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Questions and Answers
यदि $f(x)$ बिंदु $x = a$ पर निरंतर है, तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?
यदि $f(x)$ बिंदु $x = a$ पर निरंतर है, तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?
- $\lim_{x \to a} f(x)$ का अस्तित्व नहीं है।
- $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ (correct)
- $f(a)$ अपरिभाषित है।
- $\lim_{x \to a} f(x) \neq f(a)$
फलन $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ में किस प्रकार की असातत्यता (discontinuity) है?
फलन $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ में किस प्रकार की असातत्यता (discontinuity) है?
- जम्प असातत्यता (Jump discontinuity)
- अनंत असातत्यता (Infinite discontinuity)
- आवश्यक असातत्यता (Essential discontinuity)
- हटाने योग्य असातत्यता (Removable discontinuity) (correct)
यदि $f(x) = x^3 \sin(x)$, तो $f'(x)$ ज्ञात कीजिए।
यदि $f(x) = x^3 \sin(x)$, तो $f'(x)$ ज्ञात कीजिए।
- $3x^2 \sin(x) + x^3 \cos(x)$ (correct)
- $3x^2 \cos(x)$
- $x^3 \cos(x) - 3x^2 \sin(x)$
- $3x^2 \sin(x) - x^3 \cos(x)$
यदि $y = \tan(e^x)$, तो $\frac{dy}{dx}$ क्या है?
यदि $y = \tan(e^x)$, तो $\frac{dy}{dx}$ क्या है?
फ़ंक्शन $f(x) = x^3 - 6x^2 + 5$ के लिए विभक्ति बिंदु (inflection point) ज्ञात कीजिए।
फ़ंक्शन $f(x) = x^3 - 6x^2 + 5$ के लिए विभक्ति बिंदु (inflection point) ज्ञात कीजिए।
एक वृत्त की त्रिज्या 5 सेमी/सेकंड की दर से बढ़ रही है। जब त्रिज्या 10 सेमी है, तो क्षेत्रफल किस दर से बढ़ रहा है?
एक वृत्त की त्रिज्या 5 सेमी/सेकंड की दर से बढ़ रही है। जब त्रिज्या 10 सेमी है, तो क्षेत्रफल किस दर से बढ़ रहा है?
$\int \cos(3x) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।
$\int \cos(3x) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।
$\int x e^{x^2} dx$ का मान ज्ञात कीजिए।
$\int x e^{x^2} dx$ का मान ज्ञात कीजिए।
अंतराल [0, 2] पर फलन $f(x) = x^2$ का औसत मान क्या है?
अंतराल [0, 2] पर फलन $f(x) = x^2$ का औसत मान क्या है?
$x = 1$ से $x = 4$ तक वक्र $f(x) = x^3$ की चाप लंबाई (arc length) के लिए समाकलन (integral) क्या है?
$x = 1$ से $x = 4$ तक वक्र $f(x) = x^3$ की चाप लंबाई (arc length) के लिए समाकलन (integral) क्या है?
Flashcards
कलन क्या है?
कलन क्या है?
कलन गणित की वह शाखा है जो परिवर्तन की दरों और संचय पर केंद्रित है।
सीमा (Limit) क्या है?
सीमा (Limit) क्या है?
किसी फ़ंक्शन का 'मान' जब इनपुट किसी विशेष मान के करीब जाता है।
हटाने योग्य असंततता
हटाने योग्य असंततता
एक ग्राफ में एक 'छेद' जिसे फंक्शन को फिर से परिभाषित करके ठीक किया जा सकता है।
व्युत्पन्न (Derivative) क्या है?
व्युत्पन्न (Derivative) क्या है?
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घात नियम (Power Rule)
घात नियम (Power Rule)
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कब f(x) बढ़ रहा है?
कब f(x) बढ़ रहा है?
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नति परिवर्तन बिंदु (Inflection Point) क्या है?
नति परिवर्तन बिंदु (Inflection Point) क्या है?
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समाकलन (Integration) क्या है?
समाकलन (Integration) क्या है?
