ক্যালকুলাস: ডিফারেনশিয়াল ও ইন্টিগ্রাল

গণিতশাস্ত্রের একটি শাখা যা সীমা, ফাংশন, ডেরিভেটিভ, ইন্টিগ্রাল এবং অসীম ধারা নিয়ে কাজ করে। বিজ্ঞান, প্রকৌশল, এবং অর্থনীতিতে অবিচ্ছিন্ন পরিবর্তন বিশ্লেষণের জন্য প্রয়োজনীয় সরঞ্জাম সরবরাহ করে। এর প্রধান দুটি শাখা হলো ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাস এবং ইন্টিগ্রাল ক্যালকুলাস।

ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাস

• কোনো ফাংশনের তাৎক্ষণিক পরিবর্তনের হার নিয়ে আলোচনা করে।
• ডেরিভেটিভ একটি ফাংশনের আউটপুট ইনপুটের সাপেক্ষে কতটা সংবেদনশীল, তা পরিমাপ করে।
• জ্যামিতিকভাবে, কোনো বিন্দুতে ডেরিভেটিভ হলো সেই বিন্দুতে ফাংশনের গ্রাফের স্পর্শক রেখার ঢাল।
• এর মূল প্রয়োগগুলো হলো অপটিমাইজেশন সমস্যা (সর্বোচ্চ এবং সর্বনিম্ন মান নির্ণয়) এবং গতি বিশ্লেষণ।

ইন্টিগ্রাল ক্যালকুলাস

• পরিমাণের accumulation এবং বক্ররেখার নিচে বা মধ্যবর্তী ক্ষেত্রফল নিয়ে আলোচনা করে।
• ইন্টিগ্রেশন হলো ডিফারেন্সিয়েশনের বিপরীত প্রক্রিয়া (অ্যান্টিডিফারেন্সিয়েশন)।
• নির্দিষ্ট ইন্টিগ্রাল একটি নির্দিষ্ট ব্যবধানে ফাংশনের গ্রাফ এবং x-অক্ষের মধ্যে নেট সাইনড এরিয়া গণনা করে।
• অনির্দিষ্ট ইন্টিগ্রাল হলো সেই ফাংশনগুলোর পরিবার যাদের ডেরিভেটিভ একই।
• ক্ষেত্রফল, আয়তন নির্ণয় এবং ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ সমাধান করার জন্য এটি ব্যবহৃত হয়।

সীমা (Limits)

• ক্যালকুলাসের ভিত্তি হলো এই ধারণা।
• সীমা কোনো ফাংশনের আচরণের বর্ণনা দেয়, যখন ইনপুট কোনো নির্দিষ্ট মানের কাছাকাছি যায়।
• ইহার প্রকাশ : lim (x→a) f(x) = L, অর্থাৎ x যখন 'a'-এর কাছাকাছি যায়, তখন f(x), 'L'-এর দিকে যায়।
• এটি ধারাবাহিকতা, ডেরিভেটিভ এবং ইন্টিগ্রাল সংজ্ঞায়নের জন্য অপরিহার্য।

ফাংশন

• ফাংশন হলো ইনপুট এবং আউটপুটের মধ্যে একটি সম্পর্ক, যেখানে প্রতিটি ইনপুটের জন্য একটি মাত্র আউটপুট থাকে।
• ফাংশনগুলোকে সমীকরণ, গ্রাফ এবং টেবিলের মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়।
• ক্যালকুলাস মূলত বাস্তব চলকের বাস্তব ফাংশন নিয়ে কাজ করে, তবে এটি আরও সাধারণ ফাংশনেও বিস্তৃত।

