Linear Equations Class 9

Linear Equations

• A linear equation is an equation in which the highest power of the variable is 1.
• General form of a linear equation: ax + by + c = 0, where a, b, and c are constants.
• Slope-intercept form: y = mx + b, where m is the slope and b is the y-intercept.
• Point-slope form: y - y1 = m(x - x1), where (x1, y1) is a point on the line and m is the slope.
• Linear equations can be solved using:
  • Graphical method: by plotting the graph and finding the point of intersection.
  • Algebraic method: by using substitution, elimination, or cross-multiplication.

Geometry and Mensuration

• Properties of 2D shapes:
  • Angles: sum of angles in a triangle is 180°, sum of angles in a quadrilateral is 360°.
  • Sides: opposite sides of a rectangle are equal, opposite angles of a rectangle are equal.
• Properties of 3D shapes:
  • Surface area: sum of areas of all faces.
  • Volume: amount of space inside the shape.
• Mensuration:
  • Perimeter: distance around a 2D shape.
  • Area: size of a 2D shape.
  • Circumference: distance around a circle.
  • Volume and surface area of various 3D shapes (e.g. cube, cuboid, cylinder, sphere).

Algebraic Expressions

• An algebraic expression is a mathematical phrase that contains variables, constants, and mathematical operations.
• Types of algebraic expressions:
  • Monomials: single term expressions (e.g. 2x, 5y).
  • Binomials: two-term expressions (e.g. 2x + 3, 5y - 2).
  • Polynomials: multiple-term expressions (e.g. 2x^2 + 3x - 4).
• Operations on algebraic expressions:
  • Addition and subtraction: combine like terms.
  • Multiplication: multiply each term by the multiplier.
  • Division: divide each term by the divisor.

Ratios and Proportions

• Ratio: a comparison of two quantities of the same kind.
• Proportion: an equation that states that two ratios are equal.
• Types of ratios:
  • Part-to-part ratio: compares two parts of a whole.
  • Part-to-whole ratio: compares a part to the whole.
• Properties of ratios:
  • Equivalent ratios: ratios that have the same value.
  • Inverse ratios: ratios that have the same value when inverted.

Percentage

• Percentage: a way to express a value as a fraction of 100.
• Calculating percentage:
  • Increase: (increase ÷ original value) × 100.
  • Decrease: (decrease ÷ original value) × 100.
• Types of percentage problems:
  • Finding the percentage increase or decrease.
  • Finding the original value.
  • Finding the new value after a percentage change.

रेषान समीकरण

• रेषान समीकरण हे एक समीकरण आहे ज्यामध्ये biếnची उच्चतम संवाद १ आहे.
• रेषान समीकरणाचा सामान्य स्वरुप: ax + by + c = 0, जहां a, b, आणि c हे स्थिरांक आहेत.
• ढाल-तोड समीकरणाचा स्वरुप: y = mx + b, जहां m हा ढाल आहे आणि b हा y-तोड आहे.
• बिंदू-ढाल समीकरणाचा स्वरुप: y - y1 = m(x - x1), जहां (x1, y1) हा रेषेचा बिंदू आहे आणि m हा ढाल आहे.
• रेषान समीकरणे सोडवण्यासाठी वापरली जातात:
  • चित्र-विधी: आलेख टाकून समीकरण सोडवणे.
  • बीजगणित-विधी: स्थान-आordova, समीकरण-आordova किंवा क्रॉस-उत्पादन-विधी वापरून.

ज्यामिती आणि मापन

• २डी आकारातील गुणधर्म:
  • कोन: त्रिकोणातील कोनांची बेरीज १८०° आहे, चौकोनातील कोनांची बेरीज ३६०° आहे.
  • बाजू: आयतातील विरुद्ध बाजू सारख्या आहेत, आयतातील विरुद्ध कोन सारखे आहेत.
• ३डी आकारातील गुणधर्म:
  • पृष्ठक्षेत्र: सर्व पृष्ठांची बेरीज.
  • आयतन: आकारातील जागा.
• मापन:
  • परिमा: २डी आकाराभोवती असलेली अंतर.
  • क्षेत्रफळ: २डी आकाराचे आकारमान.
  • परिधी: वृत्ताभोवती असलेली अंतर.
  • विविध ३डी आकारांचे आयतन आणि पृष्ठक्षेत्र (उदाहरणार्थ: घन, घनाकार, सिलिंडर, गół).

बीजगणितिक अभिव्यक्ती

• बीजगणितिक अभिव्यक्ती ही एक गणितीय वाक्य आहे ज्यामध्ये biến, स्थिरांक, आणि गणितीय क्रिया आहेत.
• बीजगणितिक अभिव्यक्तींचे प्रकार:
  • एकाधिक अभिव्यक्ती: एक टर्म अभिव्यक्ती (उदाहरणार्थ: २x, ५y).
  • द्वि-टर्म अभिव्यक्ती: दोन टर्म अभिव्यक्ती (उदाहरणार्थ: २x + ३, ५y - २).
  • बहु-टर्म अभिव्यक्ती: अनेक टर्म अभिव्यक्ती (उदाहरणार्थ: २x^२ + ३x - ४).
• बीजगणितिक अभिव्यक्तींवरील क्रिया: +_ADD_आणि Subtract: समान टर्म जोडून काढणे.
  • गुणाकार: प्रत्येक टर्मला गुणाकार करने.
  • विभाजन: प्रत्येक टर्मला विभाजन करने.

प्रमाण आणि समानुपात

• प्रमाण: दोन समान प्रकारच्या मूल्यांची तुलना.
• समानुपात: दोन प्रमाणांची समानता सांगणारी समीकरण.
• प्रमाणांचे प्रकार:
  • अंश-त-Whole प्रमाण: एक भागाची संपूर्णासोबत तुलना.
  • अंश-त-भाग प्रमाण: दोन भागांची तुलना.
• प्रमाणांचे गुणधर्म:
  • समान प्रमाण: समान मूल्य असलेली प्रमाणे.
  • उलट प्रमाण: उलट मूल्य असलेली प्रमाणे.

टक्केवारी

• टक्केवारी: १००चा कोटा म्हणून मूल्य व्यक्त करणे.
• टक्केवारी काढणे:
  • वाढ: (वाढ ÷ मूळ मूल्य) × १००.
  • घट: (घट ÷ मूळ मूल्य) × १००.
• टक्केवारीच्या समस्या:
  • टक्केवारी वाढ किंवा घट सापडणे.
  • मूळ मूल्य सापडणे.
  • टक्केवारी बदलानंतर नवीन मूल्य सापडणे.