Linear Regression Example

Halimbawa: (Linear fit)

• Ibinibigay ang mga datos: $(x_i, y_i) = (-1,0), (0,1), (1,2), (2,1)$
• Hanapin ang pinakamahusay na angkop na linya.
• $y = c + dx$
• Ibinigay na matriks: $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 \ 1 & 0 \ 1 & 1 \ 1 & 2 \end{bmatrix}$, $\overrightarrow{b} = \begin{bmatrix} 0 \ 1 \ 2 \ 1 \end{bmatrix}$
• $A^T A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \ -1 & 0 & 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -1 \ 1 & 0 \ 1 & 1 \ 1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 2 \ 2 & 6 \end{bmatrix}$
• $A^T \overrightarrow{b} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \ -1 & 0 & 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \ 1 \ 2 \ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \ 4 \end{bmatrix}$
• $\begin{bmatrix} 4 & 2 \ 2 & 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \hat{c} \ \hat{d} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \ 4 \end{bmatrix}$
• $\hat{x} = (A^T A)^{-1} A^T \overrightarrow{b}$
• $\begin{bmatrix} \hat{c} \ \hat{d} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 2 \ 2 & 6 \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} 4 \ 4 \end{bmatrix} = \frac{1}{20} \begin{bmatrix} 6 & -2 \ -2 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 \ 4 \end{bmatrix} = \frac{1}{20} \begin{bmatrix} 16 \ 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4/5 \ 2/5 \end{bmatrix}$
• $\hat{c} = \frac{4}{5}, \hat{d} = \frac{2}{5}$
• Pinakamahusay na angkop na linya: $y = \frac{4}{5} + \frac{2}{5}x$
• $p = A \hat{x} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \ 1 & 0 \ 1 & 1 \ 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4/5 \ 2/5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2/5 \ 4/5 \ 6/5 \ 8/5 \end{bmatrix}$
• $e = \overrightarrow{b} - p = \begin{bmatrix} 0 \ 1 \ 2 \ 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2/5 \ 4/5 \ 6/5 \ 8/5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2/5 \ 1/5 \ 4/5 \ -3/5 \end{bmatrix}$
• $p \cdot e = \begin{bmatrix} 2/5 \ 4/5 \ 6/5 \ 8/5 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -2/5 \ 1/5 \ 4/5 \ -3/5 \end{bmatrix} = -\frac{4}{25} + \frac{4}{25} + \frac{24}{25} - \frac{24}{25} = 0$
• $e \bot \text{Col}(A)$

Isa Pang Paraan para Makita Ito

• Ang pinakamahusay na akmang linya ay dapat dumaan sa $(\bar{x}, \bar{y})$
• $\bar{x} = \frac{-1 + 0 + 1 + 2}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
• $\bar{y} = \frac{0 + 1 + 2 + 1}{4} = \frac{4}{4} = 1$
• $y = c + dx$
• $1 = c + d \cdot \frac{1}{2}$
• $c = 1 - \frac{d}{2}$
• $y = (1 - \frac{d}{2}) + dx$
• $E = || \overrightarrow{b} - A \hat{x} ||^2$
• $E = (-1 \cdot d - 1)^2 + (-\frac{d}{2} - 0)^2 + (\frac{d}{2} - 1)^2 + (\frac{3}{2}d - 0)^2$
• $\frac{dE}{dd} = 2(-d - 1)(-1) + 2(-\frac{d}{2})(-\frac{1}{2}) + 2(\frac{d}{2} - 1)(\frac{1}{2}) + 2(\frac{3}{2}d)(\frac{3}{2})$
• $= 2d + 2 + \frac{d}{2} - \frac{1}{2} + \frac{9}{4}d = \frac{20}{4}d + \frac{6}{4} = 5d + \frac{3}{2} = 0$
• $5d = -\frac{3}{2} \Rightarrow d = -\frac{3}{10}$, Ito ay isang pagkakamali.
• Hayaan $c = \hat{c}, d = \hat{d}$ Kailangang i-minimize
• $E = (c - d)^2 + (c)^2 + (c + d - 2)^2 + (c + 2d - 1)^2$
• Kunin $\frac{\partial E}{\partial c} = 2(c - d) + 2c + 2(c + d - 2) + 2(c + 2d - 1)$
• $= 2c - 2d + 2c + 2c + 2d - 4 + 2c + 4d - 2 = 8c + 4d - 6 = 0$
• $\frac{\partial E}{\partial d} = 2(c - d)(-1) + 2(c + d - 2) + 2(c + 2d - 1)(2)$
• $= -2c + 2d + 2c + 2d - 4 + 4c + 8d - 4 = 4c + 12d - 8 = 0$
• $8c + 4d = 6$
• $4c + 12d = 8$
• I-multiply ang pangalawang equation ng $-2$:
• $8c + 4d = 6$
• $-8c - 24d = -16$
• $-20d = -10$
• $d = \frac{1}{2}$
• $4c + 12 \cdot \frac{1}{2} = 8$
• $4c + 6 = 8$
• $4c = 2$
• $c = \frac{1}{2}$

