Questions and Answers
ابحث عن التعبير المناسب لتعريف الحد الجانبي من اليمين لدالة ما عند النقطة a.
ما هي الخاصية التي تصف القيمة التي يقترب منها الدالة كلما اقترب المدخل من نقطة معينة؟
ما تعريف الدالة؟
أي من التعبيرات الآتية تمثل الهوية في علم المثلثات؟
Signup and view all the answers
ما هي درجة التكرارية للدالة الجيبية (sin) والدالة الجيب التمام (cos)؟
Signup and view all the answers
أي من الخيارات التالية يصف سمة النطاق المحدود للدوال الكسرية؟
Signup and view all the answers
ما هي خاصية دالة مستمرة عند نقطة a؟
Signup and view all the answers
أي من الدوال التالية هو دالة خطية؟
Signup and view all the answers
أي من الصفات الآتية لا تنطبق على الدوال الجيبية؟
Signup and view all the answers
الهويات في علم المثلثات تشمل sin²(θ) + cos²(θ) = 2.
Signup and view all the answers
الدالة التربيعية لها الشكل y = ax² + bx + c.
Signup and view all the answers
الحدود اللانهائية تشير إلى قيم تقترب من صفر عند نقاط معينة.
Signup and view all the answers
الدالة أخرى دالة تعكس تأثير الدالة الأصلية تعرف بالدالة العكسية.
Signup and view all the answers
تستخدم قاعدة لُهُوب في التعبيرات التي تكون غير محددة مثل 0/0 أو ∞/∞.
Signup and view all the answers
الدالة الكسرية يمكن أن يكون لها نطاق غير محدود.
Signup and view all the answers
الدالة الأسية تُعبر عن نسبة ثابتة من التغيير.
Signup and view all the answers
الحد الجانبي الأيمن يرمز له بـ lim (x→a⁻) f(x).
Signup and view all the answers
قيمة المدى هي مجموعة القيم الممكنة للمدخلات x.
Signup and view all the answers
Study Notes
Limits
- Definition: A limit describes the value a function approaches as the input approaches a certain point.
- Notation: ( \lim_{x \to a} f(x) = L ) means as ( x ) approaches ( a ), ( f(x) ) approaches ( L ).
-
Types of Limits:
- One-sided limits: ( \lim_{x \to a^-} f(x) ) (from the left) and ( \lim_{x \to a^+} f(x) ) (from the right).
- Infinite limits: Behavior of ( f(x) ) as ( x ) approaches infinity or negative infinity.
-
Properties:
- Limits of sums, differences, products, and quotients.
- The Squeeze Theorem: If ( f(x) ) is squeezed between two functions that have the same limit at a point, then ( f(x) ) also approaches that limit.
- Continuity: A function is continuous at a point ( a ) if ( \lim_{x \to a} f(x) = f(a) ).
Trigonometry
-
Definitions:
- Sine (( \sin )), Cosine (( \cos )), Tangent (( \tan )): Fundamental ratios for right triangles.
- Unit Circle: A circle with radius 1, used to define trigonometric functions for all angles.
-
Key Identities:
- Pythagorean Identity: ( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 )
- Angle Sum and Difference:
- ( \sin(a \pm b) = \sin a \cos b \pm \cos a \sin b )
- ( \cos(a \pm b) = \cos a \cos b \mp \sin a \sin b )
-
Graphs:
- Periodicity: ( \sin(x) ) and ( \cos(x) ) have a period of ( 2\pi ); ( \tan(x) ) has a period of ( \pi ).
- Amplitude and phase shift affect the graphs of trigonometric functions.
- Applications: Used in modeling periodic phenomena such as waves, sound, and oscillations.
Functions
- Definition: A function is a relation in which each input has exactly one output.
- Notation: ( f(x) ) represents the function value at ( x ).
