Limitazioni di successioni

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Questions and Answers

Cosa rappresenta il limite del rapporto incrementale?

La funzione originale

La derivata della funzione (correct)

La tangente alla curva

Il valore della funzione nel punto x0

Una successione è limitata superiormente se:

∃M > 0 / |an| ≤ M, ∀n ∈ N

an → +∞

∃L ∈ R / an ≤ L, ∀n ∈ N (correct)

∀L ∈ R, ∃n0 ∈ N / an0 > L

Una successione è limitata inferiormente se:

∃M > 0 / |an| ≥ M, ∀n ∈ N

∃l ∈ R / an ≥ l, ∀n ∈ N (correct)

an → -∞

∀l ∈ R, ∃n0 ∈ N / an0 < l

Cos'è la derivata di una funzione?

Il coefficiente angolare della retta tangente Signup and view all the answers

Una funzione è detta derivabile quando:

È continua e il limite del rapporto incrementale esiste Signup and view all the answers

Il teorema di Fermat afferma che:

Una funzione derivabile in un punto ha una tangente orizzontale Signup and view all the answers

Una successione tende a l se:

∀ε > 0, ∃ν ∈ N / n > ν → |an - l| < ε Signup and view all the answers

Il teorema di unicità del limite afferma che:

ogni successione regolare ammette al più un limite Signup and view all the answers

La derivata di una funzione rappresenta:

Il coefficiente angolare della retta tangente Signup and view all the answers

Una successione è limitata se:

∃M > 0 / |an| ≤ M, ∀n ∈ N Signup and view all the answers

Una funzione è continua quando:

Il valore della funzione nel punto x0 è finito Signup and view all the answers

Un intorno circolare è definito come:

un insieme simmetrico di semi-ampiezza ε Signup and view all the answers

Cosa rappresenta la retta tangente?

La tangente alla curva nel punto x0 Signup and view all the answers

Il teorema di Fermat si applica quando:

Una funzione è continua e derivabile Signup and view all the answers

Una successione non è limitata superiormente se:

∀L ∈ R, ∃n0 ∈ N / an0 > L Signup and view all the answers

Se il limite di una successione an è maggiore del limite di una successione bn, cosa possiamo concludere?

an è maggiore di bn per n sufficientemente grande Signup and view all the answers

Definizione di limite di una funzione?

Il valore che la funzione assume quando x tende a x0 Signup and view all the answers

Se il limite di una funzione f(x) è L, cosa possiamo dire sul valore di f(x) quando x tende a x0?

f(x) è compreso tra L-ε e L+ε Signup and view all the answers

Quale è il caso di limite di funzione quando x0 è finito?

Limite al finito Signup and view all the answers

Se una funzione è monotona in un intervallo, cosa possiamo dire sulla sua crescita?

La funzione è sempre monotona Signup and view all the answers

Cosa possiamo concludere se il limite di una funzione è +∞?

La funzione tende a +∞ Signup and view all the answers

Quale teorema ci dice che se il limite di una funzione è maggiore del limite di un'altra funzione, allora la funzione è maggiore dell'altra?

Teorema del confronto Signup and view all the answers

Cosa rappresenta il valore di ε nella definizione di limite di funzione?

La distanza tra f(x) e L Signup and view all the answers

Study Notes

Successioni

Una successione $a_n$ è limitata superiormente se esiste $L \in R$ tale che $a_n \leq L$ per ogni $n \in N$
Una successione $a_n$ è limitata inferiormente se esiste $l \in R$ tale che $a_n \geq l$ per ogni $n \in N$
Una successione $a_n$ non è limitata superiormente se per ogni $L \in R$ esiste $n_0 \in N$ tale che $a_{n_0} > L$
Una successione $a_n$ non è limitata inferiormente se per ogni $l \in R$ esiste $n_0 \in N$ tale che $a_{n_0} < l$
Una successione $a_n$ è limitata se esiste $M > 0$ tale che $|a_n| \leq M$ per ogni $n \in N$

Intorni

Un intorno di $l \in R$ è un qualunque intervallo aperto del tipo $]h, k[$ con $h < l < k$
Un intorno circolare è un insieme simmetrico di semi-ampiezza $\epsilon > 0$, ovvero $]l - \epsilon, l + \epsilon[$
Si indica con $I(l)$ la famiglia degli intorni di $l$ e con $I \in I$ un generico intorno di $l$

Limite di una successione

Una successione $a_n$ tende a $l \in R$ se $\forall \epsilon > 0, \exists \nu \in N$ tale che $n > \nu \Rightarrow |a_n - l| < \epsilon$
Il teorema di unicità del limite afferma che ogni successione regolare ammette al più un limite

Derivata

La derivata di una funzione $f$ in un punto $x_0$ è il limite del rapporto incrementale: $\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$ per $h \rightarrow 0$
La derivata è la retta tangente al grafico di $f$ nel punto $x_0$

Derivabilità

Una funzione $f$ è derivabile se è continua e il limite del rapporto incrementale esiste finito

Teorema di Fermat

Se $f$ è una funzione derivabile in $]a, b[$ e $x_0 \in ]a, b[$ è un punto di minimo o massimo relativo, allora $f'(x_0) = 0$

Teorema del confronto

Se $\lim_{n \rightarrow \infty} a_n > \lim_{n \rightarrow \infty} b_n$, allora $a_n > b_n$ per ogni $n \in N$
Se $\lim_{n \rightarrow \infty} a_n < \lim_{n \rightarrow \infty} b_n$, allora $a_n < b_n$ per ogni $n \in N$

Limiti di funzione

Il limite di una funzione $f: X \subseteq R \rightarrow R$ è definito come il limite della funzione quando $x$ tende a un certo punto $x_0$ dell'intervallo $X$
Tre casi di limite di funzione:
- Limite al finito
- Limite a $+ \infty$
- Limite a $- \infty$

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Description

Quiz sulla limitazione di successioni in matematica. Verifica la tua conoscenza sulle condizioni di limitazione superiore e inferiore di una successione.