Konklusyon

• Samakatuwid, $y = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}x$ at $\begin{bmatrix} c \ d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1/2 \ 1/2 \end{bmatrix}$

Obserbasyon

• $A^T e = \overrightarrow{0}$
• $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \ -1 & 0 & 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -2/5 \ 1/5 \ 4/5 \ -3/5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \ 0 \end{bmatrix}$

Matematika

Algebra

Mga Espesyal na Produkto

• $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
• $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$
• $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
• $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

Factorization

• $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
• $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
• $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

Logarithms

• $\log_a(x \cdot y) = \log_a(x) + \log_a(y)$
• $\log_a(\frac{x}{y}) = \log_a(x) - \log_a(y)$
• $\log_a(x^n) = n \cdot \log_a(x)$
• $\log_a(1) = 0$
• $\log_a(a) = 1$
• $\log_a(x) = \frac{\log_b(x)}{\log_b(a)}$

Progressions

Arithmetic

• $a_n = a_1 + (n - 1)d$
• $S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$

Geometric

• $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$
• $S_n = \frac{a_1(1 - r^n)}{1 - r}$
• $S_\infty = \frac{a_1}{1 - r}$

Kinakalkulang Numero

• $i = \sqrt{-1}$
• $i^2 = -1$
• $z = a + bi$
• $\bar{z} = a - bi$
• $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$
• $z^{-1} = \frac{\bar{z}}{|z|^2}$
• $e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)$

Geometry

Mga Lugar

Triangle

• $A = \frac{1}{2}bh$

Rectangle

• $A = lw$

Circle

• $A = \pi r^2$

Trapezoid

• $A = \frac{1}{2}(a + b)h$

Mga Volume

Cube

• $V = s^3$

Silindro

• $V = \pi r^2 h$

Cone

• $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$

Sphere

• $V = \frac{4}{3}\pi r^3$

Trigonometry

Trigonometric Functions

• $\sin(\theta) = \frac{opuesto}{hipotenusa}$
• $\cos(\theta) = \frac{adyacente}{hipotenusa}$
• $\tan(\theta) = \frac{opuesto}{adyacente}$
• $\csc(\theta) = \frac{1}{\sin(\theta)}$
• $\sec(\theta) = \frac{1}{\cos(\theta)}$
• $\cot(\theta) = \frac{1}{\tan(\theta)}$

Trigonometric Identities

• $\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1$
• $\tan^2(\theta) + 1 = \sec^2(\theta)$
• $1 + \cot^2(\theta) = \csc^2(\theta)$
• $\sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta)$
• $\cos(2\theta) = \cos^2(\theta) - \sin^2(\theta)$
• $\sin(\alpha \pm \beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) \pm \cos(\alpha)\sin(\beta)$
• $\cos(\alpha \pm \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) \mp \sin(\alpha)\sin(\beta)$

Mga Batas

Senos

• $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

Cosines

• $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos A$

Analytical Geometry

Distansya sa pagitan ng dalawang punto

• $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Slope ng linya

• $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Equation ng Linya

• $y = mx + b$
• $y - y_1 = m(x - x_1)$

Circle

• $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$

Elipse

• $\frac{(x - h)^2}{a^2} + \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1$

Hyperbola

• $\frac{(x - h)^2}{a^2} - \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1$

Parabola

• $(y - k)^2 = 4p(x - h)$

Calculus

Limit

• $\lim_{x \to c} f(x) = L$

Derivatives

• $\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$
• $\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$
• $\frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x$
• $\frac{d}{dx}(e^x) = e^x$
• $\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}$

Mga Tuntunin

Produkto

• $(uv)' = u'v + uv'$

Quotient

• $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

Chain

• $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

Integrals

• $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$
• $\int sin x dx = -cos x + C$
• $\int cos x dx = sin x + C$
• $\int e^x dx = e^x + C$
• $\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C$

