Limits and Continuity

Unidad 4: Límites y Continuidad

• El límite de f(x) cuando x tiende a x₀ es el valor al que f(x) se aproxima cuando x se aproxima a x₀.
• Para todo ε > 0, existe un δ > 0 tal que si 0 < |x - x₀| < δ, entonces _ |f(x) - L| < ε_.
• Límite lateral por la derecha: lim_(x→x₀⁺)_ f(x) = L
• Límite lateral por la izquierda: lim_(x→x₀⁻)_ f(x) = L
• El límite de una función en un punto existe si los límites laterales existen y son iguales, es decir, lim_(x→x₀)_ f(x) = L si y solo si lim_(x→x₀⁺)_ f(x) = lim_(x→x₀⁻)_ f(x) = L.
• Si f(x) es continua en x₀, entonces lim_(x→x₀)_ f(x) = f(x₀).
• Indeterminaciones: 0/0, ∞/∞, ∞ - ∞, 0 · ∞, 1^∞, 0⁰, ∞⁰

Resolución de Indeterminaciones

• Para 0/0, se utilizan factorización, racionalización o la regla de L'Hôpital.
• Para ∞/∞, se divide por la mayor potencia de x o se aplica la regla de L'Hôpital.
• Para ∞ - ∞, se usa álgebra para transformar la expresión a la forma 0/0 o ∞/∞.

Regla de L'Hôpital

• Si lim_(x→x₀)_ f(x)/g(x) es de la forma 0/0 o ∞/∞, entonces lim_(x→x₀)_ f(x)/g(x) = lim_(x→x₀)_ f'(x)/g'(x), siempre que el límite del lado derecho exista.
• Límite Infinito: lim_(x→x₀)_ f(x) = ∞ (o -∞)
• Límite en el infinito: lim_(x→∞)_ f(x) = L

Asíntotas

• Si lim_(x→x₀)_ f(x) = ±∞, entonces x = x₀ es una asíntota vertical.
• Si lim_(x→∞)_ f(x) = L (o lim_(x→-∞)_ f(x) = L), entonces y = L es una asíntota horizontal.
• La asíntota oblicua y = mx + b cumple que m = lim_(x→∞)_ f(x)/x y b = lim_(x→∞)_ [f(x) - mx].

Continuidad de una función

• Una función f(x) es continua en x = x₀ si:
  • f(x₀) está definida.
  • lim(x→x₀)_ f(x) existe.
  • lim(x→x₀)_ f(x) = f(x₀).

Discontinuidades

• Existe lim_(x→x₀)_ f(x) pero no coincide con f(x₀) o f(x₀) no está definido.
• Los límites laterales existen pero son diferentes.
• Al menos uno de los límites laterales no existe.

Propiedades de las funciones continuas

• La suma, resta, producto y cociente (denominador no cero) de funciones continuas es continua.
• La composición de funciones continuas es continua.

Teoremas importantes

• Teorema del Valor Intermedio (TVI): Si f(x) es continua en [a, b] y k está entre f(a) y f(b), existe al menos un c ∈ (a, b) tal que f(c) = k.
• Teorema de Bolzano: Si f(x) es continua en [a, b] y f(a) y f(b) tienen signos opuestos, existe al menos un c ∈ (a, b) tal que f(c) = 0.
• Teorema de Weierstrass: Si f(x) es continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces _f(x) alcanza un máximo y un mínimo absoluto en ese intervalo.

Tipus de Matrius

• Matriu rectangular: El nombre de files és diferent del nombre de columnes.
• Matriu quadrada: El nombre de files és el mateix que el nombre de columnes.
• Matriu fila: Té una única fila.
• Matriu columna: Té una única columna.
• Matriu transposada: S'obté a partir d'una altra intercanviant files per columnes.
• Matriu simètrica: Matriu quadrada que coincideix amb la seva transposada.
• Matriu identitat: Matriu quadrada amb diagonal principal composta per 1 i la resta per 0.
• Matriu diagonal: Matriu quadrada amb tots els elements iguals a 0 excepte els de la diagonal principal.
• Matriu triangular superior: Matriu quadrada amb elements per sota de la diagonal principal iguals a 0.
• Matriu triangular inferior: Matriu quadrada amb elements per sobre de la diagonal principal iguals a 0.

Operacions amb Matrius

• Suma de matrius: Només es poden sumar matrius amb les mateixes dimensions i se sumen els elements que ocupen la mateixa posició.
• Producte d'un escalar per una matriu: Es multiplica l'escalar per cada element de la matriu.
• Producte de matrius: Per multiplicar dues matrius, el nombre de columnes de la primera ha de ser igual al nombre de files de la segona.

Informatik

• Informatik ist die Wissenschaft der systematischen Verarbeitung von Informationen, besonders der automatischen Verarbeitung mithilfe von Digitalrechnern.
• Englische Übersetzungen sind Computer Science oder Informatics.