ডেরিভেটিভ

• f(x) ফাংশনের ডেরিভেটিভ x বিন্দুতে সংজ্ঞায়িত হয়: f'(x) = lim (h→0) [f(x+h) - f(x)] / h
• ডেরিভেটিভ ফাংশনের তাৎক্ষণিক পরিবর্তনের হার প্রদান করে।
• সাধারণ ডেরিভেটিভ নিয়ম:
  • পাওয়ার রুল: d/dx (x^n) = nx^(n-1)
  • কনস্ট্যান্ট মাল্টিপল রুল: d/dx [cf(x)] = c f'(x)
  • যোগ/বিয়োগ রুল: d/dx [f(x) ± g(x)] = f'(x) ± g'(x)
  • গুণ রুল: d/dx [f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
  • ভাগ রুল: d/dx [f(x)/g(x)] = [g(x)f'(x) - f(x)g'(x)] / [g(x)]^2
  • চেইন রুল: d/dx [f(g(x))] = f'(g(x)) * g'(x)
• উচ্চ ক্রমের ডেরিভেটিভ (দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ, তৃতীয় ডেরিভেটিভ, ইত্যাদি) বিদ্যমান এবং পরিবর্তনের হারের পরিবর্তন প্রকাশ করে।

ডেরিভেটিভের প্রয়োগ

• ক্রিটিক্যাল পয়েন্ট নির্ণয়: যে বিন্দুগুলোতে f'(x) = 0 অথবা সংজ্ঞায়িত নয়। এগুলো স্থানীয় সর্বোচ্চ, স্থানীয় সর্বনিম্ন, অথবা স্যাডল পয়েন্ট হতে পারে।
• অপটিমাইজেশন: শর্তসাপেক্ষে কোনো ফাংশনের সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন মান নির্ণয়ের জন্য ডেরিভেটিভ ব্যবহার করা হয়।
• সম্পর্কিত হার (Related Rates): বিভিন্ন চলকের পরিবর্তনের হার সম্পর্কিত সমস্যা; এই সম্পর্কগুলো খুঁজে বের করতে ডেরিভেটিভ ব্যবহার করা হয়।
• কার্ভ স্কেচিং: কোনো ফাংশনের গ্রাফ সঠিকভাবে স্কেচ করার জন্য প্রথম এবং দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ ব্যবহার করে বৃদ্ধি/হ্রাস, কনক্যাভিটি এবং ইনফ্লেকশন পয়েন্টের ব্যবধান নির্ধারণ করা হয়।
• লিনিয়ারাইজেশন: কোনো ফাংশনের মান তার স্পর্শক রেখা ব্যবহার করে আনুমানিক হিসাব করা।

ইন্টিগ্রাল

• a থেকে b পর্যন্ত f(x) ফাংশনের নির্দিষ্ট ইন্টিগ্রাল রিম্যান সামের সীমা হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়: ∫[a to b] f(x) dx = lim (n→∞) Σ[i=1 to n] f(x_i) Δx, যেখানে Δx = (b-a)/n এবং x_i হলো i-তম উপ-অঞ্চলের একটি বিন্দু।
• নির্দিষ্ট ইন্টিগ্রাল a থেকে b পর্যন্ত f(x) এর বক্ররেখার নিচে নেট সাইনড এলাকা উপস্থাপন করে।
• একটি ফাংশন f(x)-এর অনির্দিষ্ট ইন্টিগ্রাল হলো সেই সমস্ত ফাংশনের পরিবার যাদের ডেরিভেটিভ f(x)। এটিকে ∫ f(x) dx = F(x) + C দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, যেখানে F'(x) = f(x) এবং C হলো ইন্টিগ্রেশন ধ্রুবক।
• ক্যালকুলাসের মৌলিক উপপাদ্য:
  • প্রথম অংশ: যদি F(x) = ∫[a to x] f(t) dt হয়, তাহলে F'(x) = f(x)।
  • দ্বিতীয় অংশ: ∫[a to b] f(x) dx = F(b) - F(a), যেখানে F(x) হলো f(x)-এর যেকোনো অ্যান্টিডেরিভেটিভ।
• সাধারণ ইন্টিগ্রেশন নিয়ম:
  • পাওয়ার রুল: ∫ x^n dx = (x^(n+1)) / (n+1) + C (n ≠ -1 এর জন্য)
  • ধ্রুবক গুণিতক নিয়ম: ∫ cf(x) dx = c ∫ f(x) dx
  • যোগ/বিয়োগ নিয়ম: ∫ [f(x) ± g(x)] dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx
  • প্রতিস্থাপন নিয়ম: ∫ f(g(x))g'(x) dx = ∫ f(u) du, যেখানে u = g(x)
  • ইন্টিগ্রেশন বাই পার্টস: ∫ u dv = uv - ∫ v du
• ইম্প্রোপার ইন্টিগ্রাল: যে ইন্টিগ্রালে ইন্টিগ্রেশনের ব্যবধান অসীম অথবা ফাংশনের ব্যবধানে একটি ডিসকন্টিনিউটি রয়েছে।

