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Questions and Answers
यदि फलन $f(x)$, $x = c$ पर संतत है, तो निम्नलिखित में से कौन सी शर्त अनिवार्य रूप से पूरी होनी चाहिए?
यदि फलन $f(x)$, $x = c$ पर संतत है, तो निम्नलिखित में से कौन सी शर्त अनिवार्य रूप से पूरी होनी चाहिए?
- $\lim_{x \to c} f(x)$ मौजूद नहीं है।
- $f(c)$ परिभाषित नहीं है।
- $f(c) = 0$
- $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$ (correct)
$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ का मान क्या है?
$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ का मान क्या है?
- 1
- 4 (correct)
- 0
- अनंत
यदि $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$, तो $f'(x)$ क्या है?
यदि $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$, तो $f'(x)$ क्या है?
- $x^3 - 6x + 2$
- $3x^2 - 6x + 2$ (correct)
- $x^2 - 6x + 2$
- $3x^2 - 3x + 2$
यदि $y = \sin(2x)$, तो $\frac{dy}{dx}$ क्या है?
यदि $y = \sin(2x)$, तो $\frac{dy}{dx}$ क्या है?
फलन $f(x) = x^2 - 4x + 3$ का न्यूनतम मान किस बिंदु पर होता है?
फलन $f(x) = x^2 - 4x + 3$ का न्यूनतम मान किस बिंदु पर होता है?
अनिश्चित समाकल $\int x \cos(x) dx$ क्या है?
अनिश्चित समाकल $\int x \cos(x) dx$ क्या है?
$\int_{0}^{1} x^2 dx$ का निश्चित समाकल क्या है?
$\int_{0}^{1} x^2 dx$ का निश्चित समाकल क्या है?
यदि एक श्रृंखला के आंशिक योगों का अनुक्रम एक सीमित सीमा तक पहुँचता है, तो श्रृंखला को क्या कहा जाता है?
यदि एक श्रृंखला के आंशिक योगों का अनुक्रम एक सीमित सीमा तक पहुँचता है, तो श्रृंखला को क्या कहा जाता है?
निम्नलिखित में से कौन सा फलन $x = 0$ पर हटाने योग्य असंततता दर्शाता है?
निम्नलिखित में से कौन सा फलन $x = 0$ पर हटाने योग्य असंततता दर्शाता है?
यदि $f(x) = e^{x^2}$, तो $f'(x)$ क्या है?
यदि $f(x) = e^{x^2}$, तो $f'(x)$ क्या है?
कौन सा परीक्षण यह निर्धारित करने के लिए सबसे उपयुक्त है कि श्रृंखला $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ अभिसारी है या नहीं?
कौन सा परीक्षण यह निर्धारित करने के लिए सबसे उपयुक्त है कि श्रृंखला $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ अभिसारी है या नहीं?
एक फ़ंक्शन के स्पर्शरेखा रेखा का ढलान उस बिंदु पर क्या दर्शाता है?
एक फ़ंक्शन के स्पर्शरेखा रेखा का ढलान उस बिंदु पर क्या दर्शाता है?
यदि $\int f(x) dx = F(x) + C$, तो निश्चित समाकल $\int_{a}^{b} f(x) dx$ को कैसे व्यक्त किया जाता है?
यदि $\int f(x) dx = F(x) + C$, तो निश्चित समाकल $\int_{a}^{b} f(x) dx$ को कैसे व्यक्त किया जाता है?
एक ज्यामितीय श्रृंखला $\sum ar^n$ कब अभिसारी होती है?
एक ज्यामितीय श्रृंखला $\sum ar^n$ कब अभिसारी होती है?
$\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2x + 1}{x^2 + x - 2}$ ज्ञात कीजिए।
$\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2x + 1}{x^2 + x - 2}$ ज्ञात कीजिए।
यदि $f(x) = \ln(x^2 + 1)$, तो $f'(x)$ क्या है?
यदि $f(x) = \ln(x^2 + 1)$, तो $f'(x)$ क्या है?
फलन $f(x) = x^3 - 6x^2 + 5$ का स्थानीय अधिकतम मान किस बिंदु पर होता है?
फलन $f(x) = x^3 - 6x^2 + 5$ का स्थानीय अधिकतम मान किस बिंदु पर होता है?
अनिश्चित समाकल $\int \sin^2(x) \cos(x) dx$ क्या है?
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टेलर श्रेणी क्या है?
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Flashcards
कैलकुलस क्या है?
कैलकुलस क्या है?
गणित की वह शाखा जो सीमाएं, फ़ंक्शन, व्युत्पन्न, इंटीग्रल और अनन्त श्रृंखला पर केंद्रित है।
सीमा (Limit) क्या है?