Teilgebiete der Informatik

• Theoretische Informatik behandelt formale Sprachen, Automatentheorie, Berechenbarkeitstheorie und Komplexitätstheorie.
• Technische Informatik behandelt Rechnerarchitektur, Rechnernetze und eingebettete Systeme.
• Praktische Informatik behandelt Programmiersprachen, Algorithmen, Datenstrukturen, Software Engineering, Datenbanken und Künstliche Intelligenz.
• Angewandte Informatik behandelt die Anwendung der Informatik in verschiedenen Bereichen.

Algorithmen

• Ein Algorithmus ist eine eindeutige Handlungsvorschrift zur Lösung eines Problems.
• Ein Algorithmus muss terminiert, eindeutig, effektiv und allgemein sein.

Datenstrukturen

• Eine Datenstruktur ist eine bestimmte Art, Daten zu speichern und zu organisieren, um effizienten Zugriff und Modifikation zu ermöglichen.
• Beispiele für Datenstrukturen sind Arrays, Listen, Bäume, Graphen und Hashtabellen.

Sortieralgorithmen

• Bubblesort ist einfach, aber ineffizient mit einer Komplexität von $O(n^2)$.
• Insertionsort ist effizient für kleine oder fast sortierte Daten, auch mit einer Komplexität von $O(n^2)$.
• Mergesort ist effizient und stabil, mit einer Komplexität von $O(n log n)$.
• Quicksort ist im Durchschnitt sehr effizient, aber im Worst-Case $O(n^2)$, mit einer durchschnittlichen Komplexität von $O(n log n)$.
• Heapsort garantiert eine Komplexität von $O(n log n)$.

Change of Variables in Multiple Integrals

• Theorem: For a $C^1$ transformation $T$ with non-zero Jacobian that maps a region $S$ in $uv$-space to a region $R$ in $xy$-space, and a continuous function $f$ on $R$, $\iint_R f(x, y) , dA = \iint_S f(x(u, v), y(u, v)) \left| \frac{\partial (x, y)}{\partial (u, v)} \right| , du , dv$, where $\frac{\partial (x, y)}{\partial (u, v)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix}$ is the Jacobian.
• Polar Coordinates: The transformation to rectangular coordinates is: x = r cos θ , _ y = r sin θ_ with Jacobian r. dA = r dr dθ
• Triple Integrals:
  • _∭_E _f(x, y, z) dV = ∭_E f(x, y, z) dx dy dz
• Cylindrical Coordinates:
  • x = r cos θ , _ y = r sin θ_ , _ z = z_ with Jacobian r. dV = r dz dr dθ _∭_E _f(x, y, z) dV = ∭_E f(r cos θ, r sin θ, z) r dz dr dθ

Thermodynamics

• Is the study of energy, entropy and the interrelated properties of matter.
• Has both Macroscopic and Microscopic Approaches

Thermodynamic Properties

• Intensive Properties are independent of the amount of mass in the system, e.g. temperature, pressure, density.
• Extensive Properties are dependent of the amount of mass in the system, e.g. mass, volume, energy.

Thermodynamic States and Processes

• A thermodynamic state is the condition of a system as defined by its properties.
• A thermodynamic process is a change in the state of a system.
• A thermodynamic cycle is a series of processes that returns the system to its initial state.

Thermodynamic Equilibrium

• A state where there are no changes in the macroscopic properties of the system.

Zeroth Law of Thermodynamics

• If two systems are separately in thermal equilibrium with a third system, then they are also in thermal equilibrium with each other.
• Temperature is a fundamental property that can be used to define thermal equilibrium.

Temperature Scales

• Conversions are as follows: T(K) = T(°C) + 273.15, T(°F) = 1.8 ⋅ T(°C) + 32, T(R) = T(°F) + 459.67.

Energy

• A measure of the capacity of a system to do work or transfer heat.
• Kinetic Energy (KE): KE = 1/2mv²
• Potential Energy (PE): PE = mgh

First Law of Thermodynamics

• The change in the total energy of a system is equal to the net heat added to the system minus the net work done by the system: ΔU = Q - W.

Enthalpy

• A thermodynamic property of a system, defined as the sum of the internal energy and the product of the pressure and volume: H = V + PV.

Specific Heat

• The amount of heat required to raise the temperature of a unit mass of a substance by one degree.
• cp = cv + R (for ideal gases)
• Q = mcDT

Control Volume Analysis

• Is a region in space through which mass and energy can flow.
• Conservation of Mass: ∑in ṁ = ∑out ṁ
• Conservation of Energy: Q̇ - Ẇ = ∑out ṁh - ∑in ṁh

Second Law of Thermodynamics

• The total entropy of an isolated system can only increase of remin constant in ideal cases: DS = ∫ dQ/T (Reversible)/ DS > ∫ dQ/T (Irreversible)

Third Law of Thermodynamics

• The entropy of a system approaches a minimum value at absolute zero temperature.

Thermodynamic Cycles

• A series of thermodynamic processes that returns a system to its initial states.

Ideal Gas

• A theoretical gas composed of randomly moving point particles that do not interact except when they collide elastically.
• Equation of State: PV = nRT

Real Gas

• A gas that does not behave as an ideal gas due to intermolecular interactions.

