Les systèmes d'équations linéaires

• L'algèbre linéaire étudie les espaces vectoriels et les transformations linéaires, avec des applications en physique, ingénierie, informatique, économie et statistiques.
• Les systèmes d'équations linéaires servent à modéliser et résoudre des problèmes concrets.

Définitions Clés

• Une équation linéaire est exprimée sous la forme $a_1x_1 + a_2x_2 + ... + a_nx_n = b$, où $x_i$ sont les inconnues, $a_i$ les coefficients, et $b$ le terme constant.

• Un système d'équations linéaires est un ensemble d'équations linéaires, par exemple :

  $\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 +... + a_{1n}x_n = b_1 \ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 +... + a_{2n}x_n = b_2 \... \ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 +... + a_{mn}x_n = b_m \end{cases}$

• Une solution d'un système d'équations est un ensemble de valeurs qui vérifient toutes les équations.

• Un système compatible a au moins une solution.

• Un système incompatible n'a aucune solution.

• Un système déterminé a une solution unique.

• Un système indéterminé a une infinité de solutions.

Méthodes de Résolution

• Plusieurs méthodes existent pour résoudre des systèmes d'équations linéaires, incluant:
  • Substitution
  • Élimination (pivot de Gauss)
  • Cramer
  • Matricielle

Méthode de Substitution

• La méthode de substitution implique d'exprimer une inconnue en fonction des autres, puis de substituer cette expression dans les autres équations afin de réduire le système.

• On répète ce processus jusqu'à obtenir une équation à une seule inconnue, que l'on résout. Ensuite, on remonte les équations pour trouver les valeurs des autres inconnues.

• Exemple de résolution par substitution:

  $\begin{cases} x + y = 5 \ 2x - y = 1 \end{cases}$

• On tire $x = 5 - y$ de la première équation.

• On substitue dans la deuxième équation: $2(5 - y) - y = 1$, qui simplifie à $10 - 2y - y = 1$.

• Cela donne $-3y = -9$, donc $y = 3$.

• On reporte cette valeur: $x = 5 - 3 = 2$.

• Solution du système: $x = 2$ et $y = 3$.