Limits and Continuity

Unidad 5: Límites y Continuidad

• La unidad trata sobre los conceptos y el cálculo de límites de funciones, así como la continuidad de las mismas.

5.1. Concepto de Límite de Una Función

• Describe el concepto de límite de una función desde una perspectiva intuitiva y formal.

Idea Intuitiva

• La expresión $\lim_{x \to a} f(x) = L$ significa que $f(x)$ se acerca a $L$ cuando $x$ se acerca a $a$.
• El valor de a puede ser un número real o $\pm \infty$.
• El valor de L puede ser un número real o $\pm \infty$.

Definición Formal ( $\epsilon - \delta$ )

• $\lim_{x \to a} f(x) = L$ si dado cualquier $\epsilon > 0$, existe $\delta > 0$ tal que si $0 < |x - a| < \delta$, entonces $|f(x) - L| < \epsilon$.

Límites Laterales

• Límite lateral por la derecha: $\lim_{x \to a^+} f(x) = L$ si dado cualquier $\epsilon > 0$, existe $\delta > 0$ tal que si $a < x < a + \delta$, entonces $|f(x) - L| < \epsilon$.
• Límite lateral por la izquierda: $\lim_{x \to a^-} f(x) = L$ si dado cualquier $\epsilon > 0$, existe $\delta > 0$ tal que si $a - \delta < x < a$, entonces $|f(x) - L| < \epsilon$.

Existencia del Límite

• El límite $\lim_{x \to a} f(x)$ existe y es igual a $L$ solo si existen los límites laterales y ambos son iguales a $L$.
• $\lim_{x \to a^+} f(x) = \lim_{x \to a^-} f(x) = L$.

5.2. Cálculo de Límites

• Detalla las propiedades de los límites y las técnicas para resolver indeterminaciones.

Propiedades de los Límites

• Si $\lim_{x \to a} f(x) = L$ y $\lim_{x \to a} g(x) = M$:
• $\lim_{x \to a} [f(x) \pm g(x)] = L \pm M$
• $\lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = L \cdot M$
• $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M}$, si $M \neq 0$
• $\lim_{x \to a} [f(x)]^n = L^n$, donde $n \in \mathbb{R}$

Indeterminaciones

• Las indeterminaciones comunes son: $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$, $0 \cdot \infty$, $\infty - \infty$, $1^{\infty}$, $0^0$ y $\infty^0$.
• Para resolver estas indeterminaciones, se utilizan técnicas como la factorización, racionalización, infinitésimos equivalentes y la regla de L'Hôpital.

Regla de L'Hôpital

• Si $\lim_{x \to a} f(x) = 0$ y $\lim_{x \to a} g(x) = 0$ (o ambos tienden a $\pm \infty$) y existe $\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$, entonces $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$.

5.3. Continuidad de Una Función

• Especifica la definición de continuidad en un punto, los tipos de discontinuidades y teoremas importantes relacionados con la continuidad en intervalos.

Definición de Continuidad en Un Punto

• Una función $f(x)$ es continua en $x = a$ si:
• Existe $f(a)$
• Existe $\lim_{x \to a} f(x)$
• $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$

Tipos de Discontinuidades

• Discontinuidad evitable: Existe $\lim_{x \to a} f(x)$, pero no coincide con $f(a)$ o $f(a)$ no existe.
• Discontinuidad inevitable de primera especie (salto): Existen los límites laterales, pero son diferentes: $\lim_{x \to a^+} f(x) \neq \lim_{x \to a^-} f(x)$.
• Discontinuidad inevitable de segunda especie (esencial): No existe al menos uno de los límites laterales.

Continuidad en Un Intervalo

• Una función es continua en un intervalo $(a, b)$ si es continua en cada punto del intervalo.
• Una función es continua en $[a, b]$ si es continua en $(a, b)$ y además es continua por la derecha en $a$ y por la izquierda en $b$.

Teoremas de Continuidad

• Teorema del valor intermedio (Bolzano): Si $f$ es continua en $[a, b]$ y $f(a)$ y $f(b)$ tienen signos opuestos, entonces existe al menos un $c \in (a, b)$ tal que $f(c) = 0$.
• Teorema de los valores intermedios: Si $f$ es continua en $[a, b]$ y $k$ es un valor entre $f(a)$ y $f(b)$, entonces existe al menos un $c \in (a, b)$ tal que $f(c) = k$.
• Teorema de Weierstrass: Si $f$ es continua en un intervalo cerrado $[a, b]$, entonces $f$ alcanza un máximo y un mínimo absoluto en ese intervalo.

Comparaison des principaux algorithmes de classification

• Introduce conceptos básicos sobre algoritmos de clasificación en el aprendizaje automático.

Introduction

• La clasificación es una tarea de aprendizaje automático supervisado que consiste en predecir la categoría de una nueva observación en función de un conjunto de datos de aprendizaje etiquetados.
• Hay muchos algoritmos de clasificación disponibles, cada uno con sus propias fortalezas y debilidades.