Mga Tuntunin

Pag-substityut

• $\int f(g(x)) \cdot g'(x) dx = \int f(u) du$

Mga Bahagi

• $\int u dv = uv - \int v du$

Batayang Teorema ng Pagkalkula

• $\frac{d}{dx} \int_a^x f(t) dt = f(x)$
• $\int_a^b f'(x) dx = f(b) - f(a)$

Euclidean Algorithm

Introduksyon

• Isang mahusay na paraan upang kalkulahin ang greatest common divisor (GCD) ng dalawang integer.
• Ang GCD ay ang pinakamalaking integer na naghahati sa parehong numero nang walang natitira.

Paglalarawan ng Algorithm

• Nakabatay sa prinsipyo na ang GCD ng dalawang numero ay hindi nagbabago kung ang mas maliit na numero ay ibinawas sa mas malaking numero.
  1. Ibinigay ang dalawang numero na a at b, kung saan $a \geq b$.
  2. Kung b = 0, ang GCD ay a.
  3. Kung hindi, palitan ang a sa b at b sa natitira ng a na hinati sa b (a mod b).
  4. Ulitin ang mga hakbang 2 at 3 hanggang b ay 0.

Halimbawa

• Kalkulahin ang GCD ng 48 at 18.
  1. a = 48, b = 18
  2. a = 18, b = 48 mod 18 = 12
  3. a = 12, b = 18 mod 12 = 6
  4. a = 6, b = 12 mod 6 = 0
• Samakatuwid, ang MCD(48, 18) = 6

Pagpapatupad sa Python

def gcd(a, b):
    while(b):
        a, b = b, a % b
    return a

print(gcd(48, 18))  # Output: 6

Pagbibigay katuwiran

• Nakabatay sa sumusunod na ari-arian: $MCD(a, b) = MCD(b, a \mod b)$.
• Ito ay nabigyang katuwiran dahil ang anumang karaniwang divisor ng a at b ay dapat ding maging divisor ng $a \mod b$, at kabaliktaran.

Pansamantalang pagiging kumplikado

• Ang pansamantalang pagiging kumplikado ay $O(log \min(a, b))$.

Mga Aplikasyon

• Simplification ng fraction.
• Cryptography (RSA).
• Paglutas ng mga linear na equation diophantine.

Mga Ekstensyon

• Ang isang pinalawig na bersyon ng Euclidean algorithm ay hindi lamang kinakalkula ang GCD ngunit nahahanap din ang mga coefficients ng Bézout, ibig sabihin, ang mga integer x at y tulad na: $ax + by = MCD(a, b)$

Static Output Feedback

Motibasyon

• Madaling ipatupad (walang kailangang tagamasid).
• Mababang gastos.
• Angkop kung ang buong pagsukat ng estado ay hindi magagamit.
• Ang paglalagay ng pol ay hindi laging posible, o maaaring mangailangan ng napakalaking pakinabang, kaya kailangan ng ibang diskarte.

Depinisyon

• Isaalang-alang ang isang sistema: $\dot{x} = Ax + Bu$ at $y = Cx$ na ang static output feedback ay $u = -Ky$.
• Ang closed-loop system ay $\dot{x} = Ax - BKy = (A - BKC)x$.
• Ang problema ay ang paghahanap ng matrix na $K$ upang ang $A - BKC$ ay may nais na mga eigenvalue.

Halimbawa

• Isaalang-alang ang system: $\dot{x} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \ 0 & 0 \end{bmatrix} x + \begin{bmatrix} 0 \ 1 \end{bmatrix}u$ at $y = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}x$. Ang static output feedback ay $u = -Ky = - \begin{bmatrix} k_1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} x$.
• Ang closed-loop system ay $\dot{x} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \ -k_1 & 0 \end{bmatrix}x $.
• Ang characteristic equation ay $det(sI - (A-BKC)) = det \begin{bmatrix} s & -1 \ k_1 & s \end{bmatrix} = s^2 + k_1 = 0$.
• Maaaring ilagay saanman ang mga pole sa imaginary axis, ngunit hindi sa ibang lugar $s = \pm j \sqrt{k_1}$.

