Les propriétés des nombres réels

Corps des réels

• Les nombres réels ($\mathbb{R}$) forment un corps commutatif avec deux opérations : l'addition et la multiplication.
• L'addition a les propriétés de stabilité, d'associativité, de commutativité, d'existence d'un élément neutre (0) et d'existence d'un opposé (-x).
• La multiplication a les propriétés de stabilité, d'associativité, de commutativité, d'existence d'un élément neutre (1) et d'existence d'un inverse (x⁻¹) pour tout x non nul.
• La multiplication est distributive par rapport à l'addition : x(y+z) = xy+xz

Ordre total dans $\mathbb{R}$

• $\mathbb{R}$ est totalement ordonné par une relation notée "≤".
• Pour tous réels x et y, soit x ≤ y, soit y ≤ x.
• L'ordre est transitif (si x ≤ y et y ≤ z, alors x ≤ z) et antisymétrique (si x ≤ y et y ≤ x, alors x = y).
• L'ordre est compatible avec l'addition (si x ≤ y, alors x+z ≤ y+z) et avec la multiplication par un nombre positif (si x ≤ y et z ≥ 0, alors xz ≤ yz).
• Définitions :
  • x < y si x ≤ y et x ≠ y.
  • x ≥ y si y ≤ x.
  • x > y si y < x.
  • x est positif si x ≥ 0, strictement positif si x > 0, négatif si x ≤ 0 et strictement négatif si x < 0.

Axiome de la borne supérieure

• Toute partie non vide et majorée de $\mathbb{R}$ admet une borne supérieure dans $\mathbb{R}$.

Intervalles de $\mathbb{R}$

• Les intervalles sont définis par les inégalités entre deux nombres réels a et b (avec a ≤ b) ou par rapport à l'infini.
• Types d'intervalles : fermé ([a,b]), semi-ouvert à droite ([a,b[), semi-ouvert à gauche (]a,b]), ouvert (]a,b[), et intervalles infinis ([a,+∞[, ]a,+∞[, ]-∞,b], ]-∞,b[, ]-∞,+∞[ = $\mathbb{R}$).

Valeur absolue

• La valeur absolue de x, notée |x|, est définie comme x si x ≥ 0 et -x si x < 0.
• Propriétés :
  • |x| ≥ 0.
  • |x| = 0 si et seulement si x = 0.
  • |-x| = |x|.
  • |xy| = |x||y|.
  • √x² = |x|.
• Inégalité triangulaire : |x+y| ≤ |x| + |y|.
• Autre inégalité : ||x| - |y|| ≤ |x-y|.
• $|x| \le r \Leftrightarrow -r \le x \le r$
• $|x| \ge r \Leftrightarrow x \le -r \text{ ou } x \ge r$
• $|x-a| \le r \Leftrightarrow a-r \le x \le a+r$
• $|x-a| \ge r \Leftrightarrow x \le a-r \text{ ou } x \ge a+r$

Borne supérieure et inférieure

• Une partie A de $\mathbb{R}$ est majorée s'il existe M ∈ $\mathbb{R}$ tel que pour tout x ∈ A, x ≤ M ; M est un majorant de A.
• Une partie A de $\mathbb{R}$ est minorée s'il existe m ∈ $\mathbb{R}$ tel que pour tout x ∈ A, m ≤ x ; m est un minorant de A.
• Une partie A de $\mathbb{R}$ est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.
• Le plus grand élément de A (max A) est un élément M de A tel que tout élément de A lui est inférieur ou égal.
• Le plus petit élément de A (min A) est un élément m de A tel que tout élément de A lui est supérieur ou égal.
• La borne supérieure de A (sup A) est le plus petit des majorants de A.
  • Pour tout x ∈ A, x ≤ sup A.
  • Si pour tout x ∈ A, x ≤ M, alors sup A ≤ M.
• La borne inférieure de A (inf A) est le plus grand des minorants de A.
  • Pour tout x ∈ A, x ≥ inf A.
  • Si pour tout x ∈ A, x ≥ m, alors inf A ≥ m.
• M = sup A si et seulement si :
  • $\forall x \in A, x \le M$
  • $\forall \epsilon > 0, \exists x \in A$ tel que $x > M - \epsilon$
• m = inf A si et seulement si :
  • $\forall x \in A, x \ge m$
  • $\forall \epsilon > 0, \exists x \in A$ tel que $x < m + \epsilon$
• Si A a un plus grand élément, alors sup A = max A ; si A a un plus petit élément, alors inf A = min A.
• sup A et inf A ne sont pas nécessairement des éléments de A.

Densité de $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$

• Un corps K est archimédien si pour tout x ∈ K, il existe n ∈ $\mathbb{N}$ tel que n > x.
• $\mathbb{R}$ est un corps archimédien.
• Pour tous réels x et y tels que x < y, il existe un rationnel r ∈ $\mathbb{Q}$ tel que x < r < y (densité de $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$).
• $\mathbb{R}$ \ $\mathbb{Q}$ est dense dans $\mathbb{R}$.