सीमा (Limit) क्या है?
एक फ़ंक्शन f(x) का x = c पर सीमा L है अगर f(x), L के करीब होता जाता है जब x, c के करीब होता है।
निरंतरता (Continuity) क्या है?
निरंतरता (Continuity) क्या है?
एक फ़ंक्शन f(x), x = c पर सतत (continuous) होता है यदि f(c) परिभाषित है, lim (x→c) f(x) मौजूद है, और lim (x→c) f(x) = f(c)।
व्युत्पन्न (Derivative) क्या है?
व्युत्पन्न (Derivative) क्या है?
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व्युत्पन्न की परिभाषा क्या है?
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श्रृंखला नियम (Chain Rule) क्या है?
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क्रांतिक बिंदु (Critical Points) क्या हैं?
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लोपिटल का नियम (L'Hôpital's Rule) क्या है?
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इंटीग्रेशन (Integration) क्या है?
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अनिश्चित समाकल (Indefinite Integral) क्या है?
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कलन के मौलिक प्रमेय का दूसरा भाग (Fundamental Theorem of Calculus Part 2) क्या है?
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यू-सब्स्टीट्यूशन (u-substitution) क्या है?
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भागों द्वारा एकीकरण (Integration by Parts) क्या है?
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इंटीग्रल का उपयोग करके अनुप्रयोग (Application using Integral)?
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अनुक्रम (sequence) क्या है?
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अनंत श्रृंखला (Infinite Series) क्या है?
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अभिसरण श्रृंखला (Convergent Series) क्या है?
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ज्यामितीय श्रृंखला (Geometric Series) क्या है?
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पावर सीरीज (Power Series) क्या है?
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श्रृंखला का प्रकार (Series type)?
श्रृंखला का प्रकार (Series type)?
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Study Notes
ज़रूर, मैं आपकी मदद कर सकता हूँ। नीचे कैलकुलस पर अद्यतन अध्ययन नोट्स दिए गए हैं:
- कैलकुलस गणित की एक शाखा है जो सीमा, फ़ंक्शन, डेरिवेटिव, इंटीग्रल्स और अनंत श्रृंखला पर केंद्रित है।
- इसमें अंतर कैलकुलस शामिल है, जो परिवर्तन की तात्कालिक दरों और वक्रों के ढलानों से संबंधित है, और इंटीग्रल कैलकुलस, जो मात्राओं के संचय और वक्रों के नीचे या बीच के क्षेत्रों से संबंधित है।
- कैलकुलस का उपयोग विज्ञान, इंजीनियरिंग और अर्थशास्त्र में बड़े पैमाने पर किया जाता है।
- यह समय के साथ बदलने या निरंतर चर को शामिल करने वाले सिस्टम को मॉडल करने के लिए उपकरण प्रदान करता है।
सीमाएं
- एक सीमा उस मान का वर्णन करती है जिस तक एक फ़ंक्शन पहुंचता है क्योंकि इनपुट कुछ मान तक पहुंचता है।
- कैलकुलस में व्युत्पन्न और इंटीग्रल की परिभाषा के लिए सीमाएं मौलिक हैं।
- x के c तक पहुंचने पर f(x) की सीमा L है यदि x के c तक पहुंचने पर f(x) मनमाने ढंग से L के करीब हो जाता है।
- सीमाओं का मूल्यांकन बीजगणितीय रूप से, संख्यात्मक रूप से या ग्राफिक रूप से किया जा सकता है।
- सीमा के लिए संकेतन lim (x→c) f(x) = L है।