Teorema

• Isaalang-alang ang isang sistema $\dot{x} = Ax + Bu$ at $y = Cx$ kung saan $x \in \mathbb{R}^n, u \in \mathbb{R}^m, y \in \mathbb{R}^p$. Ipagpalagay na $rank(C) = p$. Pagkatapos, para sa halos anumang matrix $K \in \mathbb{R}^{m \times p}$ ay $rank \begin{bmatrix} A + BKC & B \ C & 0 \end{bmatrix} = n + min(m,p)$.

Chemical Engineering Thermodynamics

Kabanata 13 Vapor Liquid Equilibrium (VLE)

Mga Layunin

• Upang bumuo ng mga termodinamika para sa vapor-liquid equilibrium (VLE)
• Upang ipakita kung paano sinusukat at ginagamit ang data ng VLE

Saklaw

• Phase Rule
• VLE: Likas, qualitative na pag-uugali
• Simpleng mga modelo: Batas ni Raoult, batas ni Henry
• VLE ng binagong batas ni Raoult
• VLE mula sa Mga Equation ng Estado

Ang Likas na Katangian ng Ekwilibriyo

Equilibrium

• Ang isang sistema ay nasa ekwilibrium kapag wala itong ikagawi para sa pagbabago.

Mga Uri ng Equilibrium

• Thermal equilibrium
• Mechanical equilibrium
• Chemical equilibrium

Phase Rule

$$ \begin{aligned} \text{Gibbs Phase Rule} \ F = 2 - \pi + N \end{aligned} $$

• Kung saan:
  • $F =$ degrees of freedom
  • $\pi =$ number of phases
  • $N =$ number of chemical species
• Degrees of freedom: ilang intensive properties maaaring baguhin nang nakapag-iisa nang hindi nabubuo o nawawala ang isang phase.

Vapor-Liquid Equilibrium (VLE)

$$ T^{sat} = f(P) $$ $$ P^{sat} = f(T) $$

VLE para sa Purong Species

• Ang isang grapo ay nagpapakita ng vapor-liquid equilibrium para sa isang purong species (temperatura sa x-axis at pressure sa y-axis).

VLE: Qualitative na Pag-uugali

Vapor Pressure

• Ang vapor pressure ng isang purong substance ay ang pressure na ibinibigay ng vapor nito kapag ang vapor at likido (o solid) ay nasa ekwilibrium sa isang temperatura.

$$ \ln P^{sat} = A - \frac{B}{T} $$

• Antoine Equation:* $$ \ln P^{sat} = A - \frac{B}{T + C} $$
• Kung saan ang $A, B, C$ ay mga substance-specific constant.

VLE: Qualitative na Pag-uugali

$$ \frac{d P^{sat}}{dT} = \frac{\Delta H_{LV}}{T \Delta V_{LV}} $$

• Clapeyron Equation: Inilalarawan ang pagbabago ng vapor pressure sa pagbabago ng temperatura.
• Kung ipagpalagay:
  1. $V_V >> V_L$
  2. $V_V = RT/P$

$$ \frac{d \ln P^{sat}}{dT} = \frac{\Delta H_{LV}}{RT^2} $$

• Clausius-Clapeyron Equation:* $$ \ln P^{sat} = -\frac{\Delta H_{LV}}{RT} + const. $$

VLE: Simpleng mga Modelo

• Batas ni Raoult
• Batas ni Henry

VLE: Simpleng Mga Modelo

Batas ni Raoult

$$ y_i P = x_i P_i^{sat} $$

• Kung saan:
  • $y_i$ ang vapor-phase mole fraction
  • $x_i$ ang liquid-phase mole fraction
  • $P_i^{sat}$ ang vapor pressure ng purong species $i$ sa temperatura ng sistema
• Pagpapalagay:*
• Ang vapor phase ay isang ideal gas
• Ang liquid phase ay isang ideal solution
• Ideal Solution:* Isang solution kung saan ang enthalpy ng paghahalo at ang volume ng paghahalo ay zero.

VLE: Simpleng Mga Modelo

Batas ni Henry

$$ y_i P = x_i H_i $$

• Kung saan:
  • $H_i$ ay Henry's Law constant para sa species $i$ sa isang partikular na solvent.
• Karaniwang inilalapat para sa isang gas na natunaw sa isang likido.

VLE: Simpleng Mga Modelo

• Halimbawa:*

• Ang hangin ay natunaw sa tubig. Tukuyin ang mga komposisyon ng hangin na natunaw sa tubig sa $25^\circ C$ at 1 bar.

