodass $A\vec{v} = \lambda\vec{v}$.
• Der Vektor $\vec{v}$ wird als Eigenvektor von $A$ zum Eigenwert $\lambda$ bezeichnet.
• Die Eigenwerte sind die Lösungen der charakteristischen Gleichung $\det(A - \lambda I) = 0$, wobei $I$ die Einheitsmatrix ist.

Anwendungen

• Die lineare Algebra findet breite Anwendung in Informatik (z.B. Computergrafik, Machine Learning), Physik, Ingenieurwesen und Wirtschaftswissenschaften.