कैलकुलस समस्याएँ

कैलकुलस समस्याएँ

• दी गयी समस्याएँ कैलकुलस से संबंधित हैं, जिनमें अवकलन, सदिश संक्रियाएँ और समाकलन शामिल हैं।

समस्या 1

• xcos⁡xx \cos xxcosx के अवकलज को ज्ञात करें।
• y=e2xy = e^{2x}y=e2x के लिए सामान्य हल ज्ञात करें।
• कुछ शर्तों के तहत अवकल समीकरण ज्ञात करें।

समस्या 2

• चर b, c और a वाले मैट्रिक्स के सारणिक को ज्ञात करें:

b+caabc+abcaa+b

• सारनिश 4abc है।

समस्या 3

• दो सदिशों के बीच न्यूनतम दूरी ज्ञात करें:

r⃗=6i^+2j^+2k^+λ(i^−2j^+2k^)\vec{r} = 6\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k} + \lambda (\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k})r=6i^+2j^​+2k^+λ(i^−2j^​+2k^)

और

−4i^−k^+μ(3i^−2j^+2k^)-4\hat{i} - \hat{k} + \mu (3\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k})−4i^−k^+μ(3i^−2j^​+2k^)

समस्या 4

• यदि y=sin⁡−1xy = \sin^{-1} xy=sin−1x, तो सिद्ध करें कि (1−x2)d2ydx2−xdydx=0(1 - x^2) \frac{d^2y}{dx^2} - x \frac{dy}{dx} = 0(1−x2)dx2d2y​−xdxdy​=0.

समस्या 5

• ∫x2+2x+5dx\int \sqrt{x^2 + 2x + 5} dx∫x2+2x+5​dx का मान ज्ञात करें।

ऊष्मागतिकी

• ऊष्मागतिकी भौतिकी की एक शाखा है जो ऊष्मा, कार्य, तापमान और ऊर्जा हस्तांतरण के नियंत्रण नियमों से संबंधित है।
• ऊष्मागतिकी के नियम:
  • शून्यवाँ नियम: यदि दो निकाय किसी तीसरे निकाय के साथ तापीय संतुलन में हैं, तो वे एक दूसरे के साथ तापीय संतुलन में हैं। यह तापमान की अवधारणा स्थापित करता है।
  • पहला नियम (ऊर्जा संरक्षण का नियम): ऊर्जा का न तो निर्माण किया जा सकता है और न ही नष्ट किया जा सकता है, केवल परिवर्तित किया जा सकता है। गणितीय रूप से: ΔU = Q - W;
    • ΔU: आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन
    • Q: निकाय में जोड़ी गई ऊष्मा
    • W: निकाय द्वारा किया गया कार्य।
  • दूसरा नियम: ऊष्मा स्वतः किसी ठंडे पिंड से गर्म पिंड में प्रवाहित नहीं हो सकती। यह एन्ट्रापी की अवधारणा का परिचय देता है, जो एक प्रणाली में अव्यवस्था या यादृच्छिकता का माप है। एक पृथक प्रणाली में एंट्रापी बढ़ जाती है।
  • तीसरा नियम: जैसे-जैसे तापमान पूर्ण शून्य के करीब पहुंचता है, एक पूर्ण क्रिस्टल का एंट्रापी शून्य के करीब पहुंच जाता है। यह बताता है कि पूर्ण शून्य प्राप्त करना असंभव है।
• मुख्य अवधारणाएँ:
  • ऊष्मा: तापमान में अंतर के कारण सिस्टम या पिंडों के बीच स्थानांतरित ऊर्जा।
  • कार्य: ऊर्जा का स्थानांतरण जब एक बल एक दूरी पर लगाया जाता है।
  • आंतरिक ऊर्जा (U): एक प्रणाली के भीतर निहित कुल ऊर्जा, जिसमें कणों की गतिज और स्थितिज ऊर्जा शामिल है।
  • एन्टैल्पी (H): एक प्रणाली की कुल ऊष्मा सामग्री, जिसे H = U + PV के रूप में परिभाषित किया गया है, जहाँ P दबाव है और V आयतन है।
• प्रक्रियाएँ:
  • समतापी: निरंतर तापमान; ΔT = 0।
  • रुद्धोष्म: कोई ऊष्मा हस्तांतरण नहीं; Q = 0।
  • समआयतनिक: निरंतर आयतन; W = 0।
  • समदाबी: निरंतर दबाव; कार्य दबाव द्वारा किया जाता है।
• अनुप्रयोग:
  • ऊष्मा इंजन: ऊष्मा ऊर्जा को कार्य में बदलते हैं।
  • रेफ्रिजरेटर: काम के इनपुट की आवश्यकता के साथ, ठंड से गर्म तक ऊष्मा स्थानांतरित करते हैं।
  • फेज परिवर्तन: ठोस, द्रव या गैस जैसी अवस्थाओं के दौरान ऊर्जा परिवर्तनों का विश्लेषण करें।
• मुख्य शब्द:
  • तापीय संतुलन: एक ऐसी स्थिति जहाँ किसी प्रणाली के सभी भाग समान तापमान पर होते हैं।
  • आदर्श गैस नियम: PV = nRT, दबाव (P), आयतन (V), तापमान (T), गैस की मात्रा (n), और आदर्श गैस स्थिरांक (R) को जोड़ता है।
  • कार्नोट चक्र: एक ऊष्मा इंजन की अधिकतम संभव दक्षता के लिए मॉडल; आदर्श रूप से दो ऊष्मा जलाशयों के बीच संचालित होता है।
• आरेख:
  • P-V आरेख: ऊष्मागतिकीय प्रक्रियाओं के दौरान दबाव और आयतन के बीच संबंध दर्शाने वाला ग्राफ।
  • T-S आरेख: ऊष्मागतिकी में प्रक्रियाओं को समझने के लिए उपयोगी तापमान बनाम एंट्रापी आरेख।
• दक्षता:
  • उपयोगी कार्य उत्पादन के कुल ऊर्जा इनपुट के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है।
  • दक्षता सूत्र: η = W_out/Q_in, जहाँ W_out कार्य उत्पादन है और Q_in ऊष्मा इनपुट है।

इस क्विज़ में आपको कैलकुलस की विभिन्न समस्याओं को हल करने का अवसर मिलेगा। इसमें अवकलन, सदिश संक्रियाएँ, और समाकलन जैसे महत्वपूर्ण विषय शामिल हैं। प्रयास करें और अपने ज्ञान का परीक्षण करें।