• Solusyon: Ang batas ni Henry ay angkop para sa mga sistema ng gas/likido. Mula sa Table 13.1, nakukuha:

  • $H_i$ (oxygen) = 4.91E4 bar
  • $H_i$ (nitrogen) = 8.64E4 bar

• Samakatuwid: $y_iP = x_iH_i$ at $x_i = y_iP/H_i$

VLE: Simpleng Mga Modelo

Dahil ang hangin ay naglalaman lamang ng oxygen at nitrogen, $y_{O_2} = 0.21$ at $y_{N_2} = 0.79$. Samakatuwid: $x_{O_2} = (0.21)(1 bar)/(4.91E4 bar) = 4.28E-6$ $x_{N_2} = (0.79)(1 bar)/(8.64E4 bar) = 9.14E-6$

Mol fraction ng tubig: $x_{H_2O} = 1 - x_{O_2} - x_{N_2} = 1 - 4.28E-6 - 9.14E-6 = 0.9999866$

VLE ng Binagong Batas ni Raoult

$$ y_i P = x_i \gamma_i P_i^{sat} $$

• Kung saan:
  • $\gamma_i$ ay activity coefficient na nagtatama para sa mga non-ideality ng liquid phase at kung saan $\gamma_i = f(T, P, x_i)$.

VLE ng Binagong Batas ni Raoult

• Para sa mababa hanggang katamtamang presyon:

$$ y_i P = x_i \gamma_i P_i^{sat} \exp \left( \frac{V_i^L (P - P_i^{sat})}{RT} \right) $$

• Kung saan:
  • $V_i^L$ ang molar volume ng purong likido $i$.
• Ang bahagi ng exponential ay tinatawag na Poynting correction, at karaniwang maliit maliban kung mataas ang pressures.

VLE mula sa Mga Equation ng Estado

• Para sa mga mixture, kailangan mixing rules upang suriin ang mga parameter ng mixture sa equation ng estado.

VLE mula sa Mga Equation ng Estado

• Halimbawa:*
• Peng-Robinson Equation na may van der Waals mixing rules:

$$ \begin{aligned} a &= \sum_i \sum_j x_i x_j (a_i a_j)^{1/2}(1 - k_{ij}) \ b &= \sum_i x_i b_i \end{aligned} $$

• Kung saan ang $k_{ij}$ ay isang binary interaction parameter, na nakuha sa pamamagitan ng mga eksperimento.

Prinsipyo ni Bernoulli

• Sinasabi na ang pagtaas sa bilis ng isang fluido ay sabay na nangyayari sa pagbaba ng presyon o pagbaba ng potensyal na enerhiya ng fluido.
• $\frac{v^2}{2} + gz + \frac{p}{\rho} = const.$
• Kung saan:
  • $v$ ay ang bilis ng fluido sa isang punto
  • $g$ ay ang acceleration dahil sa gravity
  • $z$ ay ang elevation ng punto sa itaas ng isang reference plane
  • $p$ ay ang presyon sa napiling punto
  • $\rho$ is ang density ng fluido

Venturi Meter

• Ang Venturi meter ay isang aparato na sumusukat sa daloy ng fluid sa pamamagitan ng tubo.
• $A_1V_1 = A_2V_2$
• $P_1 + \frac{1}{2} \rho V_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho V_2^2$
• $V_1 = A_2 \sqrt{\frac{2(P_1 - P_2)}{\rho (A_1^2 - A_2^2)}}$
• $Q = A_1V_1 = A_1A_2 \sqrt{\frac{2(P_1 - P_2)}{\rho (A_1^2 - A_2^2)}}$
  • Kung saan:
    • $A_1$ ang lugar ng unconstricted section ng tubo
    • $A_2$ ang lugar ng constricted section ng tubo
    • $V_1$ ang velocity ng fluido sa unconstricted section ng tubo
    • $V_2$ ang velocity ng fluido sa constricted section ng tubo
    • $P_1$ ang presyon sa unconstricted section ng tubo
    • $P_2$ ang presyon sa constricted section ng tubo
    • $\rho$ ang density ng fluido
    • $Q$ ang bilis ng pagdaloy ng fluido

Pitot Tube

• Aparatong ginagamit upang sukatin ang tulin ng daloy ng pluido. Ito ay gumagana sa pamamagitan ng pagsukat ng stagnation pressure, na kilala rin bilang kabuuang presyon, at ang static pressure.
• $P_t = P_s + \frac{1}{2} \rho V^2$
• $V = \sqrt{\frac{2(P_t - P_s)}{\rho}}$
  • Kung saan:
    • $P_t$ ang stagnation pressure
    • $P_s$ ang static pressure
• $\rho$ ang density ng fluido
• $V$ Ang tulin ng daloy ng pluido

