Questions and Answers
Agar diskriminant $D$ manfiy bo'lsa, kvadrat tenglamaning ikki marta takrorlanuvchi haqiqiy ildizi mavjud.
False
Kvadrat tenglamani faktorlash jarayonida $ac$ ko'paytmasiga teng bo'lgan ikkita raqamni aniqlash zarur.
True
Kvadrat formulasida $x = rac{b ext{ ± } ext{sqrt}(D)}{2a}$ ko'rsatilgan.
False
Kvadrat funksiyasi grafikasi har doim parabola shaklida bo'ladi.
Signup and view all the answers
Agar $a < 0$ bo'lsa, parabola pasayadi.
Signup and view all the answers
Kvadrat tenglamalar iqtisodiy masalalarda foydalari yo'qligini anglatadi.
Signup and view all the answers
Parabolaning vertikal simmetriya chizig'i $x = - rac{b}{2a}$ bo'ladi.
Signup and view all the answers
Agar kvadrat tenglamaning $D = 0$ bo'lsa, u bitta haqiqiy ildizga ega.
Signup and view all the answers
Study Notes
Roots of Quadratic Equations
- A quadratic equation is of the form: ( ax^2 + bx + c = 0 )
- Roots can be found using:
- Factoring
- Quadratic formula
- Completing the square
- Roots can be real or complex.
- Discriminant ( D = b^2 - 4ac ) determines the nature of the roots:
- ( D > 0 ): Two distinct real roots
- ( D = 0 ): One real root (repeated)
- ( D < 0 ): Two complex roots
Factoring Quadratics
- A quadratic can often be factored into the form ( (px + q)(rx + s) = 0 ).
- To factor:
- Identify two numbers that multiply to ( ac ) (product of ( a ) and ( c )) and add to ( b ) (coefficient of ( x )).
- Rewrite the middle term using these numbers and group terms.
- Example: ( x^2 + 5x + 6 ) factors to ( (x + 2)(x + 3) ).
Quadratic Formula
- The quadratic formula is given by: [ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ]
- Utilized when factoring is difficult or impossible.
- Provides exact roots based on coefficients ( a, b, c ).
Graphing Parabolas
- The graph of a quadratic function is a parabola.
- Standard form: ( y = ax^2 + bx + c )
- Key features:
- Vertex: Point where the parabola changes direction, found using ( x = -\frac{b}{2a} ).
- Axis of symmetry: The vertical line ( x = -\frac{b}{2a} ).
- Direction: Opens upwards if ( a > 0 ), downwards if ( a < 0 ).
- Intercepts:
- y-intercept at ( (0, c) ).
- x-intercepts found via factoring or the quadratic formula.
Applications of Quadratics
- Quadratic equations model various real-world situations:
- Projectile motion: height as a function of time.
- Area problems: maximizing fields or garden areas.
- Economics: profit maximization or cost minimization.
- Often used in physics, engineering, and finance to describe relationships and optimize outcomes.
Kvadrat tenglamalarning ildizlari
- Kvadrat tenglama quyidagi shaklda: ( ax^2 + bx + c = 0 ).
- Ildizlarni topish usullari:
- Faktorlash
- Kvadrat formulasi
- Kvadratga to'ldirish
- Ildizlar haqiqiy yoki kompleks bo'lishi mumkin.
- Diskriminant ( D = b^2 - 4ac ) ildizlarning xususiyatini belgilaydi:
- ( D > 0 ): Ikkita farqli haqiqiy ildiz
- ( D = 0 ): Bittadan takrorlangan haqiqiy ildiz
- ( D < 0 ): Ikkita kompleks ildiz
Kvadratlarni faktorlash
- Kvadrat tenglamalar ko'pincha ( (px + q)(rx + s) = 0 ) ko'rinishida faktorlanishi mumkin.
- Faktorlash uchun:
- ( ac ) (a va c ning ko'paytmasi) bo'lgan ikki raqamni toping, bu raqamlar ( b ) (x ning koeffitsienti) ga qo'shiladi.
- O'rtadagi terminni ushbu raqamlar yordamida qayta yozing va terimlarni guruhlang.
- Misol: ( x^2 + 5x + 6 ) ni ( (x + 2)(x + 3) ) ga faktorlash mumkin.
Kvadrat formulasi
- Kvadrat formulasi quyidagi shaklda: [ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ]
- Faktorlash qiyin yoki imkonsiz bo'lgan hollarda qo'llaniladi.
- Ildizlarni aniq koeffitsientlar ( a, b, c ) ga asoslangan holda beradi.
Parabolalarning grafigi
- Kvadrat funksiyaning grafigi parabolani hosil qiladi.
- Standart ko'rinish: ( y = ax^2 + bx + c ).
- Asosiy xususiyatlar:
- Vertex: Parabola yo'nalishini o'zgartiradigan nuqta, ( x = -\frac{b}{2a} ) orqali topiladi.
- Simmetriya o'qi: Vertikal chiziq ( x = -\frac{b}{2a} ).
- Yo'nalish: ( a > 0 ) bo'lsa yuqoriga ochiladi, ( a < 0 ) bo'lsa pastga ochiladi.
- Kesish nuqtalari:
- y-kesishi ( (0, c) ) da joylashgan.
- x-kesishlari faktorlash yoki kvadrat formulasi orqali topiladi.
Kvadratlarning qo'llanilishi
- Kvadrat tenglamalar turli haqiqiy vaziyatlarni modellash uchun ishlatiladi:
- Proyeksiya harakati: vaqtga bog'liq balandlik.
- Maydonlar yoki bog'lar maydonlarini maksimal darajada oshirish.
- Iqtisodiyot: foyda maksimalizatsiyasi yoki xarajatlarni minimallashtirish.
- Fizika, muhandislik va moliya sohalarida munosabatlarni tasvirlash va natijalarni optimallashtirishda keng qo'llaniladi.
Studying That Suits You
Use AI to generate personalized quizzes and flashcards to suit your learning preferences.
Description
Bu test kvadrat to'plamlar va ularning ildizlari haqida. Kvadrat tenglamalarni yechish uchun ishlatiladigan metodlar, jumladan faktorlash, kvadrat formulasini qo'llash va kvadrat shaklni to'ldirish usullari ko'rib chiqiladi. Shuningdek, ildizlarning real yoki kompleks bo'lishi haqida ma'lumot beriladi.
