Konsep Dasar Geometri

Berikut ini catatan studi yang telah diperbarui dalam bahasa Indonesia:

• Geometri adalah cabang matematika yang mempelajari sifat-sifat dan hubungan antara titik, garis, bidang, dan bangun ruang.

Bentuk Geometri Dasar

• Titik adalah bentuk geometri dasar tanpa dimensi, biasanya dilambangkan dengan huruf kapital (misalnya, titik A).
• Garis adalah bentuk lurus tak terbatas yang hanya memiliki panjang, dilambangkan dengan huruf kecil (misalnya, garis p) atau dua titik yang terletak padanya (misalnya, garis AB).
• Segmen garis adalah bagian dari garis yang dibatasi oleh dua titik (titik ujung segmen garis), dilambangkan dengan AB, dengan A dan B adalah titik ujungnya.
• Sinar adalah bagian dari garis yang memiliki satu titik ujung dan tak terbatas ke arah lain.
• Bidang adalah bentuk datar tak terbatas yang memiliki panjang dan lebar, dilambangkan dengan huruf Yunani (misalnya, bidang α).

Posisi Relatif Bentuk Geometri

• Dua garis pada bidang dapat sejajar (tidak memiliki titik persekutuan), berpotongan (memiliki satu titik persekutuan, titik potong), atau identik (memiliki tak hingga banyak titik persekutuan).
• Garis dan bidang dapat sejajar (tidak memiliki titik persekutuan), berpotongan (memiliki satu titik persekutuan, titik potong), atau garis terletak pada bidang (memiliki tak hingga banyak titik persekutuan).
• Dua bidang dapat sejajar (tidak memiliki titik persekutuan) atau berpotongan (memiliki garis persekutuan, garis potong).

Sudut

• Sudut adalah bagian dari bidang yang dibatasi oleh dua sinar dengan titik awal yang sama (puncak sudut).
• Sudut diukur dalam derajat (°).
• Jenis-jenis sudut berdasarkan ukurannya:
  • Sudut lancip: kurang dari 90°.
  • Sudut siku-siku: 90°.
  • Sudut tumpul: lebih dari 90° dan kurang dari 180°.
  • Sudut lurus: 180°.
  • Sudut penuh: 360°.
• Pasangan sudut:
  • Sudut suplementer: memiliki puncak dan satu sisi yang sama, jumlah ukurannya adalah 180°.
  • Sudut vertikal: memiliki puncak yang sama dan sisi-sisi salah satu sinar berlawanan dengan sisi-sisi sinar lainnya, kongruen.
  • Sudut yang sesuai: terbentuk ketika dua garis sejajar dipotong oleh garis ketiga, terletak di sisi yang sama dari transversal dan pada posisi yang sesuai relatif terhadap garis sejajar, kongruen.
  • Sudut selang-seling: terbentuk ketika dua garis sejajar dipotong oleh garis ketiga, terletak di sisi yang berlawanan dari transversal dan di antara garis sejajar, kongruen.