Diagram ng Pitot Tube

• Ipinapakita ng diagram ang isang Pitot tube na ipinasok sa isang tubo. Ang tubo ng Pitot ay may dalawang butas: isa na nakaharap sa daloy ng likido (upang sukatin ang stagnation pressure) at isa na patayo sa daloy (upang sukatin ang static pressure). Ang pagkakaiba sa pagitan ng dalawang presyon na ito ay ginagamit upang kalkulahin ang tulin ng daloy ng likido.

Chemical Engineering Thermodynamics

Tratamento de Dados Analíticos (Analytical Data Processing)

Figuras de Mérito (Figures of Merit)

Incerteza (Uncertainty):

• Absoluta: $\pm$ yunit ng huling decimal place.
• Relativa: $\frac{Incerteza , absoluta}{Medida}$ (Uncertainty absolute/Measure.)

Tipos de Erros (Types of Errors):

• Sistemáticos (determinados): (Systematic /Determined)

  • Mga tiyak na sanhi. (Defined causes)
  • Paulit-ulit. (Repetitive)
  • Unidirectional (Unidirectional)
  • Exemplos: Erro de método, erro de operador, erro de equipamento, erro de reagentes ou soluções (Error of method, error of operator, error of equipment, error of reagents or solutions)

• Aleatórios (indeterminados): (Random/Indeterminate:)

  • Hindi alam na Sanhi. (Unknown causes)
  • Hindi paulit-ulit(Non-repetitive)
  • Bidireksyonal(Bidirectional)
  • Exemplo: Variações de temperatura, ruído elétrico, flutuações no ambiente(Example: Temperature variations, electrical noise, fluctuations in the environment)

Avaliação de Métodos Analíticos (Analytical Methods Assessment):

• Precisão: Pagkakasundo sa mga naulit na sukat.
• Exatidão: Pagkakasundo sa totoong halaga.
• Sensibilidade: Kakayahang makilala ang pagkakaiba sa maliit na konsentrasyon ng analyte.
• Limite de Detecção (LD ou LOD): Minimum concentration detectable with statistical confidence (Minimum concentration detectable with statistical confidence).
• Limite de Quantificação (LQ ou LOQ): Pinakamaliit quantities na maaaring matukoy nang tama at may katanggap-tanggap na katiyakan.
• Seletividade: Lawak hanggang saklaw ng paraans ay libre ang interferensya ng iba species sa matrix .
• Robustez: Kakayahang lumaban sa maliliit na pagbabago sa experimenta na kondisyon nang humarap sa resulta.
• Linearidade: Ang kakayahang magsilbi resulta sa proporcyolan na sa concensracion ng analyte nang may rany.
• Faixa Dinâmica: Ang ibaba at ay ang conctencatrans kung saan matutunan niya na kumuha linear ang precioso a totoo.

Tratamento Estatístico de Dados (Statistical Data Processing)

• Teste t de Student: (Student's t-test)
  • Paghahambing sa experimental means at referral value.(Compare experimental data with the referral value)
  • Paghahambing sa means sa two set of data.

$$t_{exp} = \frac{|\overline{x} - \mu|}{s/\sqrt{n}}$$

• Teste Q de Dixon: (Dixon's Q-test)
  • Pagtukoy sa outliers in set of data
  • Pagtanggi nang may values con base sa confymenta level

$$Q_{exp} = \frac{|valor , suspeito - valor , mais , próximo|}{amplitude , total , dos , dados}$$

• Teste F: (F-test)

  • Comparing mga standard deviations of two data sets.
  • To assess for significance between prescision
  • Compara variâncias (Compare Variances)

  $$F_{exp} = \frac{s_1^2}{s_2^2}$$ (onde $s_1^2 > s_2^2$)

• Intervalo de Confiança: (confidence interval)

  • Pinagbubuti saklaw ng values sa media nang nasa sample .(Improves on sample averages)
  • Para masabihan saan yung trunang values galing sa populasyon.

  $$IC = \overline{x} \pm \frac{t \cdot s}{\sqrt{n}}$$

  • $\overline{x}$: Mean samplo
  • $t$: t halega sa halimbawa para sa ibiniganteng value saka degree ng libay
  • $s$: sample standarta