Podcast
Questions and Answers
यदि $f(x)$ बिंदु $x = c$ पर निरंतर है, तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?
यदि $f(x)$ बिंदु $x = c$ पर निरंतर है, तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?
- $f(c)$ परिभाषित है, $\lim_{x \to c} f(x)$ मौजूद है, और $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$ (correct)
- $\lim_{x \to c} f(x)$ मौजूद है लेकिन $f(c)$ परिभाषित नहीं है।
- $f(c)$ परिभाषित है और $\lim_{x \to c} f(x)$ मौजूद है, लेकिन $\lim_{x \to c} f(x) \neq f(c)$
- $f(c)$ परिभाषित है, लेकिन $\lim_{x \to c} f(x)$ मौजूद नहीं है।
फलन $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ के लिए $x = 2$ पर किस प्रकार की असातत्यता (discontinuity) है?
फलन $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ के लिए $x = 2$ पर किस प्रकार की असातत्यता (discontinuity) है?
- आवश्यक असातत्यता (Essential discontinuity)
- अनंत असातत्यता (Infinite discontinuity)
- कूद असातत्यता (Jump discontinuity)
- हटाने योग्य असातत्यता (Removable discontinuity) (correct)
यदि $h(x) = f(g(x))$, जहाँ $f(x) = x^3$ और $g(x) = 2x + 1$, तो $h'(x)$ क्या है?
यदि $h(x) = f(g(x))$, जहाँ $f(x) = x^3$ और $g(x) = 2x + 1$, तो $h'(x)$ क्या है?
- $6(2x + 1)^2$ (correct)
- $2x^3 + 1$
- $3(2x + 1)^2$
- $3x^2(2)$
यदि $f'(x) > 0$ एक अंतराल पर है, तो उस अंतराल पर $f(x)$ कैसा है?
यदि $f'(x) > 0$ एक अंतराल पर है, तो उस अंतराल पर $f(x)$ कैसा है?
अनिश्चित समाकल (indefinite integral) $\int x \cos(x) dx$ का मूल्यांकन करने के लिए सबसे उपयुक्त विधि क्या है?
अनिश्चित समाकल (indefinite integral) $\int x \cos(x) dx$ का मूल्यांकन करने के लिए सबसे उपयुक्त विधि क्या है?
यदि $F(x) = \int_{0}^{x} t^2 dt$, तो $F'(x)$ क्या है?
यदि $F(x) = \int_{0}^{x} t^2 dt$, तो $F'(x)$ क्या है?
एक ज्यामितीय श्रृंखला (geometric series) $\sum_{n=0}^{\infty} ar^n$ कब अभिसरित होती है (converges)?
एक ज्यामितीय श्रृंखला (geometric series) $\sum_{n=0}^{\infty} ar^n$ कब अभिसरित होती है (converges)?
श्रृंखला $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ के अभिसरण (convergence) का निर्धारण (determine) करने के लिए किस परीक्षण का उपयोग किया जा सकता है?
श्रृंखला $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ के अभिसरण (convergence) का निर्धारण (determine) करने के लिए किस परीक्षण का उपयोग किया जा सकता है?
किसी फलन को उसके टेलर बहुपद (Taylor polynomial) से सन्निकटित करते समय त्रुटि का अनुमान लगाने के लिए कौन सा प्रमेय (theorem) उपयोग किया जाता है?
किसी फलन को उसके टेलर बहुपद (Taylor polynomial) से सन्निकटित करते समय त्रुटि का अनुमान लगाने के लिए कौन सा प्रमेय (theorem) उपयोग किया जाता है?
शक्ति श्रृंखला (power series) $\sum_{n=0}^{\infty} c_n(x-a)^n$ के लिए अभिसरण त्रिज्या(radius of convergence) $R$ का क्या अर्थ है?
शक्ति श्रृंखला (power series) $\sum_{n=0}^{\infty} c_n(x-a)^n$ के लिए अभिसरण त्रिज्या(radius of convergence) $R$ का क्या अर्थ है?
