कैलकुलस: सीमाएँ

• कैलकुलस गणित की एक शाखा है जो परिवर्तन और संचय की दरों पर केंद्रित है।
• यह गतिशील प्रणालियों को मॉडल करने और उन समस्याओं को हल करने के लिए उपकरण प्रदान करता है जिन्हें बीजगणित अकेले संबोधित नहीं कर सकता है।
• विभेदक कलन कार्यों के तात्कालिक परिवर्तन की दर (व्युत्पन्न) से संबंधित है।
• इंटीग्रल कैलकुलस मात्राओं के संचय और वक्रों के नीचे और बीच के क्षेत्र से संबंधित है।
• कैलकुलस का मौलिक प्रमेय विभेदन और एकीकरण को जोड़ता है।

सीमाएं (Limits)

• सीमा की अवधारणा कैलकुलस के लिए मौलिक है, जो उस मान का वर्णन करती है जो एक फ़ंक्शन तब पहुँचता है जब इनपुट कुछ मान तक पहुँचता है।
• 'a' तक x के पहुँचने पर एक फ़ंक्शन f(x) की सीमा को lim (x→a) f(x) = L के रूप में लिखा जाता है, जहाँ L सीमा है।
• निरंतर और भिन्न होने के लिए कार्यों के लिए सीमाओं का अस्तित्व आवश्यक है।
• 'a' के करीब और करीब x मानों को प्लग करके सीमाओं का संख्यात्मक रूप से मूल्यांकन किया जा सकता है।
• x = a के पास एक फ़ंक्शन के व्यवहार को देखकर सीमाओं को ग्राफिक रूप से निर्धारित किया जा सकता है।
• सरलीकरण तकनीकों का उपयोग करके सीमाओं को बीजगणितीय रूप से गणना की जा सकती है।
• स्क्वीज प्रमेय: यदि 'a' के पास सभी x के लिए g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) (संभवतः 'a' को छोड़कर) और lim (x→a) g(x) = lim (x→a) h(x) = L, तो lim (x→a) f(x) = L।

निरंतरता (Continuity)

• कोई फ़ंक्शन किसी बिंदु पर निरंतर होता है यदि उस बिंदु पर सीमा मौजूद है, उस बिंदु पर फ़ंक्शन परिभाषित है, और सीमा फ़ंक्शन मान के बराबर है।
• औपचारिक रूप से, f(x) x = a पर निरंतर है यदि lim (x→a) f(x) = f(a)।
• असंतुलन: एक फ़ंक्शन असंतुलित होता है यदि यह किसी बिंदु पर निरंतर नहीं है।
• हटाने योग्य असंतुलन: ग्राफ़ में एक छेद जिसे उस बिंदु पर फ़ंक्शन को फिर से परिभाषित करके "ठीक" किया जा सकता है।
• जम्प असंतुलन: फ़ंक्शन एक विशिष्ट बिंदु पर एक मान से दूसरे मान पर "कूदता" है।
• अनंत असंतुलन: फ़ंक्शन एक विशिष्ट बिंदु पर अनंत तक पहुँचता है (ऊर्ध्वाधर एसिम्पटोट)।
• निरंतर फ़ंक्शन इंटरमीडिएट वैल्यू प्रमेय का पालन करते हैं: यदि f [a, b] पर निरंतर है और k f(a) और f(b) के बीच की संख्या है, तो (a, b) में कम से कम एक संख्या c मौजूद है जैसे कि f(c) = k।

व्युत्पन्न (Derivatives)

• किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न फ़ंक्शन के तात्कालिक परिवर्तन की दर को मापता है।
• x = a पर f(x) का व्युत्पन्न f'(a) = lim (h→0) [f(a+h) - f(a)] / h के रूप में परिभाषित किया गया है।
• वैकल्पिक संकेतन: f'(x), dy/dx, d/dx[f(x)]।
• व्युत्पन्न f'(a) x = a पर f(x) के ग्राफ़ पर स्पर्शरेखा रेखा के ढलान का प्रतिनिधित्व करता है।
• विभेदन नियम:
  • पावर नियम: d/dx(x^n) = nx^(n-1)।
  • निरंतर एकाधिक नियम: d/dx[cf(x)] = cf'(x)।
  • योग/अंतर नियम: d/dx[f(x) ± g(x)] = f'(x) ± g'(x)।
  • उत्पाद नियम: d/dx[f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)।
  • भागफल नियम: d/dx[f(x)/g(x)] = [g(x)f'(x) - f(x)g'(x)] / [g(x)]^2।
  • चेन नियम: d/dx[f(g(x))] = f'(g(x)) * g'(x)।
• त्रिकोणमितीय कार्यों के व्युत्पन्न:
  • d/dx(sin x) = cos x
  • d/dx(cos x) = -sin x
  • d/dx(tan x) = sec^2 x
  • d/dx(csc x) = -csc x cot x
  • d/dx(sec x) = sec x tan x
  • d/dx(cot x) = -csc^2 x
• अप्रत्यक्ष विभेदन का उपयोग उस फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को खोजने के लिए किया जाता है जिसे स्पष्ट रूप से परिभाषित नहीं किया गया है।
• उच्च-क्रम व्युत्पन्न: दूसरा व्युत्पन्न f''(x) व्युत्पन्न f'(x) का व्युत्पन्न है।
• दूसरा व्युत्पन्न परिवर्तन की दर के परिवर्तन की दर, या ग्राफ़ की अवतलता का प्रतिनिधित्व करता है।