Segitiga

• Segitiga adalah bentuk geometri bidang yang ditentukan oleh tiga titik yang tidak terletak pada garis yang sama, dan tiga segmen garis yang menghubungkannya (sisi segitiga).
• Jumlah sudut interior dalam segitiga adalah 180°.
• Klasifikasi segitiga berdasarkan sisi:
  • Segitiga sembarang: ketiga sisinya memiliki panjang yang berbeda.
  • Segitiga sama kaki: dua sisi (kaki) memiliki panjang yang sama.
  • Segitiga sama sisi: ketiga sisinya memiliki panjang yang sama, semua sudut interior memiliki ukuran 60°.
• Klasifikasi segitiga berdasarkan sudut:
  • Segitiga lancip: ketiga sudut interiornya lancip (kurang dari 90°).
  • Segitiga siku-siku: satu sudut interior adalah siku-siku (90°), sisi yang berhadapan dengan sudut siku-siku disebut hipotenusa, dua sisi lainnya adalah kaki.
  • Segitiga tumpul: satu sudut interior tumpul (lebih dari 90°).
• Ketinggian segitiga adalah segmen garis yang ditarik dari puncak segitiga tegak lurus ke sisi yang berlawanan (atau perpanjangannya).
• Median segitiga adalah segmen garis yang menghubungkan puncak segitiga ke tengah sisi yang berlawanan.
• Garis tengah segitiga adalah segmen garis yang menghubungkan tengah dua sisi segitiga, sejajar dengan sisi ketiga, dan panjangnya sama dengan setengah panjang sisi tersebut.
• Lingkaran luar segitiga melewati ketiga puncak segitiga, pusatnya adalah titik perpotongan garis bagi sisi-sisi segitiga.
• Lingkaran dalam segitiga menyentuh ketiga sisi segitiga, pusatnya adalah titik perpotongan garis bagi sudut interior segitiga.
• Luas segitiga: S = (1/2) * a * v_a, dengan a adalah panjang sisi dan v_a adalah ketinggian sisi tersebut.
• Teorema Pythagoras (berlaku hanya untuk segitiga siku-siku): a^2 + b^2 = c^2, dengan a dan b adalah panjang sisi kaki, dan c adalah panjang hipotenusa.

Segi Empat

• Segi empat adalah bentuk geometri bidang yang ditentukan oleh empat titik, yang tidak ada tiga pun yang terletak pada garis yang sama, dan empat segmen garis yang menghubungkannya (sisi segi empat).
• Jumlah sudut interior dalam segi empat adalah 360°.
• Jenis-jenis segi empat:
  • Jajaran genjang: memiliki dua pasang sisi sejajar.
  • Persegi panjang: jajaran genjang yang memiliki semua sudut interior siku-siku.
  • Persegi: jajaran genjang yang memiliki semua sisi dengan panjang yang sama dan semua sudut interior siku-siku.
  • Belah ketupat: jajaran genjang yang memiliki semua sisi dengan panjang yang sama.
  • Jajaran genjang: jajaran genjang yang tidak memiliki sudut siku-siku dan tidak semua sisinya memiliki panjang yang sama.
  • Trapesium: memiliki setidaknya satu pasang sisi sejajar (basis).
  • Layang-layang: memiliki dua pasang sisi yang berdekatan dengan panjang yang sama.
• Luas jajaran genjang: S = a * v_a, dengan a adalah panjang sisi dan v_a adalah ketinggian sisi tersebut.
• Luas persegi panjang: S = a * b, dengan a dan b adalah panjang sisi.
• Luas persegi: S = a^2, dengan a adalah panjang sisi.
• Luas trapesium: S = ((a + c) / 2) * v, dengan a dan c adalah panjang basis, dan v adalah tinggi.

Lingkaran

• Lingkaran adalah himpunan semua titik pada bidang yang memiliki jarak yang sama (jari-jari) dari titik yang diberikan (pusat).
• Lingkaran adalah himpunan semua titik pada bidang yang memiliki jarak dari titik yang diberikan (pusat) kurang dari atau sama dengan jarak yang diberikan (jari-jari).
• Keliling lingkaran: O = 2 * π * r, dengan r adalah jari-jari.
• Luas lingkaran: S = π * r^2, dengan r adalah jari-jari.
• Diameter lingkaran adalah segmen garis yang menghubungkan dua titik pada lingkaran dan melewati pusat, panjangnya dua kali jari-jari.
• Tali busur adalah segmen garis yang menghubungkan dua titik pada lingkaran.
• Secan adalah garis yang memotong lingkaran di dua titik.
• Garis singgung adalah garis yang memiliki tepat satu titik persekutuan dengan lingkaran (titik singgung), tegak lurus terhadap jari-jari pada titik ini.
• Sudut pusat adalah sudut yang puncaknya berada di pusat lingkaran dan sisi-sisinya melewati titik-titik pada lingkaran.
• Sudut keliling adalah sudut yang puncaknya terletak pada lingkaran dan sisi-sisinya melewati titik-titik lain pada lingkaran.