- एकतरफा सीमाएं x को बाईं ओर (x→c-) या दाईं ओर (x→c+) से c तक पहुंचने पर विचार करती हैं।
- यदि बाएं हाथ की सीमा और दाएं हाथ की सीमा दोनों मौजूद हैं और बराबर हैं, तो सीमा मौजूद है।
निरंतरता
- एक फ़ंक्शन f(x) x = c पर निरंतर होता है यदि तीन शर्तें पूरी होती हैं: f(c) परिभाषित है, lim (x→c) f(x) मौजूद है, और lim (x→c) f(x) = f(c)।
- एक फ़ंक्शन एक अंतराल पर निरंतर होता है यदि यह अंतराल में प्रत्येक बिंदु पर निरंतर होता है।
- विच्छिन्नताओं को हटाने योग्य, जंप या अनंत के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है।
- हटाने योग्य विच्छिन्नताओं को उस बिंदु पर फ़ंक्शन को फिर से परिभाषित करके "हटाया" जा सकता है।
- जंप विच्छिन्नताएं तब होती हैं जब बाएं और दाएं सीमाएं मौजूद होती हैं लेकिन बराबर नहीं होती हैं।
- अनंत विच्छिन्नताएं तब होती हैं जब फ़ंक्शन एक निश्चित बिंदु पर अनंत तक पहुंचता है।
डेरिवेटिव
- एक बिंदु x पर एक फ़ंक्शन f(x) का व्युत्पन्न उस बिंदु पर फ़ंक्शन के परिवर्तन की तात्कालिक दर का प्रतिनिधित्व करता है।
- ज्यामितीय रूप से, व्युत्पन्न उस बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ पर स्पर्शरेखा रेखा का ढलान है।
- व्युत्पन्न को औपचारिक रूप से एक सीमा का उपयोग करके परिभाषित किया गया है: f'(x) = lim (h→0) [f(x+h) - f(x)] / h
- व्युत्पन्न के लिए सामान्य नोटेशनों में f'(x), dy/dx और d/dx [f(x)] शामिल हैं।
- विभेदन नियमों में शक्ति नियम (d/dx [x^n] = nx^(n-1)), स्थिर गुणक नियम, योग और अंतर नियम, उत्पाद नियम, भागफल नियम और श्रृंखला नियम शामिल हैं।
- श्रृंखला नियम का उपयोग कंपोजिट फ़ंक्शन को अलग करने के लिए किया जाता है: d/dx [f(g(x))] = f'(g(x)) * g'(x)
- उच्च-क्रम डेरिवेटिव डेरिवेटिव के डेरिवेटिव होते हैं, जैसे कि दूसरा व्युत्पन्न f''(x) जो मूल फ़ंक्शन के ढलान के परिवर्तन की दर का प्रतिनिधित्व करता है।
- अप्रत्यक्ष विभेदन का उपयोग उस फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को खोजने के लिए किया जाता है जिसे स्पष्ट रूप से y = f(x) के रूप में परिभाषित नहीं किया गया है।
- संबंधित दर समस्याओं में उस दर को खोजना शामिल है जिस पर एक मात्रा उन अन्य मात्राओं से संबंधित करके बदलती है जिनकी परिवर्तन दरें ज्ञात हैं।
डेरिवेटिव के अनुप्रयोग
- डेरिवेटिव का उपयोग फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदुओं को खोजने के लिए किया जाता है, जो ऐसे बिंदु हैं जहां व्युत्पन्न शून्य या अपरिभाषित है।
- महत्वपूर्ण बिंदु स्थानीय मैक्सिमा, स्थानीय मिनिमा या सैडल पॉइंट के अनुरूप हो सकते हैं।
- पहला व्युत्पन्न परीक्षण यह निर्धारित करने के लिए व्युत्पन्न के संकेत का उपयोग करता है कि एक महत्वपूर्ण बिंदु एक स्थानीय अधिकतम है या न्यूनतम।
- दूसरा व्युत्पन्न परीक्षण अवतलता को निर्धारित करने और स्थानीय मैक्सिमा या मिनिमा की पहचान करने के लिए दूसरे व्युत्पन्न के संकेत का उपयोग करता है।
- अनुकूलन समस्याओं में कुछ बाधाओं के अधीन फ़ंक्शन का अधिकतम या न्यूनतम मान खोजना शामिल है।
- डेरिवेटिव का उपयोग किसी वस्तु की गति का विश्लेषण करने के लिए किया जा सकता है, जिसमें वेग का प्रतिनिधित्व करने वाला पहला व्युत्पन्न और त्वरण का प्रतिनिधित्व करने वाला दूसरा व्युत्पन्न होता है।
- L'Hôpital का नियम अनिश्चित रूपों जैसे 0/0 या ∞/∞ की सीमाओं का मूल्यांकन करने के लिए अंश और हर के डेरिवेटिव लेकर उपयोग किया जाता है।
इंटीग्रल्स
- एकीकरण विभेदन की विपरीत प्रक्रिया है।
- एक इंटीग्रल एक वक्र के नीचे के क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करता है।