डेरिवेटिव के अनुप्रयोग (Applications of Derivatives)

• महत्वपूर्ण बिंदु खोजना: बिंदु जहाँ f'(x) = 0 या f'(x) अपरिभाषित है।
• बढ़ते/घटते अंतराल: यदि f'(x) > 0, f(x) बढ़ रहा है। यदि f'(x) < 0, f(x) घट रहा है।
• स्थानीय अधिकतम/न्यूनतम: महत्वपूर्ण बिंदु स्थानीय अधिकतम या न्यूनतम हो सकते हैं।
• पहला व्युत्पन्न परीक्षण: एक महत्वपूर्ण बिंदु पर f'(x) के चिन्ह में परिवर्तन यह निर्धारित करता है कि यह स्थानीय अधिकतम है या न्यूनतम।
• दूसरा व्युत्पन्न परीक्षण: यदि f'(c) = 0 और f''(c) > 0, तो f(x) में x = c पर एक स्थानीय न्यूनतम होता है। यदि f'(c) = 0 और f''(c) < 0, तो f(x) में x = c पर एक स्थानीय अधिकतम होता है।
• अवतलता: यदि f''(x) > 0, f(x) ऊपर की ओर अवतल है। यदि f''(x) < 0, f(x) नीचे की ओर अवतल है।
• विभक्ति बिंदु: बिंदु जहाँ f(x) की अवतलता बदलती है (f''(x) = 0 या f''(x) अपरिभाषित है)।
• अनुकूलन समस्याएँ: कुछ बाधाओं के अधीन फ़ंक्शन का अधिकतम या न्यूनतम मान खोजने के लिए व्युत्पन्न का उपयोग करना।
• संबंधित दरें: एक चर के परिवर्तन की दर को दूसरे चर के परिवर्तन की दर के संदर्भ में खोजने के लिए अप्रत्यक्ष विभेदन का उपयोग करना।
• एल'होपिटल का नियम: यदि lim (x→a) f(x) / g(x) 0/0 या ∞/∞ के रूप में है, तो lim (x→a) f(x) / g(x) = lim (x→a) f'(x) / g'(x)।

इंटीग्रल (Integrals)

• एकीकरण विभेदन की विपरीत प्रक्रिया है (एंटीडिफरेंशिएशन)।
• f(x) का अनिश्चितकालीन समाकलन ∫f(x) dx = F(x) + C के रूप में लिखा जाता है, जहाँ F'(x) = f(x) और C एकीकरण का स्थिरांक है।
• समाकल के लिए शक्ति नियम: ∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C, n ≠ -1 के लिए।
• 1/x का समाकल: ∫(1/x) dx = ln|x| + C।
• त्रिकोणमितीय फलनों के समाकल:
  • ∫sin x dx = -cos x + C
  • ∫cos x dx = sin x + C
  • ∫sec^2 x dx = tan x + C
  • ∫csc^2 x dx = -cot x + C
  • ∫sec x tan x dx = sec x + C
  • ∫csc x cot x dx = -csc x + C
• प्रतिस्थापन नियम (यू-प्रतिस्थापन): ∫f(g(x))g'(x) dx = ∫f(u) du, जहाँ u = g(x)।
• भागों द्वारा एकीकरण: ∫u dv = uv - ∫v du।

निश्चित इंटीग्रल (Definite Integrals)

• a से b तक f(x) का निश्चित समाकलन, जिसे ∫(a से b) f(x) dx से दर्शाया जाता है, x = a और x = b के बीच f(x) के वक्र के नीचे हस्ताक्षरित क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करता है।
• कैलकुलस का मौलिक प्रमेय (FTC):
  • भाग 1: यदि g(x) = ∫(a से x) f(t) dt, तो g'(x) = f(x)।
  • भाग 2: ∫(a से b) f(x) dx = F(b) - F(a), जहाँ F(x) f(x) का एक प्रतिअवकलज है।
• निश्चित समाकल के गुण:
  • ∫(a से a) f(x) dx = 0
  • ∫(a से b) f(x) dx = -∫(b से a) f(x) dx
  • ∫(a से b) cf(x) dx = c∫(a से b) f(x) dx
  • ∫(a से b) [f(x) ± g(x)] dx = ∫(a से b) f(x) dx ± ∫(a से b) g(x) dx
  • ∫(a से c) f(x) dx + ∫(c से b) f(x) dx = ∫(a से b) f(x) dx
• फ़ंक्शन का औसत मान: f_avg = (1/(b-a)) ∫(a से b) f(x) dx।

इंटीग्रल के अनुप्रयोग (Applications of Integrals)

• वक्रों के बीच का क्षेत्र: ∫(a से b) [f(x) - g(x)] dx, जहाँ f(x) ≥ g(x) [a, b] पर।
• घूर्णन के ठोस पदार्थों का आयतन:
  • डिस्क विधि: V = π∫(a से b) [f(x)]^2 dx (x-अक्ष के बारे में घूर्णन)।
  • वॉशर विधि: V = π∫(a से b) ([f(x)]^2 - [g(x)]^2) dx (x-अक्ष के बारे में घूर्णन, एक छेद के साथ)।
  • शैल विधि: V = 2π∫(a से b) x f(x) dx (y-अक्ष के बारे में घूर्णन)।
• चाप लंबाई: L = ∫(a से b) √(1 + [f'(x)]^2) dx।
• घूर्णन की सतह का क्षेत्रफल: S = 2π∫(a से b) f(x) √(1 + [f'(x)]^2) dx (x-अक्ष के बारे में घूर्णन)।