ইন্টিগ্রালের প্রয়োগ

• বক্ররেখার মধ্যবর্তী ক্ষেত্রফল: দুটি বা ততোধিক বক্ররেখার মধ্যে ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে ফাংশনগুলোর পার্থক্য интегрировать করা হয়।
• ঘূর্ণন সলিডের আয়তন: ডিস্ক পদ্ধতি, ওয়াশার পদ্ধতি, বা শেল পদ্ধতির মতো পদ্ধতি ব্যবহার করে কোনো অঞ্চলকে একটি অক্ষের চারপাশে ঘুরিয়ে যে সলিড তৈরি হয় তার আয়তন নির্ণয় করা হয়।
• চাপ দৈর্ঘ্য: ইন্টিগ্রেশন ব্যবহার করে একটি বক্ররেখার দৈর্ঘ্য গণনা করা হয়।
• একটি ফাংশনের গড় মান: ইন্টিগ্রেশন ব্যবহার করে একটি ব্যবধানে একটি ফাংশনের গড় মান নির্ণয় করা হয়।
• কাজ: একটি নির্দিষ্ট দূরত্বে একটি বল দ্বারা করা কাজ গণনা করা হয়।
• ভর কেন্দ্র: ইন্টিগ্রেশন ব্যবহার করে একটি অঞ্চলের ভর কেন্দ্র নির্ণয় করা হয়।

