कैलकुलस: फलन और सीमाएँ

Podcast

Play an AI-generated podcast conversation about this lesson

Download our mobile app to listen on the go

Get App

Questions and Answers

एक फलन $f(x)$ की $x = c$ पर निरंतरता को आप कैसे परिभाषित करेंगे? इस परिभाषा का उपयोग करके, उस स्थिति का वर्णन करें जब $f(x)$ बिंदु $c$ पर असंतत हो।

एक फलन $f(x)$, $x = c$ पर निरंतर होता है यदि $\lim_{x \to c} f(x)$ मौजूद है, $f(c)$ परिभाषित है, और $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$ है। यदि इनमें से कोई भी शर्त पूरी नहीं होती है, तो फलन $x = c$ पर असंतत होता है।

कलन में सीमा की अवधारणा का सार क्या है? सीमा को परिभाषित करने के लिए $\epsilon-\delta$ परिभाषा का उपयोग कैसे किया जाता है?

सीमा इस बात को व्यक्त करती है कि एक फलन अपने इनपुट के एक विशेष मान के निकट आने पर कैसा व्यवहार करता है। $\epsilon-\delta$ परिभाषा इस धारणा को औपचारिक रूप देती है, जिसमें कहा गया है कि प्रत्येक $\epsilon > 0$ के लिए, एक $\delta > 0$ मौजूद है जैसे कि यदि $0 < |x - c| < \delta$, तो $|f(x) - L| < \epsilon$, जहाँ $L$ फलन की सीमा है क्योंकि $x$ $c$ तक पहुँचता है।

डेरिवेटिव की परिभाषा का उपयोग करके, फलन $f(x) = x^3 + 2x$ का डेरिवेटिव खोजें।

डेरिवेटिव की परिभाषा है: $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$। $f(x) = x^3 + 2x$ के लिए, $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{((x + h)^3 + 2(x + h)) - (x^3 + 2x)}{h}$। सरलीकरण करने पर, हमें $f'(x) = 3x^2 + 2$ मिलता है।

उत्पाद नियम और श्रृंखला नियम क्या हैं? $f(x) = (3x^2 + 1)^5$ के डेरिवेटिव को खोजने के लिए उनका उपयोग कैसे करें।

उत्पाद नियम बताता है कि यदि $f(x) = u(x)v(x)$, तो $f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$। श्रृंखला नियम बताता है कि यदि $f(x) = g(h(x))$, तो $f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)$। $f(x) = (3x^2 + 1)^5$ के लिए, पहले श्रृंखला नियम का उपयोग करें: $f'(x) = 5(3x^2 + 1)^4 \cdot (6x) = 30x(3x^2 + 1)^4$। Signup and view all the answers

एक फलन के महत्वपूर्ण बिंदु क्या हैं, और आप उनका उपयोग स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मानों को खोजने के लिए कैसे करते हैं?

एक फलन $f(x)$ के महत्वपूर्ण बिंदु वे मान होते हैं जहाँ $f'(x) = 0$ या $f'(x)$ अपरिभाषित है। स्थानीय अधिकतम और न्यूनतम मानों को खोजने के लिए, महत्वपूर्ण बिंदुओं पर $f(x)$ का मूल्यांकन करें और यह निर्धारित करने के लिए कि कौन से बिंदु अधिकतम हैं (जहाँ $f(x)$ स्थानीय रूप से सबसे बड़ा है) और कौन से बिंदु न्यूनतम हैं (जहाँ $f(x)$ स्थानीय रूप से सबसे छोटा है) के लिए पहले या दूसरे डेरिवेटिव परीक्षण का उपयोग करें। Signup and view all the answers

निश्चित समाकल और अनिश्चित समाकल के बीच अंतर की व्याख्या करें। एक उदाहरण प्रदान करें जिसमें निश्चित समाकल का उपयोग किया जाता है।

एक अनिश्चित समाकल एक फलन का समाकल है, जहाँ परिणाम एक फलन होता है जिसमें एक समाकलन अचर होता है (C)। एक निश्चित समाकल दो सीमाओं (a, b) के बीच एक फलन का समाकल है, जहाँ परिणाम एक संख्या है, जो फलन के आलेख और x-अक्ष के बीच क्षेत्रफल का प्रतिनिधित्व करता है। एक उदाहरण के लिए: $\int_{0}^{1} x^2 dx = \frac{1}{3}$। Signup and view all the answers

समाकलन द्वारा प्रतिस्थापन क्या है, और आप इस तकनीक का उपयोग समाकल $\int 2x(x^2 + 3)^4 dx$ का मूल्यांकन करने के लिए कैसे करेंगे?