Bangun Ruang

• Bangun ruang adalah bentuk geometri dalam ruang yang memiliki tiga dimensi (panjang, lebar, tinggi).
• Balok adalah bangun ruang yang memiliki enam sisi, yang merupakan persegi panjang, sisi yang berlawanan kongruen.
• Kubus adalah bangun ruang yang memiliki enam sisi, yang merupakan persegi, semua sisi kongruen.
• Prisma adalah bangun ruang yang memiliki dua alas kongruen dan sejajar (poligon n) dan selubung yang terdiri dari persegi panjang (sisi lateral).
• Piramida adalah bangun ruang yang memiliki satu alas (poligon n) dan selubung yang terdiri dari segitiga yang bertemu di satu titik (puncak piramida).
• Tabung adalah bangun ruang yang memiliki dua alas lingkaran dan sejajar dan selubung yang terdiri dari persegi panjang.
• Kerucut adalah bangun ruang yang memiliki satu alas lingkaran dan selubung yang terdiri dari sebagian lingkaran yang runcing ke satu titik (puncak kerucut).
• Bola adalah bangun ruang yang terdiri dari semua titik dalam ruang yang memiliki jarak yang sama (jari-jari) dari titik yang diberikan (pusat).
• Volume balok: V = a * b * c, dengan a, b, c adalah panjang sisi.
• Volume kubus: V = a^3, dengan a adalah panjang sisi.
• Volume prisma: V = S_p * v, dengan S_p adalah luas alas dan v adalah tinggi.
• Volume piramida: V = (1/3) * S_p * v, dengan S_p adalah luas alas dan v adalah tinggi.
• Volume tabung: V = π * r^2 * v, dengan r adalah jari-jari alas dan v adalah tinggi.
• Volume kerucut: V = (1/3) * π * r^2 * v, dengan r adalah jari-jari alas dan v adalah tinggi.
• Volume bola: V = (4/3) * π * r^3, dengan r adalah jari-jari.
• Luas permukaan balok: S = 2 * (ab + bc + ac), dengan a, b, c adalah panjang sisi.
• Luas permukaan kubus: S = 6 * a^2, dengan a adalah panjang sisi.
• Luas permukaan prisma: S = 2 * S_p + S_pl, dengan S_p adalah luas alas dan S_pl adalah luas selubung.
• Luas permukaan piramida: S = S_p + S_pl, dengan S_p adalah luas alas dan S_pl adalah luas selubung.
• Luas permukaan tabung: S = 2 * π * r^2 + 2 * π * r * v, dengan r adalah jari-jari alas dan v adalah tinggi.
• Luas permukaan kerucut: S = π * r^2 + π * r * s, dengan r adalah jari-jari alas dan s adalah panjang sisi kerucut.
• Luas permukaan bola: S = 4 * π * r^2, dengan r adalah jari-jari.

Kongruensi dan Kesamaan

• Dua bentuk geometri kongruen jika dapat dipetakan satu sama lain sehingga bertepatan dengan sempurna. Bentuk kongruen memiliki dimensi dan bentuk yang sama.
• Dua bentuk geometri serupa jika memiliki bentuk yang sama, tetapi dapat memiliki dimensi yang berbeda. Rasio sisi yang sesuai konstan (koefisien kesamaan).
• Transformasi:
  • Translasi: memindahkan setiap titik bentuk dengan jarak yang sama dan arah yang sama.
  • Rotasi: memutar setiap titik bentuk di sekitar titik yang diberikan (pusat rotasi) dengan sudut yang diberikan.
  • Refleksi aksial: memetakan setiap titik bentuk ke sisi lain dari garis yang diberikan (sumbu simetri), dengan jarak titik dari sumbu simetri sama dengan jarak bayangannya dari sumbu simetri.
  • Refleksi sentral: memetakan setiap titik bentuk ke sisi lain dari titik yang diberikan (pusat simetri), dengan jarak titik dari pusat simetri sama dengan jarak bayangannya dari pusat simetri.