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कलन का मौलिक प्रमेय।
कलन का मौलिक प्रमेय।
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फलन का औसत मान।
फलन का औसत मान।
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Study Notes
- कैलकुलस गणित की एक शाखा है जो परिवर्तन और संचय की दरों पर केंद्रित है।
- यह गतिशील प्रणालियों को मॉडल करने और उन समस्याओं को हल करने के लिए उपकरण प्रदान करता है जिन्हें बीजगणित अकेले संबोधित नहीं कर सकता है।
- विभेदक कलन कार्यों के तात्कालिक परिवर्तन की दर (व्युत्पन्न) से संबंधित है।
- इंटीग्रल कैलकुलस मात्राओं के संचय और वक्रों के नीचे और बीच के क्षेत्र से संबंधित है।
- कैलकुलस का मौलिक प्रमेय विभेदन और एकीकरण को जोड़ता है।
सीमाएं (Limits)
- सीमा की अवधारणा कैलकुलस के लिए मौलिक है, जो उस मान का वर्णन करती है जो एक फ़ंक्शन तब पहुँचता है जब इनपुट कुछ मान तक पहुँचता है।
- 'a' तक x के पहुँचने पर एक फ़ंक्शन f(x) की सीमा को lim (x→a) f(x) = L के रूप में लिखा जाता है, जहाँ L सीमा है।
- निरंतर और भिन्न होने के लिए कार्यों के लिए सीमाओं का अस्तित्व आवश्यक है।
- 'a' के करीब और करीब x मानों को प्लग करके सीमाओं का संख्यात्मक रूप से मूल्यांकन किया जा सकता है।
- x = a के पास एक फ़ंक्शन के व्यवहार को देखकर सीमाओं को ग्राफिक रूप से निर्धारित किया जा सकता है।
- सरलीकरण तकनीकों का उपयोग करके सीमाओं को बीजगणितीय रूप से गणना की जा सकती है।
- स्क्वीज प्रमेय: यदि 'a' के पास सभी x के लिए g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) (संभवतः 'a' को छोड़कर) और lim (x→a) g(x) = lim (x→a) h(x) = L, तो lim (x→a) f(x) = L।
निरंतरता (Continuity)
- कोई फ़ंक्शन किसी बिंदु पर निरंतर होता है यदि उस बिंदु पर सीमा मौजूद है, उस बिंदु पर फ़ंक्शन परिभाषित है, और सीमा फ़ंक्शन मान के बराबर है।
- औपचारिक रूप से, f(x) x = a पर निरंतर है यदि lim (x→a) f(x) = f(a)।
- असंतुलन: एक फ़ंक्शन असंतुलित होता है यदि यह किसी बिंदु पर निरंतर नहीं है।
- हटाने योग्य असंतुलन: ग्राफ़ में एक छेद जिसे उस बिंदु पर फ़ंक्शन को फिर से परिभाषित करके "ठीक" किया जा सकता है।
- जम्प असंतुलन: फ़ंक्शन एक विशिष्ट बिंदु पर एक मान से दूसरे मान पर "कूदता" है।
- अनंत असंतुलन: फ़ंक्शन एक विशिष्ट बिंदु पर अनंत तक पहुँचता है (ऊर्ध्वाधर एसिम्पटोट)।
- निरंतर फ़ंक्शन इंटरमीडिएट वैल्यू प्रमेय का पालन करते हैं: यदि f [a, b] पर निरंतर है और k f(a) और f(b) के बीच की संख्या है, तो (a, b) में कम से कम एक संख्या c मौजूद है जैसे कि f(c) = k।
व्युत्पन्न (Derivatives)
- किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न फ़ंक्शन के तात्कालिक परिवर्तन की दर को मापता है।
- x = a पर f(x) का व्युत्पन्न f'(a) = lim (h→0) [f(a+h) - f(a)] / h के रूप में परिभाषित किया गया है।
- वैकल्पिक संकेतन: f'(x), dy/dx, d/dx[f(x)]।
- व्युत्पन्न f'(a) x = a पर f(x) के ग्राफ़ पर स्पर्शरेखा रेखा के ढलान का प्रतिनिधित्व करता है।
- विभेदन नियम:
- पावर नियम: d/dx(x^n) = nx^(n-1)।
- निरंतर एकाधिक नियम: d/dx[cf(x)] = cf'(x)।
- योग/अंतर नियम: d/dx[f(x) ± g(x)] = f'(x) ± g'(x)।
- उत्पाद नियम: d/dx[f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)।
- भागफल नियम: d/dx[f(x)/g(x)] = [g(x)f'(x) - f(x)g'(x)] / [g(x)]^2।
- चेन नियम: d/dx[f(g(x))] = f'(g(x)) * g'(x)।
- त्रिकोणमितीय कार्यों के व्युत्पन्न:
- d/dx(sin x) = cos x
- d/dx(cos x) = -sin x
- d/dx(tan x) = sec^2 x
- d/dx(csc x) = -csc x cot x
- d/dx(sec x) = sec x tan x
- d/dx(cot x) = -csc^2 x
- अप्रत्यक्ष विभेदन का उपयोग उस फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को खोजने के लिए किया जाता है जिसे स्पष्ट रूप से परिभाषित नहीं किया गया है।
