Lineaire Vergelijkingssystemen

Lineaire Vergelijkingssystemen

• Een lineair vergelijkingssysteem is een verzameling lineaire vergelijkingen met dezelfde variabelen.
• Een voorbeeld van een lineair systeem met drie vergelijkingen en drie variabelen (x, y, z):
  • 2x + y - z = 1
  • x - y + z = 2
  • x + y + z = 3
• De algemene vorm van een systeem met 'm' lineaire vergelijkingen en 'n' variabelen (x₁, x₂, ..., xₙ) is:
  • a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁
  • a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂
  • ...
  • aₘ₁x₁ + aₘ₂x₂ + ... + aₘₙxₙ = bₘ
  • Hierbij zijn aᵢⱼ en bᵢ reële getallen.
• Een oplossing van zo'n systeem is een set waarden voor de variabelen die alle vergelijkingen tegelijkertijd waar maken.
• Een systeem kan hebben:
  • Één unieke oplossing (consistent en onafhankelijk).
  • Oneindig veel oplossingen (consistent en afhankelijk).
  • Geen oplossing (inconsistent).
• Het oplossen van een systeem betekent het vinden van al zijn oplossingen.

Oplossingsmethoden

• Er zijn verschillende methoden om lineaire systemen op te lossen:
  • Substitutie (vervanging)
  • Gelijkstelling
  • Reductie (eliminatie van Gauss)
  • Gauss-Jordan eliminatie
  • Regel van Cramer
  • Matrixtmethoden (inverse matrix, etc.)

Substitutie Methode

• Bij substitutie wordt een variabele in één vergelijking geïsoleerd en vervangen in de andere vergelijkingen.
• Dit vermindert het aantal variabelen en vergelijkingen.
• Het proces wordt herhaald tot een vergelijking met één variabele overblijft, die makkelijk op te lossen is.
• De gevonden waarde wordt vervolgens teruggesubstitueerd om de andere variabelen te vinden.
• Voorbeeld: Los op:
  • x + y = 5
  • 2x - y = 1
  • Oplossing: x = 5 - y, substitueer in de tweede vergelijking: 2(5 - y) - y = 1, wat leidt tot y = 3. Substitueer y = 3 terug in de eerste vergelijking: x + 3 = 5, dus x = 2.
  • De oplossing is x = 2, y = 3.

Gelijkstellingsmethode

• Bij gelijkstelling wordt dezelfde variabele in twee verschillende vergelijkingen geïsoleerd, waarna de resulterende uitdrukkingen aan elkaar gelijk worden gesteld.
• Dit levert een nieuwe vergelijking op met één variabele minder.
• Herhaal dit proces tot je een vergelijking met één variabele hebt.
• Voorbeeld: Los op:
  • x + y = 5
  • 2x - y = 1
  • Oplossing: x = 5 - y en x = (1 + y)/2. Gelijkstellen geeft 5 - y = (1 + y)/2, wat leidt tot y = 3. Invullen: x + 3 = 5, dus x = 2.
  • De oplossing is x = 2, y = 3.

Reductiemethode (Eliminatie van Gauss)

• Vermenigvuldig vergelijkingen met constanten en tel ze op of trek ze af om een variabele te elimineren.
• Dit reduceert het aantal variabelen en vergelijkingen.
• Voorbeeld: Los op:
  • x + y = 5
  • 2x - y = 1
  • Oplossing: Tel de vergelijkingen op: 3x = 6, dus x = 2. Invullen: 2 + y = 5, dus y = 3.
  • De oplossing is x = 2, y = 3.