Flashcards
कलन (Calculus)
कलन (Calculus)
गणित की वह शाखा जो निरंतर परिवर्तन पर केंद्रित है, जिसमें सीमाएँ (limits), फलन (functions), अवकलज (derivatives), समाकल (integrals) और अनंत श्रृंखलाएँ (infinite series) शामिल हैं।
सीमा (Limit)
सीमा (Limit)
एक सीमा उस मान का वर्णन करती है जिस तक एक फलन पहुँचता है जब इनपुट किसी मान तक पहुँचता है।
निरंतरता (Continuity)
निरंतरता (Continuity)
यदि फलन f(c) परिभाषित है, x = c पर सीमा मौजूद है, और सीमा f(c) के बराबर है।
अवकलज (Derivative)
अवकलज (Derivative)
Signup and view all the flashcards
क्रांतिक बिंदु (Critical Points)
क्रांतिक बिंदु (Critical Points)
Signup and view all the flashcards
समाकल (Integral)
समाकल (Integral)
Signup and view all the flashcards
यू-प्रतिस्थापन(u-substitution)
यू-प्रतिस्थापन(u-substitution)
Signup and view all the flashcards
अनंत श्रृंखला (Infinite Series)
अनंत श्रृंखला (Infinite Series)
Signup and view all the flashcards
ज्यामितीय श्रृंखला (Geometric Series)
ज्यामितीय श्रृंखला (Geometric Series)
Signup and view all the flashcards
घात श्रृंखला (Power Series)
घात श्रृंखला (Power Series)
Signup and view all the flashcards
Study Notes
ज़रूर, मैं आपकी मदद कर सकता हूँ। कैलकुलस (Calculus) पर आपके मौजूदा नोट्स को अपडेट कर दिया गया है:
- कैलकुलस गणित की वह शाखा है जो निरंतर परिवर्तन पर केंद्रित है, जिसमें सीमाएँ, फलन, व्युत्पन्न, समाकल और अनंत श्रृंखला जैसे विषय शामिल हैं।
- यह गति, वृद्धि और अनुकूलन समस्याओं का विश्लेषण करने के लिए उपकरण प्रदान करता है।
सीमाएँ (Limits)
- एक सीमा उस मान का वर्णन करती है जिस तक कोई फलन पहुँचता है जब इनपुट कुछ मान तक पहुँचता है।
- कैलकुलस में निरंतरता, व्युत्पन्न और समाकल को परिभाषित करने के लिए सीमाएँ महत्वपूर्ण हैं।
- अंकन: lim (x→c) f(x) = L, जिसका अर्थ है कि जैसे-जैसे x, c तक पहुँचता है, फलन f(x), L तक पहुँचता है।
- सामान्य सीमा के अस्तित्व के लिए सीमा का बाएँ और दाएँ दोनों तरफ से समान होना आवश्यक है।
- सीमाओं का मूल्यांकन संख्यात्मक रूप से (तालिकाओं का उपयोग करके), रेखांकन द्वारा या बीजगणितीय रूप से किया जा सकता है।
- सीमाओं का मूल्यांकन करने के लिए बीजगणितीय तकनीकों में गुणनखंड, परिमेयकरण और सीमा नियमों का उपयोग शामिल है।
- अनिश्चित रूप जैसे 0/0 या ∞/∞ को आगे बीजगणितीय हेरफेर (जैसे, L'Hôpital's Rule) की आवश्यकता होती है।
निरंतरता (Continuity)
- एक फलन f(x), x = c पर निरंतर होता है यदि तीन शर्तें पूरी होती हैं: f(c) को परिभाषित किया गया है, x के c तक पहुँचने पर f(x) की सीमा मौजूद है, और x के c तक पहुँचने पर f(x) की सीमा, f(c) के बराबर है।
- यदि कोई फलन, किसी अंतराल में प्रत्येक बिंदु पर निरंतर है, तो वह उस अंतराल पर निरंतर है।
- असंतुलन को हटाने योग्य (एक छेद), जंप (फलन एक मान से दूसरे मान पर कूदता है), या अनंत (अनंत तक पहुँचता है) हो सकता है।
- मध्यवर्ती मान प्रमेय (Intermediate Value Theorem) कहता है कि यदि f(x), [a, b] पर निरंतर है, और k, f(a) और f(b) के बीच का मान है, तो [a, b] में कम से कम एक c मौजूद है जैसे कि f(c) = k।
- कैलकुलस में कई प्रमेयों, जैसे कि माध्य मान प्रमेय (Mean Value Theorem) को लागू करने के लिए निरंतर फलन आवश्यक हैं।
व्युत्पन्न (Derivatives)