অসীম ধারা

• অসীম ধারা হলো Σ[n=1 to ∞] a_n = a_1 + a_2 + a_3 + ... আকারের একটি রাশি।
• অসীম ধারার আংশিক যোগফল S_n হলো প্রথম n সংখ্যক পদের যোগফল: S_n = Σ[i=1 to n] a_i
• একটি ধারা converge করে যদি এর আংশিক যোগফলের অনুক্রম একটি নির্দিষ্ট সীমার দিকে যায়: lim (n→∞) S_n = S, যেখানে S হলো ধারাটির যোগফল।
• একটি ধারা diverge করে যদি এর আংশিক যোগফলের অনুক্রম একটি নির্দিষ্ট সীমার দিকে না যায়।
• অভিসৃতির পরীক্ষা:
  • ডাইভারজেন্স পরীক্ষা: যদি lim (n→∞) a_n ≠ 0 হয়, তবে ধারাটি ডাইভারজ করে।
  • ইন্টিগ্রাল পরীক্ষা: যদি x ≥ 1 এর জন্য f(x) একটি ধনাত্মক, অবিচ্ছিন্ন এবং ক্রমহ্রাসমান ফাংশন হয়, তবে Σ[n=1 থেকে ∞] f(n) এবং ∫[1 থেকে ∞] f(x) dx উভয়ই converge বা diverge করবে।
  • তুলনা পরীক্ষা: যদি সমস্ত n-এর জন্য 0 ≤ a_n ≤ b_n হয়, তবে যদি Σ b_n converge করে, তাহলে Σ a_n-ও converge করবে; এবং যদি Σ a_n diverge করে, তাহলে Σ b_n-ও diverge করবে।
  • লিমিট তুলনা পরীক্ষা: যদি lim (n→∞) (a_n / b_n) = c হয়, যেখানে c একটি সসীম ধনাত্মক সংখ্যা, তাহলে Σ a_n এবং Σ b_n উভয়ই converge বা diverge করবে।
  • অনুপাত পরীক্ষা: ধরা যাক L = lim (n→∞) |a_(n+1) / a_n|। যদি L < 1 হয়, তবে ধারাটি абсолютноভাবে converge করে; যদি L > 1 হয়, তবে ধারাটি diverge করে; যদি L = 1 হয়, তবে পরীক্ষাটি সিদ্ধান্তহীন।
  • রুট পরীক্ষা: ধরা যাক L = lim (n→∞) (|a_n|)^(1/n)। যদি L < 1 হয়, তবে ধারাটি абсолютноভাবে converge করে; যদি L > 1 হয়, তবে ধারাটি diverge করে; যদি L = 1 হয়, তবে পরীক্ষাটি সিদ্ধান্তহীন।
  • পর্যায়ক্রমিক ধারা পরীক্ষা: যদি ধারাটি Σ (-1)^n b_n বা Σ (-1)^(n+1) b_n আকারের হয়, যেখানে b_n > 0, এবং যদি b_n ক্রমহ্রাসমান হয় এবং lim (n→∞) b_n = 0 হয়, তবে ধারাটি converge করে।
• পাওয়ার সিরিজ: Σ[n=0 থেকে ∞] c_n (x-a)^n আকারের একটি ধারা, যেখানে c_n হলো সহগ এবং a হলো কেন্দ্র।
• টেলর এবং ম্যাকলরিন সিরিজ: ফাংশনকে অসীম পাওয়ার সিরিজ হিসাবে উপস্থাপন করা হয়।
  • a-তে কেন্দ্র করে f(x)-এর টেলর সিরিজ: Σ[n=0 থেকে ∞] [f^(n)(a) / n!] (x-a)^n
  • ম্যাকলরিন সিরিজ হলো 0-তে কেন্দ্র করে একটি টেলর সিরিজ: Σ[n=0 থেকে ∞] [f^(n)(0) / n!] x^n

মাল্টিভেরিয়েবল ক্যালকুলাস

• ক্যালকুলাসের ধারণাগুলোকে একাধিক চলকের ফাংশনে সম্প্রসারিত করে।
• আংশিক ডেরিভেটিভ: অন্যান্য চলককে ধ্রুবক ধরে একটি চলকের সাপেক্ষে একটি ফাংশনের ডেরিভেটিভ।
• গ্রেডিয়েন্ট: একটি ভেক্টর যাতে একটি ফাংশনের সমস্ত প্রথম-ক্রমের আংশিক ডেরিভেটিভ থাকে। এটি ফাংশনের সর্বাধিক বৃদ্ধির হারের দিকে নির্দেশ করে।
• দিকনির্দেশক ডেরিভেটিভ: একটি নির্দিষ্ট দিকে একটি ফাংশনের পরিবর্তনের হার।
• একাধিক ইন্টিগ্রাল: দুটি বা ততোধিক মাত্রার অঞ্চলে ইন্টিগ্রাল, যা ক্ষেত্রফল, আয়তন এবং অন্যান্য পরিমাণ নির্ণয় করতে ব্যবহৃত হয়।
• ভেক্টর ক্যালকুলাস: ভেক্টর ক্ষেত্র নিয়ে কাজ করে এবং এতে ডাইভারজেন্স, কার্ল, লাইন ইন্টিগ্রাল এবং সারফেস ইন্টিগ্রালের মতো ধারণা অন্তর্ভুক্ত থাকে।
• গ্রিনের উপপাদ্য, স্টোকসের উপপাদ্য এবং ডাইভারজেন্স উপপাদ্যের মতো উপপাদ্যগুলি বিভিন্ন মাত্রার ইন্টিগ্রালগুলির মধ্যে সম্পর্ক স্থাপন করে।