समाकलन द्वारा प्रतिस्थापन समाकलन की एक तकनीक है जो श्रृंखला नियम को उलट देती है। समाकल $\int 2x(x^2 + 3)^4 dx$ का मूल्यांकन करने के लिए, $u = x^2 + 3$ रखने दें। फिर, $du = 2x dx$, और समाकल $\int u^4 du$ बन जाता है। समाकलन करने पर, हम $\frac{1}{5}u^5 + C$ प्राप्त करते हैं। $u$ को वापस प्रतिस्थापित करने पर, हम $\frac{1}{5}(x^2 + 3)^5 + C$ प्राप्त करते हैं। Signup and view all the answers

समाकलन द्वारा भाग क्या है, और आप इस तकनीक का उपयोग समाकल $\int x \cos(x) dx$ का मूल्यांकन करने के लिए कैसे करेंगे?

समाकलन द्वारा भाग समाकलन की एक तकनीक है जो उत्पाद नियम को उलट देती है। यह तब उपयोगी होता है जब समाकल में दो कार्यों का गुणनफल होता है। इस समाकल का मूल्यांकन करने के लिए $\int u dv = uv - \int v du$ सूत्र का उपयोग करते हैं। $\int x \cos(x) dx$ के लिए, $u = x$ और $dv = \cos(x) dx$ रखने दें। तो, $du = dx$ और $v = \sin(x)$। समाकलन द्वारा भाग लागू करने पर, हमें $x \sin(x) - \int \sin(x) dx = x \sin(x) + \cos(x) + C$ मिलता है। Signup and view all the answers

अनुक्रम और क्रम क्या हैं? इस बात का वर्णन करें कि कैसे अनुक्रमों और अंशिक योगों का उपयोग यह जांचने के लिए किया जाता है कि क्या एक क्रम अभिसरित होता है।

एक अनुक्रम संख्याओं की एक आदेशित सूची है, जबकि एक क्रम अनुक्रम के पदों का योग है। क्रम के अभिसरण का निर्धारण करने के लिए, किसी को अंशिक योगों (पहले $n$ पदों का योग) के अनुक्रम की जांच करनी चाहिए। यदि अंशिक योगों का अनुक्रम एक सीमित सीमा तक पहुंचता है क्योंकि $n$ अनंत तक पहुंचता है, तो क्रम अभिसरित होता है। Signup and view all the answers

अभिसरण के लिए अनुपात परीक्षण क्या है, और आप इसका उपयोग क्रम $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{2^n}$ की अभिसरणता का निर्धारण करने के लिए कैसे करेंगे?

अनुपात परीक्षण में, हम $\lim_{n \to \infty} |\frac{a_{n+1}}{a_n}|$ की गणना करते हैं। यदि यह सीमा 1 से कम है, तो क्रम अभिसरित होता है। यदि यह 1 से अधिक है, तो क्रम अपसारी होता है। यदि सीमा 1 है, तो परीक्षण अनिर्णायक है। $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{2^n}$ के लिए, अनुपात परीक्षण लागू करने पर, हमें $\lim_{n \to \infty} |\frac{(n+1)^2}{2^{n+1}} \cdot \frac{2^n}{n^2}| = \frac{1}{2}$ मिलता है, जो 1 से कम है, इसलिए क्रम अभिसरित होता है। Signup and view all the answers

Flashcards

कलन (Calculus) क्या है?

गणित की वह शाखा जो निरंतर परिवर्तन पर ध्यान केंद्रित करती है, जिसमें सीमाएँ, फलन, व्युत्पन्न, समाकल और अनंत श्रेणी जैसे विषय शामिल हैं।

व्युत्पन्न (Derivative) क्या है?

किसी फलन का व्युत्पन्न उस फलन की तात्कालिक परिवर्तन दर को मापता है, जो किसी बिंदु पर स्पर्श रेखा की ढलान के बराबर होती है।

समाकल (Integral) क्या है?

विभेदन की विपरीत प्रक्रिया, वक्र के नीचे का क्षेत्रफल ज्ञात करना।

सातत्य (Continuity) क्या है?

एक फलन f बिंदु c पर निरंतर होता है यदि x के c तक पहुंचने पर f(x) की सीमा मौजूद है, f(c) के बराबर है, और f(c) को परिभाषित किया गया है।