- एक फ़ंक्शन f(x) का अनिश्चित इंटीग्रल एक फ़ंक्शन F(x) है जैसे कि F'(x) = f(x)।
- अनिश्चित इंटीग्रल के लिए संकेतन ∫ f(x) dx = F(x) + C है, जहाँ C एकीकरण का स्थिरांक है।
- a से b तक एक फ़ंक्शन f(x) का निश्चित इंटीग्रल x = a से x = b तक f(x) के वक्र के नीचे का क्षेत्र है।
- निश्चित इंटीग्रल के लिए संकेतन ∫(a to b) f(x) dx है।
- कैलकुलस का मौलिक प्रमेय विभेदन और एकीकरण को जोड़ता है।
- कैलकुलस के मौलिक प्रमेय का भाग 1 कहता है कि यदि F(x) = ∫(a से x) f(t) dt, तो F'(x) = f(x)।
- कैलकुलस के मौलिक प्रमेय का भाग 2 कहता है कि ∫(a से b) f(x) dx = F(b) - F(a), जहाँ F(x) f(x) का एक एंटीडेरिवेटिव है।
- एकीकरण तकनीकों में यू-प्रतिस्थापन, भागों द्वारा एकीकरण, त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन और आंशिक अंश अपघटन शामिल हैं।
- यू-प्रतिस्थापन का उपयोग तब किया जाता है जब इंटीग्रेंड में एक फ़ंक्शन और उसका व्युत्पन्न होता है।
- भागों द्वारा एकीकरण का उपयोग फ़ंक्शन के उत्पादों को एकीकृत करने के लिए किया जाता है और यह विभेदन के लिए उत्पाद नियम पर आधारित होता है: ∫ u dv = uv - ∫ v du
इंटीग्रल्स के अनुप्रयोग
- इंटीग्रल्स का उपयोग वक्रों के बीच के क्षेत्र को खोजने के लिए किया जाता है।
- इंटीग्रल्स का उपयोग डिस्क विधि, वॉशर विधि और शेल विधि जैसी विधियों का उपयोग करके क्रांति के ठोस पदार्थों की मात्रा की गणना करने के लिए किया जा सकता है।
- इंटीग्रल्स का उपयोग एक अंतराल पर फ़ंक्शन का औसत मान ज्ञात करने के लिए किया जाता है।
- इंटीग्रल्स एक वक्र की चाप लंबाई की गणना कर सकते हैं।
- इंटीग्रल्स का उपयोग अंतर समीकरणों को हल करने के लिए किया जाता है।
- अनुचित इंटीग्रल इंटीग्रल होते हैं जहां एकीकरण का अंतराल अनंत होता है या फ़ंक्शन में अंतराल के भीतर विच्छिन्नता होती है।
श्रेणियाँ
- एक अनुक्रम संख्याओं की एक क्रमित सूची है।
- एक अनंत श्रृंखला संख्याओं के अनंत अनुक्रम का योग है।
- श्रृंखला का योग आंशिक योगों के अनुक्रम की सीमा है।
- एक श्रृंखला अभिसरण करती है यदि आंशिक योगों का अनुक्रम एक परिमित सीमा तक पहुंचता है।
- एक श्रृंखला तब भिन्न होती है यदि आंशिक योगों का अनुक्रम एक परिमित सीमा तक नहीं पहुंचता है।
- श्रृंखला के सामान्य प्रकारों में ज्यामितीय श्रृंखला, घात श्रृंखला और टेलर श्रृंखला शामिल हैं।
- एक ज्यामितीय श्रृंखला का रूप Σ ar^n होता है, जहाँ a पहला पद है और r सामान्य अनुपात है।
- एक ज्यामितीय श्रृंखला अभिसरण करती है यदि |r| < 1 है, और इसका योग a / (1 - r) है।
- श्रृंखला के लिए अभिसरण परीक्षणों में भिन्नता परीक्षण, इंटीग्रल परीक्षण, तुलना परीक्षण, सीमा तुलना परीक्षण, अनुपात परीक्षण और मूल परीक्षण शामिल हैं।
- भिन्नता परीक्षण कहता है कि यदि श्रृंखला के पदों की सीमा शून्य नहीं है, तो श्रृंखलाएँ भिन्न होती हैं।
- इंटीग्रल परीक्षण एक अनुचित इंटीग्रल के अभिसरण के लिए एक श्रृंखला के अभिसरण की तुलना करता है।
- तुलना परीक्षण एक श्रृंखला की तुलना किसी अन्य श्रृंखला से करता है जिसका अभिसरण ज्ञात है।
- घात श्रृंखला का रूप Σ c_n(x - a)^n है, जहाँ c_n गुणांक हैं और a एक स्थिर है।
- घात श्रृंखला का अभिसरण अंतराल x के उन सभी मानों का सेट है जिनके लिए श्रृंखला अभिसरण करती है।
- टेलर श्रृंखला एक फ़ंक्शन को एक ही बिंदु पर अपने डेरिवेटिव को शामिल करने वाले पदों के अनंत योग के रूप में दर्शाती है।
- मैकलॉरिन श्रृंखला x = 0 पर केंद्रित टेलर श्रृंखलाएं हैं।
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