-
Types of Functions:
- Linear Functions: ( f(x) = mx + b )
- Quadratic Functions: ( f(x) = ax^2 + bx + c )
- Polynomial Functions: Combinations of powers of ( x ) with coefficients.
- Rational Functions: Ratio of two polynomials.
- Exponential Functions: ( f(x) = a \cdot b^x ) where ( b > 0 ).
- Logarithmic Functions: Inverse of exponential functions, ( f(x) = \log_b(x) ).
-
Properties:
- Domain and Range: Set of all possible inputs and outputs, respectively.
- Even and Odd Functions: Even functions are symmetric about the y-axis; odd functions are symmetric about the origin.
- Composition of Functions: ( (f \circ g)(x) = f(g(x)) ).
- Transformations: Includes shifting, stretching, compressing, and reflecting graphs of functions.
الحدود
- تعريف: الحد يصف القيمة التي تقترب منها الدالة عند اقتراب المدخلات من نقطة معينة.
- التدوين: ( \lim_{x \to a} f(x) = L ) يعني أنه عندما تقترب ( x ) من ( a )، تقترب ( f(x) ) من ( L ).
-
أنواع الحدود:
- الحدود عن جهة واحدة: ( \lim_{x \to a^-} f(x) ) (من اليسار) و ( \lim_{x \to a^+} f(x) ) (من اليمين).
- الحدود اللانهائية: تصف سلوك ( f(x) ) عندما تقترب ( x ) من اللانهاية أو من اللانهاية السلبية.
-
خصائص الحدود:
- حدود المجموعات والفرق والضرب والقسمة.
- نظرية الضغط: إذا كانت ( f(x) ) محصورة بين دالتين لهما نفس الحد عند نقطة معينة، فإن ( f(x) ) تقترب أيضًا من ذلك الحد.
- الاتصال: الدالة تكون متصلة عند النقطة ( a ) إذا كان ( \lim_{x \to a} f(x) = f(a) ).
علم المثلثات
-
تعريفات:
- جيب الزاوية (( \sin ))، جيب التمام (( \cos ))، ظل الزاوية (( \tan )): نسب أساسية للمثلثات القائمة.
- الدائرة الوحدة: دائرة تحتوي على نصف قطر يساوي 1، تُستخدم لتعريف الدوال المثلثية لجميع الزوايا.
-
الهويات الرئيسية:
- هوية فيثاغورس: ( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 )
- مجموع وفرق الزوايا:
- ( \sin(a \pm b) = \sin a \cos b \pm \cos a \sin b )
- ( \cos(a \pm b) = \cos a \cos b \mp \sin a \sin b )
-
الرسوم البيانية:
- الدورية: ( \sin(x) ) و ( \cos(x) ) لهما فترة تساوي ( 2\pi )؛ بينما ( \tan(x) ) له فترة تساوي ( \pi ).
- تؤثر السعة وتحويل الطور على الرسوم البيانية للدوال المثلثية.
- التطبيقات: تُستخدم في نمذجة الظواهر الدورية مثل الموجات والصوت والاهتزازات.
الدوال
- تعريف: الدالة هي علاقة حيث كل مدخل له ناتج واحد فقط.
- التدوين: ( f(x) ) تمثل قيمة الدالة عند ( x ).
-
أنواع الدوال:
- الدوال الخطية: ( f(x) = mx + b )
- الدوال التربيعية: ( f(x) = ax^2 + bx + c )
- الدوال متعددة الحدود: تركيبات من قوى ( x ) مع معاملات.
- الدوال الكسرية: نسبة بين دالتين متعددتين الحدود.
- الدوال الأسية: ( f(x) = a \cdot b^x ) حيث ( b > 0 ).
- الدوال اللوغاريتمية: عكس الدوال الأسية، ( f(x) = \log_b(x) ).
-
خصائص:
- المجال والمدى: مجموعة جميع المدخلات الممكنة والمخرجات على التوالي.
