Cinemática Inversa

Robótica Industrial

El problema cinemático inverso

• El modelo cinemático inverso resuelve las variables articulares de un robot para una posición y orientación espacial deseadas.
• No existe un método general para resolver sistemas de ecuaciones no lineales.
• En robótica, se usan métodos alternativos, cuya dificultad depende de la morfología del robot.
• Las tipologías de robots típicas permiten una solución cerrada, mientras que en otros casos la solución numérica es necesaria.
• Los robots con articulaciones redundantes requieren una solución numérica.

Número de soluciones

• El número de soluciones posibles para el problema cinemático inverso depende de las dimensiones de los espacios de tarea (m) y articular (n).
• n < m: No hay solución posible (no se puede alcanzar cualquier pose arbitraria).
• n > m: Sistema compatible indeterminado, con infinitas soluciones posibles (robot con articulaciones redundantes).
• n = m: 0, 1 o múltiples soluciones. Ésta es la principal diferencia con los sistemas lineales.

Métodos

• Las tipologías típicas de robots permiten aplicar métodos de resolución sencillos que producen una solución cerrada.
• Existen dos métodos principales:
  • Geométrico: Utilizando trigonometría en diversos planos para encontrar la relación entre la posición espacial y las variables articulares.
  • Transformación inversa: Plantea ecuaciones (no lineales) con una incógnita, usando las matrices de transformación homogéneas del modelo cinemático.

Acoplo cinemático

• La inserción de una herramienta genera un acoplamiento entre la posición y la orientación del efector final del robot.
• El centro de la muñeca (en robots con muñecas rotulianas) es un punto único de desacoplamiento entre el brazo y la muñeca.
• Fuera de dicho punto, hay acoplamiento entre posición y orientación.
• El método de Pieper (1968) resuelve el problema para muñecas esféricas.

Punto de desacoplo

• El centro de la muñeca está localizado en el punto de intersección de los tres ejes articulares de la muñeca (04, 05 y 06).
• En algunos casos, el "centro de la muñeca" puede estar fuera del centro de la muñeca.
• El elemento Z6 (herramienta) está alineado con Z5, (eslabón 6 o elemento externo).

Método de Desacoplo Cinemático (Pieper, 1968)

• Separa el problema cinemático en dos problemas desacoplados: la posición y la orientación.
• El problema de posición utiliza una variable w para resolver las variables articulares del tronco, hombro y codo.
• El problema de orientación resuelve las variables articulares de la muñeca (04, 05 y 06), obteniendo la orientación deseada.
• La solución del brazo debe determinarse primero, ya que influye en la solución de la orientación.

Método Geométrico

• Solución trigonométrica aplicada a diversos planos de la estructura del brazo del robot.
• Es simple y directo para robots con subestructuras planarias y muñecas rotulianas.
• Se utiliza principalmente para la solución del problema del brazo (tronco, hombro y codo).
• Se establecen ecuaciones trigonométricas en función del centro de la muñeca (w) en diferentes planos.
• Cada ecuación trigonométrica resuelve una variable articular.

Método de la Transformación Inversa

• Para una posición y orientación conocida del efector final (Te), se pueden expresar las ecuaciones utilizando las matrices A(qi).
• Los elementos conocidos están a la izquierda de la ecuación y las incógnitas a la derecha.
• Para obtener los ángulos de Euler, se usa una secuencia particular de transformaciones (e.g., ZYZ).
• El método requiere, a partir de la fase de solución, matrices de rotación en lugar de transformaciones homogéneas.
• Se puede simplificar el problema planteando el método de la TI, sólo para la orientación, una vez que la posición viene del método geométrico.
• Se busca formar ecuaciones de una incógnita (e.g., ti(qi) = ki(constante)).
• Las matrices de transformación no son ortogonales, por lo que las inversas no son iguales a la traspuesta.
• Puede utilizarse para calcular la orientación (04 a 06) de la muñeca, si las posiciones previas se determinan previamente.