Phase Change

• The transformation of a substance from one state of matter to another.
• Saturation temperature is the temperature at which a phase change occurs at a given pressure.
• Saturation pressure is the pressure at which a phase change occurs at a given temperature.

Psychrometrics

• The study of the thermodynamic properties of moist air.

Thermodynamic Properties

• Mathematical relationships between thermodynamic properties.
• Relation Equations:
  • Clapeyron Equation: dP/dT = DH/TDV

Definicición de Espacio Vectorial

• Un espacio vectorial sobre un campo K es un conjunto V no vacío, con dos operaciones: suma y producto por un escalar.

Suma en V:

• (+) V x V --> V asocia a vectores u, v en V el vector u+v en V, verificando las siguientes propiedades:
  • Asociativa: (u+v)+w = u+(v+w), ∀ u, v, w ∈ V.
  • Conmutativa: u+v = v+u, ∀ u, v ∈ V.
  • Elemento Neutro: Existe 0 en V tal que u+0 = u, ∀ u ∈ V.
  • Elemento Opuesto: Para todo u en V, Existe (-u) en V tal que u+(-u) = 0.

Producto por un Escalar:

• (*) K x V --> V asocia a un escalar lambda en K y un vector u en V el vector lambda u en V verificando las siguientes propiedades:
  • Asociativa Mixta: lambda (mu u) = (lambda mu) u, ∀ lambda, mu ∈K, ∀ u ∈V.
  • _Distributiva Respecto a Suma de Escalares: (lambda+mu)u=lambda + mu, ∀lambda, mu ∈K, ∀ u ∈V.
  • _Distributiva Respecto a Suma de Vectores: lambda (u+v)=lambda u+lambda v, ∀ lambda ∈K, ∀ u, v ∈V.
  • Elemento Unidad: Existe 1 en K tal que 1*u=u, ∀ u ∈V.

Ejemplos de Espacios Vectoriales:

• Rn es EV sobre R.
• Cn es EV sobre C.
• Matrices nxm con elementos en R.
• Polinomios con coeficientes en R.
• Funciones reales de variable real continuas en [a,b].

Proposiciones

• lambda*0 = 0 para todo lambda en K.
• 0u= 0 para todo u en V.
• -lambda u =- (lambda u) para todo lambda en K, 0 u en V.
• lambda u ==0 implica lambda=0 o u=0.

Subespacios Vectoriales

• Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K. Un subconjunto S ⊆ V se dice que es un subespacio vectorial de V si S es un espacio vectorial sobre K con las mismas operaciones que V.
• Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K y sea S ⊆ V un subconjunto no vacío de V. Entonces, S es un subespacio vectorial de V si y sólo si:
  • u + v ∈ S, ∀ u, v ∈ S
  • λ · u ∈ S, ∀ λ ∈ K, ∀ u ∈ S

Operaciones con Subespacios

• La intersección de subespacios vectoriales es un subespacio vectorial.
• La unión de subespacios vectoriales no es, en general, un subespacio vectorial.
• La suma de S1 y S2 se define como: S1 + S2 = {u + v | u ∈ S1, v ∈ S2}.
  • S1 + S2 es un subespacio vectorial de V.
• Suma Directa: Es cuando la intersección de subespacios es cero.
• La suma S1 + S2 es directa si y sólo si todo vector de S1 + S2 se puede escribir de forma única como suma de un vector de S1 y un vector de S2.
• Subespacio Complementario: Si S es un subespacio vectorial de V, se dice que S es un subespacio complementario de S si V = S ⊕ S′.

Introduction to Reinforcement Learning

• Definition: Training an agent to make a sequence of decisions.
• Key Components:
  • Agent
  • Environment
  • State
  • Action
  • Reward

Characteristics of Reinforcement Learning

• Trial-and-Error Learning
• Delayed Reward
• Exploration vs. Exploitation

Reinforcement Learning vs. Other Machine Learning Paradigms

• Reinforcement Learning - Interaction with an environment, Reward signal, Maximize cumulative reward.
• Supervised Learning - Labeled data, Correct labels, Predict labels.
• Unsupervised Learning- Unlabeled data, No feedback, Discover hidden patterns.

Key Concepts

• Policy: A strategy that the agent uses to determine the next action based on the current state.
  • Deterministic: a = π(s)
  • Stochastic: π(a|s) = P(At = a | St = s)

State-Value Function & Action-Value Function:

• State-Value Function: Vπ(s) = Eπ[Gt | St = s]
• Action-Value Function: Qπ(s, a) = Eπ[Gt | St = s, At = a]

Types of Reinforcement Learning

• Model-Based vs. Model-Free
• On-Policy vs. Off-Policy
• Value-Based vs. Policy-Based
• Q-Learning-is an Off-Policy, Model-Free RL Algorithm.

Q-Learning Update Rule

Q(s, a) ← Q(s, a) + α [R + γ maxaQ(s', a) -Q(s, a)]

Reinforcement Learning: Challenges:

• Exploration-Exploitation Dilemma
• Credit Assignment Problem
• Non-Stationary Environment
• Sample Efficiency