- उच्च-क्रम व्युत्पन्न: दूसरा व्युत्पन्न f''(x) व्युत्पन्न f'(x) का व्युत्पन्न है।
- दूसरा व्युत्पन्न परिवर्तन की दर के परिवर्तन की दर, या ग्राफ़ की अवतलता का प्रतिनिधित्व करता है।
डेरिवेटिव के अनुप्रयोग (Applications of Derivatives)
- महत्वपूर्ण बिंदु खोजना: बिंदु जहाँ f'(x) = 0 या f'(x) अपरिभाषित है।
- बढ़ते/घटते अंतराल: यदि f'(x) > 0, f(x) बढ़ रहा है। यदि f'(x) < 0, f(x) घट रहा है।
- स्थानीय अधिकतम/न्यूनतम: महत्वपूर्ण बिंदु स्थानीय अधिकतम या न्यूनतम हो सकते हैं।
- पहला व्युत्पन्न परीक्षण: एक महत्वपूर्ण बिंदु पर f'(x) के चिन्ह में परिवर्तन यह निर्धारित करता है कि यह स्थानीय अधिकतम है या न्यूनतम।
- दूसरा व्युत्पन्न परीक्षण: यदि f'(c) = 0 और f''(c) > 0, तो f(x) में x = c पर एक स्थानीय न्यूनतम होता है। यदि f'(c) = 0 और f''(c) < 0, तो f(x) में x = c पर एक स्थानीय अधिकतम होता है।
- अवतलता: यदि f''(x) > 0, f(x) ऊपर की ओर अवतल है। यदि f''(x) < 0, f(x) नीचे की ओर अवतल है।
- विभक्ति बिंदु: बिंदु जहाँ f(x) की अवतलता बदलती है (f''(x) = 0 या f''(x) अपरिभाषित है)।
- अनुकूलन समस्याएँ: कुछ बाधाओं के अधीन फ़ंक्शन का अधिकतम या न्यूनतम मान खोजने के लिए व्युत्पन्न का उपयोग करना।
- संबंधित दरें: एक चर के परिवर्तन की दर को दूसरे चर के परिवर्तन की दर के संदर्भ में खोजने के लिए अप्रत्यक्ष विभेदन का उपयोग करना।
- एल'होपिटल का नियम: यदि lim (x→a) f(x) / g(x) 0/0 या ∞/∞ के रूप में है, तो lim (x→a) f(x) / g(x) = lim (x→a) f'(x) / g'(x)।
इंटीग्रल (Integrals)
- एकीकरण विभेदन की विपरीत प्रक्रिया है (एंटीडिफरेंशिएशन)।
- f(x) का अनिश्चितकालीन समाकलन ∫f(x) dx = F(x) + C के रूप में लिखा जाता है, जहाँ F'(x) = f(x) और C एकीकरण का स्थिरांक है।
- समाकल के लिए शक्ति नियम: ∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C, n ≠ -1 के लिए।
- 1/x का समाकल: ∫(1/x) dx = ln|x| + C।
- त्रिकोणमितीय फलनों के समाकल:
- ∫sin x dx = -cos x + C
- ∫cos x dx = sin x + C
- ∫sec^2 x dx = tan x + C
- ∫csc^2 x dx = -cot x + C
- ∫sec x tan x dx = sec x + C
- ∫csc x cot x dx = -csc x + C
- प्रतिस्थापन नियम (यू-प्रतिस्थापन): ∫f(g(x))g'(x) dx = ∫f(u) du, जहाँ u = g(x)।
- भागों द्वारा एकीकरण: ∫u dv = uv - ∫v du।
निश्चित इंटीग्रल (Definite Integrals)
- a से b तक f(x) का निश्चित समाकलन, जिसे ∫(a से b) f(x) dx से दर्शाया जाता है, x = a और x = b के बीच f(x) के वक्र के नीचे हस्ताक्षरित क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करता है।
- कैलकुलस का मौलिक प्रमेय (FTC):
- भाग 1: यदि g(x) = ∫(a से x) f(t) dt, तो g'(x) = f(x)।
- भाग 2: ∫(a से b) f(x) dx = F(b) - F(a), जहाँ F(x) f(x) का एक प्रतिअवकलज है।
- निश्चित समाकल के गुण:
- ∫(a से a) f(x) dx = 0
- ∫(a से b) f(x) dx = -∫(b से a) f(x) dx
- ∫(a से b) cf(x) dx = c∫(a से b) f(x) dx
- ∫(a से b) [f(x) ± g(x)] dx = ∫(a से b) f(x) dx ± ∫(a से b) g(x) dx
- ∫(a से c) f(x) dx + ∫(c से b) f(x) dx = ∫(a से b) f(x) dx
- फ़ंक्शन का औसत मान: f_avg = (1/(b-a)) ∫(a से b) f(x) dx।
इंटीग्रल के अनुप्रयोग (Applications of Integrals)
- वक्रों के बीच का क्षेत्र: ∫(a से b) [f(x) - g(x)] dx, जहाँ f(x) ≥ g(x) [a, b] पर।
- घूर्णन के ठोस पदार्थों का आयतन:
- डिस्क विधि: V = π∫(a से b) [f(x)]^2 dx (x-अक्ष के बारे में घूर्णन)।
- वॉशर विधि: V = π∫(a से b) ([f(x)]^2 - [g(x)]^2) dx (x-अक्ष के बारे में घूर्णन, एक छेद के साथ)।
- शैल विधि: V = 2π∫(a से b) x f(x) dx (y-अक्ष के बारे में घूर्णन)।
- चाप लंबाई: L = ∫(a से b) √(1 + [f'(x)]^2) dx।
- घूर्णन की सतह का क्षेत्रफल: S = 2π∫(a से b) f(x) √(1 + [f'(x)]^2) dx (x-अक्ष के बारे में घूर्णन)।
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