- الدوال الزوجية والفردية: الدوال الزوجية متناظرة حول محور ( y )؛ بينما الدوال الفردية متناظرة حول الأصل.
- تركيب الدوال: ( (f \circ g)(x) = f(g(x)) ).
- التحولات: تتضمن النقل، التمديد، الانضغاط، والانكسار في الرسوم البيانية للدوال.
الدوال
- تعريف: علاقة تعين مخرجان محددان لكل مدخل.
-
أنواع الدوال:
- خطية: تأخذ الشكل (y = mx + b)، ويمثل الرسم البياني لها خطًا مستقيمًا.
- تربيعية: تأخذ الشكل (y = ax² + bx + c)، ويمثل الرسم البياني لها قطع مكافئ.
- كثيرات الحدود: مجموع الحدود ذات الأسس الصحيحة غير السالبة.
- نسبية: نسبة بين عددين من كثيرات الحدود.
- أسية: تأخذ الشكل (y = ab^x)؛ حيث يوجد نسبة ثابتة من التغير.
- لوغاريتمية: معكوس الدوال الأسية.
-
المفاهيم الأساسية:
- النطاق: مجموعة القيم الممكنة للمدخلات (قيم (x)).
- المجال: مجموعة القيم الممكنة للمخرجات (قيم (y)).
- تكوين الدوال: دمج دالتين (مثل (f(g(x)))).
- الدوال المعكوسة: دالة تعكس تأثير الدالة الأصلية.
الحدود
- تعريف: القيمة التي تقترب منها الدالة عند اقتراب المدخل إلى نقطة معينة.
- الترميز: ( \lim (x→a) f(x) = L) تعني أنه عند اقتراب (x) من (a)، تقترب (f(x)) من (L).
-
أنواع الحدود:
-
حدود من جانب واحد:
- الحد الأيسر: ( \lim (x→a⁻) f(x) )
- الحد الأيمن: ( \lim (x→a⁺) f(x) )
- حدود لانهائية: حدود تنتج إلى اللانهاية؛ تدل على وجود اسيمتوت عمودي.
-
حدود من جانب واحد:
-
تقييم الحدود:
- التعويض المباشر: إدخال القيمة مباشرة في الدالة.
- العوامل: تبسيط التعبيرات لإزالة الأشكال غير المحددة.
- قاعدة لوبيتال: تستخدم للأشكال غير المحددة مثل (0/0) أو (∞/∞).
المثلثات
-
الدوال الأساسية:
- جيب (sin): النسبة بين الضلع المقابل والوتر.
- جيب التمام (cos): النسبة بين الضلع المجاور والوتر.
- ظل (tan): النسبة بين الضلع المقابل والضلع المجاور.
-
الدوال العكسية:
- قاطع الجيب (csc): (1/sin).
- قاطع جيب التمام (sec): (1/cos).
- قاطع الظل (cot): (1/tan).
- الدائرة الوحدة: دائرة ذات نصف قطر 1؛ وهي ضرورية لتعريف الدوال المثلثية لجميع الزوايا.
-
الهويات المثلثية:
- هويات فيثاغورس: (sin²(θ) + cos²(θ) = 1).
-
جمع وفرق الزوايا:
- (sin(a ± b) = sin(a)cos(b) ± cos(a)sin(b)).
- (cos(a ± b) = cos(a)cos(b) ∓ sin(a)sin(b)).
- التطبيقات: تُستخدم في الفيزياء والهندسة ورسوم الحاسوب لنمذجة الظواهر الدورية.
Studying That Suits You
Use AI to generate personalized quizzes and flashcards to suit your learning preferences.
Description
هذا الاختبار يركز على تعريف الحدود والخصائص المتعلقة بها، بالإضافة إلى مفاهيم أساسية في علم المثلثات مثل الدوال الجيبية وجيب التمام. سيتيح لك هذا الاختبار استكشاف كيفية اقتراب القيم من حد معين وأهمية هذه المفاهيم في الرياضيات.
