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Kontinuierliche und Hybride Simulation

• Bisher wurden kontinuierliche und diskrete Systeme streng getrennt betrachtet.
• Kontinuierliche Systeme stellen kontinuierliche Zustandsänderungen dar, die in naturwissenschaftlichen Anwendungen und populationsbasierten Systemen vorkommen.
• Diskrete Systeme stellen ereignisorientierte Zustandsänderungen dar, die in technischen Systemen und diskretisierten kontinuierlichen Systemen vorkommen.
• Hybride Simulation kombiniert kontinuierliche und diskrete Simulation, was die Interaktion in hybriden Systemen ermöglicht.
• Das Kapitel behandelt die Analyse kontinuierlicher Systeme, hybride Simulationsansätze und die Auswertung hybrider Simulationen.
• Ziel ist es, Basismodelle und Anwendungsbeispiele der hybriden Simulation kennenzulernen, zu erkennen, wann welche Simulationsart eingesetzt werden soll und einen Überblick über typische Anwendungsgebiete zu bekommen.

Interaktion in hybriden Systemen

• Der ereignisdiskrete Teil wird durch prozessorientierte oder agentenorientierte Modelle dargestellt, während der kontinuierliche Teil durch System Dynamics dargestellt wird.
• SD-Modelle beschreiben deterministisch kontinuierliche Abläufe (Differentialgleichungen), während ereignisdiskrete Modelle stochastische diskrete Abläufe beschreiben.
• Ein kontinuierliches Modell kann ein diskretes Ereignis erzeugen, z.B. wenn eine Bedingung erfüllt ist, während ein diskretes Ereignis/Zustand eine kontinuierliche Rate/Zustand beeinflussen kann.
• Es erfolgt eine wechselseitige Beeinflussung von diskreten und kontinuierlichen Modellen, wobei Zustandsvariablen und Flussraten des kontinuierlichen Modells vom Zustand oder von Ereignissen im diskreten Modell abhängen.

Analyse kontinuierlicher Systeme

• Um hybride Modelle zu simulieren, muss der diskrete Simulationsalgorithmus erweitert, der kontinuierliche Simulationsalgorithmus angepasst und die Interaktion zwischen beiden festgelegt werden.
• Die hybride Simulation erfordert die Kenntnis beider Simulationsansätze
• Die numerische Analyse von Differentialgleichungen ist ein Gebiet der numerischen Mathematik
• Die Darstellung eines kontinuierlichen Modells umfasst Eingaben (kontrollierbar und unkontrollierbar), ein System mit Zustand und Ausgaben (beobachtbar).
• Zeitdiskrete Modelle berücksichtigen Änderungen zu festen Zeitpunkten
• In dem einfachsten Fall kann eine homogene, lineare Differentialgleichung der ersten Ordnung der Wert von x zum Zeitpunkt t mit dem Startwert x₀ berechnet werden.

Numerische Integration

• Die numerische Integration kann zur Lösung des bestimmten Integrals von Differentialgleichungen verwendet werden.
• Kontinuierliche Simulation zur Berechnung von x(t) basiert auf Information und mit dem Euler-Verfahren
• Das Euler-Verfahren ist einfach aber zu ungenau oder zu aufwändig mit einer Diskretisierung mit fester Schrittweite Δt.
• Es existieren viele Ansätze, was die Verbesserung betrifft
• Verfahren zur Lösung des Problems:
  • Berücksichtigung bereits vorher berechneter Werte
  • Einbeziehung zukünftiger Werte
  • Konvergenzordnung
  • Schrittweitensteuerung
  • Extrapolationsansätze
  • Ordnungssteuerung

Adaptive Schrittweitensteuerung

• Eine adaptive Schrittweitensteuerung wird während der Analyse verwendet, da die Zeitkonstanten eines Systems schwer ablesbar sind.
• Variable Schrittweiten liefern genaue Resultate mit vertretbarem Aufwand für komplexe Systeme.
• Die Schrittweitenhalbierung ist eine Methode zur Approximation von auftretenden Fehlern und zur Veränderung der Schrittweite, um die vorgegebene Fehlerschranke zu erreichen.
• In jedem Schritt werden drei Werte berechnet.
• Die Methode der eingebetteten Verfahren berechnet die Lösung mit zwei unterschiedlichen Verfahren und schätzt anschließend den Fehler.

Hybride Simulationsansätze

• Ereignisdiskrete Simulation: schrittweise Abarbeitung der Ereignisse.
• Kontinuierliche Simulation: schrittweises Fortschreiten der Zeit auf Basis des Integrationsalgorithmus.
• Die Synchronisation findet statt, falls ereignisdiskreter und kontinuierlicher Teil interagieren, wobei Δt in der Regel deutlich kleiner ist als die Zeit zwischen Ereignissen.
• Das ereignisdiskrete Modelle beeinflusst kontinuierliche Modelle durch veränderte Flussraten oder Zustandsvariablen und der diskrete Teil bestimmt den Zeitfortschritt.
• Gegenseitige Beeinflussung kontinuierlicher Variablen mit linearen Änderungen oder mit allgemeinen Änderungen ist möglich, auch mit zeitabhängiger Poisson Prozesse.
• Der Simulationsaufwand bei hybriden Simulationen kann sehr hoch sein, die Modellierung beeinflusst Simulationsaufwand.
• Interaktionen zwischen kontinuierlichem und diskretem Teil erhöhen den Aufwand.
• Zustandsabhängige Interaktionen sind teurer als ereignisgesteuerte Interaktionen
• Der Simulationsansatz für kontinuierliche Simulationen umfasst eine Simulation zeitabhängiger Poisson-Prozesse.

Auswertung hybrider Simulationen

• Stochastische Modelle erfordern statistische Auswertung
• Diskrete Resultatvariablen wie Wert zu einem Zeitpunkt oder Wert über einen Zeitraum können wie in der diskreten Simulation ausgewertet werden.
• Kontinuierliche Resultatvariablen müssen zu diskreten Zeitpunkten abgetastet werden, wobei hierbei Aufwand verursachend gegenüber der Genauigkeit abzuwiegen ist
• Desweiteren kann man die Eintrittszeiten von Ereignissen oder beim Über-/Unterschreiten von Bedingungen als Resultatvariablen bestimmen
• Bekannte Methoden der Simulationsauswertung wie transiente Phasen oder auch Korrelationen sind nutzbar