Ley de Planck: Radiación del cuerpo negro

Ley de Planck

• Describe la densidad espectral de la radiación electromagnética emitida por un cuerpo negro en equilibrio térmico a una temperatura T dada.
• Es un concepto fundamental en la mecánica cuántica.

Ecuación

• La ley de Planck se expresa mediante la ecuación: $B(\nu,T) = \frac{2h\nu^3}{c^2} \frac{1}{e^{\frac{h\nu}{kT}}-1}$
• $B(\nu,T)$ representa la radiancia espectral, que es la potencia emitida por unidad de área, por unidad de ángulo sólido y por unidad de frecuencia.
• $\nu$ denota la frecuencia de la radiación.
• $T$ simboliza la temperatura absoluta del cuerpo negro.
• $c$ es la velocidad de la luz en el vacío.
• $h$ es la constante de Planck.
• $k$ es la constante de Boltzmann.

Puntos Clave

• La ley de desplazamiento de Wien establece que la longitud de onda en la que la curva de radiación del cuerpo negro es máxima es inversamente proporcional a la temperatura: $\lambda_{max} = \frac{b}{T}$
• $b$ es la constante de desplazamiento de Wien ($b \approx 2.898 \times 10^{-3} m\cdot K$).
• La ley de Stefan-Boltzmann establece que la energía total irradiada por unidad de superficie de un cuerpo negro en todas las longitudes de onda por unidad de tiempo es directamente proporcional a la cuarta potencia de la temperatura absoluta del cuerpo negro: $j^* = \sigma T^4$
• $\sigma$ es la constante de Stefan-Boltzmann ($\sigma \approx 5.67 \times 10^{-8} W m^{-2} K^{-4}$).

Implicaciones

• La ley de Planck fue un paso crucial en el desarrollo de la mecánica cuántica, demostrando que la energía se intercambia en cantidades discretas.
• Se utiliza para determinar la temperatura de las estrellas y otros cuerpos celestes.
• Ayuda en el diseño de sistemas térmicos eficientes y en la comprensión de la transferencia de calor.

Ejemplo

• La gráfica muestra la Ley de Planck para cuerpos negros a diferentes temperaturas de 3000K a 6000K.
• La gráfica representa la radiancia espectral ($W sr^{-1} m^{-3}$) en el eje y frente a la longitud de onda ($\mu m$) en el eje x.
• Cada curva representa una temperatura diferente: 3000K, 4000K, 5000K y 6000K.
• A medida que aumenta la temperatura, el pico de la curva se desplaza a longitudes de onda más cortas (Ley de desplazamiento de Wien) y el área total bajo la curva aumenta drásticamente (Ley de Stefan-Boltzmann).
• La curva para 6000K tiene el pico más alto y se desplaza más a la izquierda, lo que indica una mayor intensidad y una longitud de onda máxima más corta en comparación con las curvas para temperaturas más bajas.
• La curva para 3000K tiene el pico más bajo y se desplaza más a la derecha, lo que indica una menor intensidad y una longitud de onda máxima más larga en comparación con las curvas para temperaturas más altas.

Bayes Ingenuo de Bernoulli

• Es adecuado para datos con características binarias/booleanas.

Fórmula

• La fórmula general es: $\mathbb{P}(x_i \mid y) = \mathbb{P}(i \mid y) x_i + (1 - \mathbb{P}(i \mid y))(1 - x_i)$
• $P(x_i \mid y)$ es la probabilidad de la característica $i$ dado la clase $y$.
• $x_i$ es el valor binario de la característica $i$.
• $P(i \mid y)$ es la probabilidad de que la característica $i$ ocurra en la clase $y$.

Ventajas

• Funciona bien con datos binarios.
• Es simple y eficiente.

Desventajas

• Asume que las características son independientes.
• Puede que no funcione bien con datos no binarios.