Limieten van Functies: Een Inleiding

Limiet van een Functie

• De limiet van $f(x)$ als $x$ nadert tot $a$ is $L$ als de waarden van $f(x)$ willekeurig dicht bij $L$ kunnen worden gebracht door $x$ voldoende dicht bij $a$ te laten liggen, maar niet gelijk aan $a$.

Precieze Definitie van een Limiet

• Voor elke $\epsilon > 0$ bestaat er een $\delta > 0$ zodanig dat als $0 < |x - a| < \delta$ dan $|f(x) - L| < \epsilon$.
• Dit betekent dat $\lim_{x \to a} f(x) = L$.

Eenzijdige Limieten

• De linkerlimiet van $f(x)$ als $x$ nadert tot $a$ is $L$ (notatie: $\lim_{x \to a^-} f(x) = L$) als $x$ kleiner is dan $a$.
• De rechterlimiet van $f(x)$ als $x$ nadert tot $a$ is $L$ (notatie: $\lim_{x \to a^+} f(x) = L$) als $x$ groter is dan $a$.

Oneindige Limieten

• $\lim_{x \to a} f(x) = \infty$ betekent dat de waarden van $f(x)$ willekeurig groot kunnen worden gemaakt door $x$ voldoende dicht bij $a$ te nemen, maar niet gelijk aan $a$.
• $\lim_{x \to a} f(x) = -\infty$ betekent dat de waarden van $f(x)$ willekeurig groot negatief kunnen worden gemaakt door $x$ voldoende dicht bij $a$ te nemen, maar niet gelijk aan $a$.

Continuïteit

• Een functie $f$ is continu in een getal $a$ als $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$.
• Een functie $f$ is continu van rechts in een getal $a$ als $\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$.
• Een functie $f$ is continu van links in een getal $a$ als $\lim_{x \to a^-} f(x) = f(a)$.

Continuïteit op een Interval

• Een functie $f$ is continu op een interval als deze continu is in elk getal binnen dat interval.
• Bij een eindpunt van het interval betekent continuïteit continuïteit van rechts of continuïteit van links.