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Questions and Answers
Cosa rappresenta il limite del rapporto incrementale?
Cosa rappresenta il limite del rapporto incrementale?
- La funzione originale
- La derivata della funzione (correct)
- La tangente alla curva
- Il valore della funzione nel punto x0
Una successione è limitata superiormente se:
Una successione è limitata superiormente se:
- ∃M > 0 / |an| ≤ M, ∀n ∈ N
- an → +∞
- ∃L ∈ R / an ≤ L, ∀n ∈ N (correct)
- ∀L ∈ R, ∃n0 ∈ N / an0 > L
Una successione è limitata inferiormente se:
Una successione è limitata inferiormente se:
- ∃M > 0 / |an| ≥ M, ∀n ∈ N
- ∃l ∈ R / an ≥ l, ∀n ∈ N (correct)
- an → -∞
- ∀l ∈ R, ∃n0 ∈ N / an0 < l
Cos'è la derivata di una funzione?
Cos'è la derivata di una funzione?
Una funzione è detta derivabile quando:
Una funzione è detta derivabile quando:
Il teorema di Fermat afferma che:
Il teorema di Fermat afferma che:
Una successione tende a l se:
Una successione tende a l se:
Il teorema di unicità del limite afferma che:
Il teorema di unicità del limite afferma che:
La derivata di una funzione rappresenta:
La derivata di una funzione rappresenta:
Una successione è limitata se:
Una successione è limitata se:
Una funzione è continua quando:
Una funzione è continua quando:
Un intorno circolare è definito come:
Un intorno circolare è definito come:
Cosa rappresenta la retta tangente?
Cosa rappresenta la retta tangente?
Il teorema di Fermat si applica quando:
Il teorema di Fermat si applica quando:
Una successione non è limitata superiormente se:
Una successione non è limitata superiormente se:
Se il limite di una successione an è maggiore del limite di una successione bn, cosa possiamo concludere?
Se il limite di una successione an è maggiore del limite di una successione bn, cosa possiamo concludere?
Definizione di limite di una funzione?
Definizione di limite di una funzione?
Se il limite di una funzione f(x) è L, cosa possiamo dire sul valore di f(x) quando x tende a x0?
Se il limite di una funzione f(x) è L, cosa possiamo dire sul valore di f(x) quando x tende a x0?
Quale è il caso di limite di funzione quando x0 è finito?
Quale è il caso di limite di funzione quando x0 è finito?
Se una funzione è monotona in un intervallo, cosa possiamo dire sulla sua crescita?
Se una funzione è monotona in un intervallo, cosa possiamo dire sulla sua crescita?
Cosa possiamo concludere se il limite di una funzione è +∞?
Cosa possiamo concludere se il limite di una funzione è +∞?
Quale teorema ci dice che se il limite di una funzione è maggiore del limite di un'altra funzione, allora la funzione è maggiore dell'altra?
Quale teorema ci dice che se il limite di una funzione è maggiore del limite di un'altra funzione, allora la funzione è maggiore dell'altra?
Cosa rappresenta il valore di ε nella definizione di limite di funzione?
Cosa rappresenta il valore di ε nella definizione di limite di funzione?
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Study Notes
Successioni
- Una successione $a_n$ è limitata superiormente se esiste $L \in R$ tale che $a_n \leq L$ per ogni $n \in N$
- Una successione $a_n$ è limitata inferiormente se esiste $l \in R$ tale che $a_n \geq l$ per ogni $n \in N$
- Una successione $a_n$ non è limitata superiormente se per ogni $L \in R$ esiste $n_0 \in N$ tale che $a_{n_0} > L$
- Una successione $a_n$ non è limitata inferiormente se per ogni $l \in R$ esiste $n_0 \in N$ tale che $a_{n_0} < l$
- Una successione $a_n$ è limitata se esiste $M > 0$ tale che $|a_n| \leq M$ per ogni $n \in N$
Intorni
- Un intorno di $l \in R$ è un qualunque intervallo aperto del tipo $]h, k[$ con $h < l < k$
- Un intorno circolare è un insieme simmetrico di semi-ampiezza $\epsilon > 0$, ovvero $]l - \epsilon, l + \epsilon[$
- Si indica con $I(l)$ la famiglia degli intorni di $l$ e con $I \in I$ un generico intorno di $l$
Limite di una successione
- Una successione $a_n$ tende a $l \in R$ se $\forall \epsilon > 0, \exists \nu \in N$ tale che $n > \nu \Rightarrow |a_n - l| < \epsilon$
- Il teorema di unicità del limite afferma che ogni successione regolare ammette al più un limite
Derivata
- La derivata di una funzione $f$ in un punto $x_0$ è il limite del rapporto incrementale: $\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$ per $h \rightarrow 0$
- La derivata è la retta tangente al grafico di $f$ nel punto $x_0$
DerivabilitÃ
- Una funzione $f$ è derivabile se è continua e il limite del rapporto incrementale esiste finito
Teorema di Fermat
- Se $f$ è una funzione derivabile in $]a, b[$ e $x_0 \in ]a, b[$ è un punto di minimo o massimo relativo, allora $f'(x_0) = 0$
Teorema del confronto
- Se $\lim_{n \rightarrow \infty} a_n > \lim_{n \rightarrow \infty} b_n$, allora $a_n > b_n$ per ogni $n \in N$
- Se $\lim_{n \rightarrow \infty} a_n < \lim_{n \rightarrow \infty} b_n$, allora $a_n < b_n$ per ogni $n \in N$
Limiti di funzione
- Il limite di una funzione $f: X \subseteq R \rightarrow R$ è definito come il limite della funzione quando $x$ tende a un certo punto $x_0$ dell'intervallo $X$
- Tre casi di limite di funzione:
- Limite al finito
- Limite a $+ \infty$
- Limite a $- \infty$
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