- किसी फलन f(x) का व्युत्पन्न, उसके चर के संबंध में फलन की तात्कालिक परिवर्तन दर को मापता है।
- यह एक विशिष्ट बिंदु पर फलन के ग्राफ़ पर स्पर्शरेखा की ढलान का प्रतिनिधित्व करता है।
- व्युत्पन्न को अंतर भागफल की सीमा के रूप में परिभाषित किया गया है: f'(x) = lim (h→0) [f(x+h) - f(x)] / h।
- सामान्य व्युत्पन्न नियमों में घात नियम, गुणन नियम, भागफल नियम और श्रृंखला नियम शामिल हैं।
- घात नियम कहता है कि यदि f(x) = x^n है, तो f'(x) = nx^(n-1) है।
- गुणन नियम कहता है कि यदि h(x) = f(x)g(x) है, तो h'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) है।
- भागफल नियम कहता है कि यदि h(x) = f(x)/g(x) है, तो h'(x) = [f'(x)g(x) - f(x)g'(x)] / [g(x)]^2 है।
- श्रृंखला नियम कहता है कि यदि h(x) = f(g(x)) है, तो h'(x) = f'(g(x)) * g'(x) है।
व्युत्पन्न के अनुप्रयोग (Applications of Derivatives)
- व्युत्पन्न का उपयोग किसी फलन के महत्वपूर्ण बिंदुओं को खोजने के लिए किया जा सकता है, जहाँ व्युत्पन्न या तो शून्य या अपरिभाषित होता है।
- महत्वपूर्ण बिंदु, स्थानीय अधिकतम या न्यूनतम के संभावित स्थान होते हैं।
- पहला व्युत्पन्न परीक्षण, यह निर्धारित करने के लिए व्युत्पन्न के चिह्न का उपयोग करता है कि कोई फलन बढ़ रहा है या घट रहा है।
- दूसरा व्युत्पन्न परीक्षण, अवतलता निर्धारित करने के लिए दूसरे व्युत्पन्न के चिह्न का उपयोग करता है; धनात्मक ऊपर की ओर अवतल इंगित करता है, ऋणात्मक नीचे की ओर अवतल इंगित करता है।
- विभक्ति बिंदु तब होते हैं जब अवतलता बदलती है, और दूसरा व्युत्पन्न शून्य या अपरिभाषित होता है।
- अनुकूलन समस्याओं में कुछ बाधाओं के अधीन किसी फलन का अधिकतम या न्यूनतम मान खोजना शामिल है, जिसे अक्सर व्युत्पन्न का उपयोग करके हल किया जाता है।
- संबंधित दर समस्याओं में एक मात्रा की परिवर्तन दर को दूसरी मात्रा की परिवर्तन दर के संदर्भ में खोजना शामिल है, जो अक्सर निहित विभेदन का उपयोग करके किया जाता है।
समाकल (Integrals)
- समाकलन, विभेदन की विपरीत प्रक्रिया है और इसका उपयोग वक्र के नीचे का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए किया जाता है।
- एक फलन f(x) का अनिश्चित समाकल एक फलन F(x) है जैसे कि F'(x) = f(x), जिसे ∫f(x) dx = F(x) + C के रूप में दर्शाया जाता है, जहाँ C समाकलन का स्थिरांक है।
- a से b तक किसी फलन f(x) का निश्चित समाकल, x = a और x = b के बीच f(x) के वक्र के नीचे का क्षेत्रफल है, जिसे ∫ab f(x) dx के रूप में दर्शाया जाता है।
- कैलकुलस का मौलिक प्रमेय (FTC) विभेदन और समाकलन को जोड़ता है।
- FTC भाग 1 कहता है कि यदि F(x) = ∫ax f(t) dt है, तो F'(x) = f(x) है।
- FTC भाग 2 कहता है कि ∫ab f(x) dx = F(b) - F(a), जहाँ F(x), f(x) का प्रतिअवकलज है।
समाकलन तकनीक (Integration Techniques)
- मूल समाकलन नियमों में घात नियम, घातीय नियम और त्रिकोणमितीय नियम शामिल हैं।
- u-प्रतिस्थापन एक तकनीक है जिसका उपयोग फलन u = g(x) और इसके व्युत्पन्न du = g'(x) dx को प्रतिस्थापित करके समाकल को सरल बनाने के लिए किया जाता है।
- भागों द्वारा समाकलन का उपयोग फलनों के गुणनफल को समाकलित करने के लिए किया जाता है, सूत्र ∫u dv = uv - ∫v du का उपयोग करके।
- त्रिकोणमितीय समाकल में त्रिकोणमितीय अभिव्यक्तियों वाले फलनों को समाकलित करना शामिल है, जिसके लिए अक्सर त्रिकोणमितीय पहचानों की आवश्यकता होती है।
