Квадраттық теңдеулер

Квадраттық теңдеулер

• Квадраттық теңдеу - бірінші дәрежедегі айнымалысы жоқ, бірақ екінші дәрежедегі айнымалысы бар алгебралық теңдеу.

• Жалпы түрдегі квадраттық теңдеу: ax² + bx + c = 0, мұндағы a, b және c - нақты сандар, ал a ≠ 0.

  • a - квадрат коэффициенті
  • b - сызықтық коэффициент
  • c - тұрақты коэффициент

• Квадраттық теңдеудің шешімдері:

  • Квадрат теңдеуді шешудің бірнеше әдісі бар, мысалы,

• толық квадратқа келтіру

• дискриминантты пайдалану

• формуланы қолдану

• графикалық әдіс

Квадрат теңдеулердің формалары

• Квадрат теңдеулер әртүрлі формада болуы мүмкін:

  • Стандартты түрде: ax² + bx + c = 0
  • Толық квадраттық түрде: a(x + m)² + n = 0. Мұндағы m және n - нақты сандар.

• Квадрат теңдеулердің түрлері:

  • Екі нақты түбірге ие квадрат теңдеулер - дискриминант оң болғанда. Дискриминант деп, b² - 4ac өрнегін айтады.
  • Екі тең нақты түбірге ие квадрат теңдеулер - дискриминант нөлге тең болғанда.
  • Комплекса санды түбірлерге ие квадрат теңдеулер - дискриминант теріс болғанда.

• Квадрат теңдеулердің түбірлері жөніндегі теоремалар:

  • Жоғарғыда айтылғандай, дискриминант квадрат теңдеудің түбірлерінің нақты немесе күрделі болатындығын анықтайды.
  • Қосындысы және көбейтіндісі түбірлері туралы теорема. Кез-келген квадрат теңдеуі ax^2 + bx + c = 0 үшін, түбірлерінің қосындысы -b/a және көбейтіндісі c/a болады.

• Квадрат теңдеулер өмірдің көптеген салаларында, мысалы физикада, геометрияда, экономикада жиі қолданылады. Олардың екі шешімі бар болуы немесе жоқ болуы мүмкін екенін түсіну маңызды.

Квадрат теңдеулердің шешілу әдістері

• Дискриминантты пайдалану

  • Дискриминант (D) = b² - 4ac
  • егер D > 0 болса, екі нақты түбір бар: x = (-b ± √D) / 2a
  • егер D = 0 болса, екі тең нақты түбір бар: x = -b / 2a
  • егер D < 0 болса, екі күрделі түбір бар.

• Толық квадратқа келтіру

  • Берілген квадрат теңдеудің формасын өзгерте отырып, оны толық квадратқа келтіруге болады.

• Формуланы пайдалану

  • ax² + bx + c = 0 теңдеуінің түбірлерін есептеу үшін жалпы формула бар. Формуланың жоғарыда берілген формасын тура пайдалану.

Қосымша түсіндірмеле

• Геометриялық тұрғыдан қарағанда, квадрат теңдеудің графигі параболаны бейнелейді. Түбірлер параболаның осьпен қиылысу нүктелеріне сәйкес келеді.
• Квадрат теңдеулерді шешу үшін теңдеудің түрін, коэффициенттерінін мәндерін қолдануға болады.
• Квадрат теңдеулерді шешкенде, есептеулерде оң және теріс таңбаларды ойып, ескере білу керек.