Gauss-Jordan Methode

• Een variant van de reductiemethode waarbij elementaire rij-operaties worden gebruikt om de uitgebreide matrix van het systeem om te zetten in de gereduceerde rij-echelonvorm.
• In de gereduceerde vorm kan de oplossing direct worden afgelezen.
• Elementaire rij-operaties:
  • Verwissel twee rijen.
  • Vermenigvuldig een rij met een constante ≠ 0.
  • Tel een veelvoud van een rij op bij een andere rij.
• Voorbeeld: Los op:
  • x + y = 5
  • 2x - y = 1
• De uitgebreide matrix is:

$$ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 5 \ 2 & -1 & 1 \end{bmatrix} $$

• Rij-operaties:
  • R₂ - 2R₁: $$ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 5 \ 0 & -3 & -9 \end{bmatrix} $$
  • R₂ / -3: $$ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 5 \ 0 & 1 & 3 \end{bmatrix} $$
  • R₁ - R₂:

$$ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \ 0 & 1 & 3 \end{bmatrix} $$ - De oplossing is x = 2, y = 3.

Regel van Cramer

• Een methode om systemen op te lossen met determinanten, toepasbaar als het aantal vergelijkingen gelijk is aan het aantal variabelen en de determinant van de coëfficiëntenmatrix niet nul is.
• Gegeven een stelsel van n vergelijkingen met n variabelen, wordt de oplossing gevonden met:
  • xᵢ = Dᵢ / D,
  • waarbij D de determinant is van de coëfficiëntenmatrix en Dᵢ de determinant van de matrix waarbij de i-de kolom is vervangen door de kolom van constante termen.
• Voorbeeld: Los op:
  • x + y = 5
  • 2x - y = 1
• De coëfficiëntenmatrix is:

$$ A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \ 2 & -1 \end{bmatrix} $$

• D = det(A) = (1)(-1) - (1)(2) = -3.
• Voor finding x, vervang de eerste kolom van A met de kolom van constante termen:

$$ A_x = \begin{bmatrix} 5 & 1 \ 1 & -1 \end{bmatrix} $$

• Dₓ = det(Aₓ) = (5)(-1) - (1)(1) = -6.
• x = Dₓ/D = -6/-3 = 2.
• Voor finding y vervang de tweede kolom van A met de kolom van constante termen:

$$ A_y = \begin{bmatrix} 1 & 5 \ 2 & 1 \end{bmatrix} $$

• D_y = det(A_y) = (1)(1) - (5)(2) = -9.
• y = D_y/D = -9/-3 = 3.
• De oplossing is x = 2, y = 3.

Matrixmethoden

• Lineaire vergelijkingsstelsels kunnen worden opgelost met matrixrekening, zoals met de inverse van een matrix.
• Gegeven Ax = b, waarbij A de coëfficiëntenmatrix is, x de vector van variabelen, en b de vector van constante termen.
• Als A inverteerbaar is, dan is x = A⁻¹b.
• Voorbeeld: Los op:
  • x + y = 5
  • 2x - y = 1
• De matrixvorm is: $$ \begin{bmatrix} 1 & 1 \ 2 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \ 1 \end{bmatrix} $$
• De coëfficiëntenmatrix is: $$ A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \ 2 & -1 \end{bmatrix} $$
• D = det(A) = -3.
• De inverse van A is:

$$ A^{-1} = \frac{1}{-3} \begin{bmatrix}

• 1 & -1 \
• 2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1/3 & 1/3 \ 2/3 & -1/3 \end{bmatrix} $$
• De oplossing is: $$ \begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix} = A^{-1}b = \begin{bmatrix} 1/3 & 1/3 \ 2/3 & -1/3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 \ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \ 3 \end{bmatrix} $$
• De oplossing is x = 2, y = 3.

Toepassingen

• Lineaire vergelijkingssystemen worden gebruikt in:
  • Natuurkunde: analyse van elektrische circuits, mechanica, etc.
  • Ingenieurswetenschappen: ontwerp van structuren, procescontrole, etc.
  • Economie: marktmodellen, evenwichtsanalyse, etc.
  • Informatica: computer graphics, AI, etc.
  • Wiskunde: optimalisatie, numerieke analyse, etc.