Algorithmes de classification

• Describe diferentes algoritmos de clasificación, incluyendo regresión logística, árbol de decisión, bosque aleatorio, máquina de vectores de soporte, K-Vecinos más cercanos y redes neuronales.
• Para cada algoritmo, se mencionan sus ventajas y desventajas.
• Régression Logistique
  • Modelo lineal que utiliza la función logística.
  • Es simple de interpretar y eficiente para clasificación binaria.
  • Supone una relación lineal y es sensible a valores atípicos.
• Arbre de Décision
  • Construye un árbol de decisión dividiendo el conjunto de datos recursivamente.
  • Es fácil de interpretar y puede manejar datos numéricos y categóricos.
  • Puede ser propenso al sobreajuste y puede ser inestable.
• Forêt Aléatoire
  • Conjunto de árboles de decisión entrenados en subconjuntos aleatorios.
  • Es más robusto y proporciona estimación de la importancia de las características.
  • Es más difícil de interpretar y puede ser costoso en términos de cálculo.
• Machine à Vecteurs de Support
  • Encuentra el hiperplano que mejor separa las categorías.
  • Es eficaz en espacios de alta dimensión y robusto a valores atípicos.
  • Puede ser costoso en términos de cálculo y la elección del núcleo puede ser difícil.
• K-Plus Proches Voisins
  • Clasifica basado en la clase mayoritaria de sus k vecinos más cercanos.
  • Es simple de implementar y se adapta a datos no lineales.
  • Puede ser costoso en términos de cálculo y sensible a la elección de la distancia.
• Réseaux de Neurones
  • Modelos complejos compuestos de neuronas interconectadas en capas.
  • Pueden modelar relaciones complejas y lograr alta precisión.
  • Pueden ser costosos en términos de cálculo y difíciles de interpretar.

Conclusion

• La elección depende del problema específico y las características de los datos, por ello la experimentación es importante para obtener métricas de rendimiento apropiadas.

The Laplace Transform

• Proporciona una definición formal de la transformada de Laplace junto con ejemplos y teoremas relacionados.

Definition

• Sea $f(t)$ definida para $t \ge 0$, entonces la Transformada de Laplace de $f(t)$, denotada por $F(s)$ o $\mathcal{L} {f(t) }$ está definida por $\mathcal{L} {f(t) } = F(s) = \int_0^\infty e^{-st} f(t) dt$, para todo $s$ para el cual la integral existe. $s$ puede ser real o complejo.

Examples

• Ejemplos de cálculo de la transformada de Laplace para $f(t) = 1$, $f(t) = e^{at}$, $f(t) = t$ y $f(t) = \sin(at)$.
• $\mathcal{L} { 1 } = \frac{1}{s}$, $s>0$
• $\mathcal{L} { e^{at} } = \frac{1}{s-a}$, $s>a$
• $\mathcal{L} { t } = \frac{1}{s^2}$, $s>0$
• $\mathcal{L} { \sin(at) } = \frac{a}{s^2 + a^2}$, $s>0$.

Theorem

• Si $\mathcal{L} { f(t) } = F(s)$ existe para $s > c$, entonces $\mathcal{L} { e^{at} f(t) } = F(s-a)$ para $s > a+c$.

Proof

• Demuestra que $\mathcal{L} { e^{at} f(t) } = \int_0^\infty e^{-st} e^{at} f(t) dt = \int_0^\infty e^{-(s-a)t} f(t) dt = F(s-a)$

Examples

• Muestra cómo aplicar el teorema para calcular transformadas de Laplace:
• $f(t) = t e^{3t}$, $\mathcal{L} { t e^{3t} } = \frac{1}{(s-3)^2}$, $s>3$.
• $f(t) = e^{-2t} \sin(3t)$, $\mathcal{L} { e^{-2t} \sin(3t) } = \frac{3}{(s+2)^2 + 9}$, $s>-2$.

Theorem

• Si $\mathcal{L} { f(t) } = F(s)$ existe para $s > c$, y si $f'(t)$ es continua para $t \ge 0$, entonces $\mathcal{L} { f'(t) } = sF(s) - f(0)$ para $s > c$.

Proof

• Demuestra que $\mathcal{L} { f'(t) } = \int_0^\infty e^{-st} f'(t) dt = sF(s) - f(0)$, $s>c$.

Theorem

• Si $\mathcal{L} { f(t) } = F(s)$ existe para $s > c$, y si $f''(t)$ es continua para $t \ge 0$, entonces $\mathcal{L} { f''(t) } = s^2 F(s) - sf(0) - f'(0)$ para $s > c$.

Proof

• Demuestra que $\mathcal{L} { f''(t) } = s^2 F(s) - sf(0) - f'(0)$, $s>c$.

Example

• Resuelve la ecuación diferencial $y'' + y = 0$ con condiciones iniciales $y(0) = 0$ y $y'(0) = 1$ usando la transformada de Laplace.
• Muestra que la solución es $y(t) = \sin(t)$.

Capítulo 1: Introdução à Econometria

• El capítulo introduce los conceptos básicos de la econometría, incluyendo la definición, tipos de datos económicos y la causalidad.

O que é Econometria?

• La econometría es el uso de métodos estadísticos para responder preguntas económicas.

Um Exemplo

• Un ejemplo sobre cómo el tamaño de la clase impacta el desempeño de los estudiantes.

Tipos de Dados Económicos

• Se enumeran los tipos de datos:
• Dados de corte transversal
• Datos de series temporales
• Datos de panel

Dados de Corte Transversal

• Datos sobre entidades en un solo período de tiempo.
• Ejemplo: salarios, educación de trabajadores para 2023.
• El orden de los datos no importa.

Dados de Séries Temporais

• Datos sobre una entidad en múltiples períodos de tiempo.
• Ejemplo: PIB, inflación, tasas US de 1960-2023.
• El orden de los datos importa.

Dados de Painel

• Datos sobre entidades en varios períodos de tiempo.
• También llamados datos longitudinales.
• Ejemplo: PIB, inflación para todos los países EU de 1990-2023.
• Datos de corte transversal y series temporales son casos especiales.

Causalidade e Inferência Causal

• El objetivo de la econometría es estimar el efecto causal.
• La inferencia causal es difícil.
• Correlación no implica causalidad.
• Variables omitidas y causalidad inversa son problemas.

Como responder a perguntas causais?

• Experimentos
• RCTs
• Experimentos naturales
• Cuasi-experimentos
• La inferencia causal con datos observacionales requiere métodos econométricos.