Корень квадратный и его свойства

Square Roots

• Definition: A square root of a number ( x ) is a value ( y ) such that ( y^2 = x ).
• Notation: The square root of ( x ) is denoted as ( \sqrt{x} ).
• Example:
  • ( \sqrt{9} = 3 ) because ( 3^2 = 9 ).
  • ( \sqrt{16} = 4 ) because ( 4^2 = 16 ).

Properties of Square Roots

1. Non-Negativity:

   • The square root of non-negative numbers is non-negative.
   • ( \sqrt{x} \geq 0 ) for ( x \geq 0 ).

2. Multiplicative Property:

   • ( \sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b} ).
   • Example: ( \sqrt{4} \times \sqrt{9} = \sqrt{36} = 6 ).

3. Quotient Property:

   • ( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} ) (for ( b \neq 0 )).
   • Example: ( \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \sqrt{6.25} = 2.5 ).

4. Square of a Square Root:

   • ( (\sqrt{x})^2 = x ) for ( x \geq 0 ).

5. Square Roots of Perfect Squares:

   • Perfect squares have integer square roots (e.g., ( 1, 4, 9, 16, 25 )).

Estimating Square Roots

• Approximation: For non-perfect squares, estimate using nearby perfect squares.
  • Example: ( \sqrt{10} ) is between ( \sqrt{9} = 3 ) and ( \sqrt{16} = 4 ).

Applications of Square Roots

• Geometry: Finding the length of sides in right triangles using the Pythagorean theorem.
• Algebra: Solving quadratic equations, especially in the form ( x^2 = a ).

Key Terms

• Radical: The symbol ( \sqrt{} ) used to denote square roots.
• Radicand: The number under the square root sign (e.g., in ( \sqrt{a} ), ( a ) is the radicand).
• Principal Square Root: The non-negative square root of a number.

Квадратные корни

• Определение: Квадратный корень числа ( x ) это такое значение ( y ), что ( y^2 = x ).
• Обозначение: Квадратный корень ( x ) обозначается как ( \sqrt{x} ).
• Пример: ( \sqrt{9} = 3 ), так как ( 3^2 = 9 ); ( \sqrt{16} = 4 ), потому что ( 4^2 = 16 ).

Свойства квадратных корней

• Ненегативность: Квадратный корень ненегативных чисел также ненегативен; ( \sqrt{x} \geq 0 ) для ( x \geq 0 ).
• Произведение: ( \sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b} ). Пример: ( \sqrt{4} \times \sqrt{9} = \sqrt{36} = 6 ).
• Деление: ( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} ) (для ( b \neq 0 )). Пример: ( \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \sqrt{6.25} = 2.5 ).
• Квадрат квадратного корня: ( (\sqrt{x})^2 = x ) для ( x \geq 0 ).
• Квадратные корни совершенных квадратов: Совершенные квадраты имеют целые квадратные корни (например, ( 1, 4, 9, 16, 25 )).

Оценка квадратных корней

• Приближение: Для несовершенных квадратов оценка проводится с использованием ближайших совершенных квадратов. Пример: ( \sqrt{10} ) находится между ( \sqrt{9} = 3 ) и ( \sqrt{16} = 4 ).

Применение квадратных корней

• Геометрия: Нахождение длины сторон в прямоугольных треугольниках по теореме Пифагора.
• Алгебра: Решение квадратных уравнений, особенно в форме ( x^2 = a ).

Ключевые термины

• Радикал: Символ ( \sqrt{} ), используемый для обозначения квадратных корней.
• Радиканд: Число под знаком квадратного корня (например, в ( \sqrt{a} ) ( a ) является радикандом).
• Главный квадратный корень: Ненегативный квадратный корень числа.