- आंशिक भिन्न अपघटन का उपयोग परिमेय फलनों को सरल भिन्नों में तोड़कर समाकलित करने के लिए किया जाता है।
समाकल के अनुप्रयोग (Applications of Integrals)
- समाकल का उपयोग वक्रों के बीच का क्षेत्रफल, ठोस पदार्थों का आयतन (डिस्क, वाशर या खोल विधियों का उपयोग करके), किसी फलन का औसत मान और चाप की लंबाई ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है।
- a से b तक दो वक्रों f(x) और g(x) के बीच का क्षेत्रफल ∫ab |f(x) - g(x)| dx द्वारा दिया गया है।
- परिक्रमण के ठोस पदार्थों का आयतन डिस्क/वाशर (घूर्णन अक्ष के लंबवत समाकलन) या खोल (घूर्णन अक्ष के समानांतर समाकलन) का उपयोग करके पाया जा सकता है।
- [a, b] पर किसी फलन f(x) का औसत मान [1/(b-a)] ∫ab f(x) dx द्वारा दिया गया है।
- a से b तक वक्र y = f(x) की चाप की लंबाई ∫ab √[1 + (f'(x))^2] dx द्वारा दी गई है।
अनंत श्रृंखला (Infinite Series)
- एक अनंत श्रृंखला, पदों के एक अनंत अनुक्रम का योग है।
- श्रृंखला या तो अभिसरित हो सकती है (योग एक सीमित मान तक पहुँचता है) या अपसरित हो सकती है (योग एक सीमित मान तक नहीं पहुँचता है)।
- एक ज्यामितीय श्रृंखला का रूप Σ (n=0 से ∞) ar^n होता है, जो |r| < 1 होने पर a/(1-r) तक अभिसरित होती है और |r| ≥ 1 होने पर अपसरित होती है।
- अभिसरण परीक्षणों में nth पद परीक्षण, समाकलन परीक्षण, तुलना परीक्षण, सीमा तुलना परीक्षण, अनुपात परीक्षण और मूल परीक्षण शामिल हैं।
- nth पद परीक्षण कहता है कि यदि lim (n→∞) an ≠ 0 है, तो श्रृंखला Σan अपसरित होती है।
- समाकलन परीक्षण, एक श्रृंखला के अभिसरण को एक अनुचित समाकलन के अभिसरण से जोड़ता है।
- तुलना परीक्षण और सीमा तुलना परीक्षण, एक श्रृंखला की तुलना ज्ञात अभिसरण गुणों वाली दूसरी श्रृंखला से करते हैं।
- अनुपात परीक्षण और मूल परीक्षण, अभिसरण निर्धारित करने के लिए पदों के अनुपात या मूलों से जुड़ी सीमाओं का उपयोग करते हैं।
- एकांतर श्रृंखला में ऐसे पद होते हैं जो चिह्न में एकांतर होते हैं।
- एकांतर श्रृंखला परीक्षण कहता है कि यदि किसी एकांतर श्रृंखला के पद निरपेक्ष मान में घटते हैं और शून्य तक पहुँचते हैं, तो श्रृंखला अभिसरित होती है।
- निरपेक्ष अभिसरण का अर्थ है कि श्रृंखला Σ|an| अभिसरित होती है, जिसका अर्थ है कि श्रृंखला Σan भी अभिसरित होती है।
- सशर्त अभिसरण का अर्थ है कि श्रृंखला Σan अभिसरित होती है, लेकिन श्रृंखला Σ|an| अपसरित होती है।
घात श्रृंखला (Power Series)
- घात श्रृंखला का रूप Σ (n=0 से ∞) cn(x-a)^n होता है, जहाँ cn गुणांक हैं, x एक चर है, और a एक स्थिरांक है।
- घात श्रृंखला अभिसरण के अपने अंतराल के भीतर फलनों का प्रतिनिधित्व कर सकती है।
- अभिसरण का अंतराल, x-मानों का वह समुच्चय है जिसके लिए घात श्रृंखला अभिसरित होती है।
- अभिसरण की त्रिज्या R एक संख्या है जैसे कि घात श्रृंखला अभिसरित होती है यदि |x-a| < R और अपसरित होती है यदि |x-a| > R।
- टेलर श्रृंखला, एक फलन को एक ही बिंदु पर फलन के व्युत्पन्न से प्राप्त पदों के एक अनंत योग के रूप में दर्शाती है।
- मैकलॉरिन श्रृंखला, x = 0 पर केंद्रित टेलर श्रृंखला का एक विशेष मामला है।
- सामान्य टेलर और मैकलॉरिन श्रृंखला में e^x, sin(x), cos(x) और (1+x)^k के लिए शामिल हैं।
- टेलर का प्रमेय, टेलर बहुपद के साथ किसी फलन का अनुमान लगाते समय त्रुटि का अनुमान प्रदान करता है।
Studying That Suits You
Use AI to generate personalized quizzes and flashcards to suit your learning preferences.
