Historia~KYLMÄSOTA

Matriisit

• Matriisi on lukujen taulukko.
• Esimerkiksi: $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$

Matriisin ominaisuuksia

• Esimerkkimatriisissa on kaksi riviä ja kolme saraketta.
• Sanotaan, että se on tyyppiä $2 \times 3$.
• Matriisin lukuja kutsutaan elementeiksi.

Merkintätavat

• Käytetään isoja kirjaimia matriisien esittämiseen: $A$, $B$, $C$ jne.
• Viitataan matriisin tiettyyn elementtiin merkinnällä: $a_{ij}$ = elementti $i$. rivillä ja $j$. sarakkeessa matriisissa A.

Esimerkki

• Jos $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$, niin:
  • $a_{11} = 1$ (elementti 1. rivillä ja 1. sarakkeessa)
  • $a_{12} = 2$ (elementti 1. rivillä ja 2. sarakkeessa)
  • $a_{23} = 6$ (elementti 2. rivillä ja 3. sarakkeessa)

Matriisityypit

• Neliömatriisi: rivien lukumäärä = sarakkeiden lukumäärä, esim. $\begin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{bmatrix}$ ($2 \times 2$).
• Rivimatriisi: vain yksi rivi, esim. $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}$ ($1 \times 3$).
• Sarakevektori: vain yksi sarake, esim. $\begin{bmatrix} 1 \ 2 \ 3 \end{bmatrix}$ ($3 \times 1$).
• Nollamatriisi: kaikki elementit ovat nollia, esim. $\begin{bmatrix} 0 & 0 \ 0 & 0 \end{bmatrix}$.
• Identiteettimatriisi: neliömatriisi, jonka päädiagonaalilla on 1 ja muut elementit ovat 0, esim. $\begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix}$ ($2 \times 2$), merkitään $I_n$, jossa $n$ on matriisin kertaluku.

Matriisien Laskutoimitukset

Yhteen- ja vähennyslasku

• Vain saman tyyppisiä (rivi- ja sarake) matriiseja voidaan laskea yhteen tai vähentää.
• Yhteen- tai vähennyslasku suoritetaan vastaavien elementtien välillä.
• Esimerkiksi: $\begin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 5 & 6 \ 7 & 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+5 & 2+6 \ 3+7 & 4+8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 8 \ 10 & 12 \end{bmatrix}$

Skalaarilla kertominen

• Matriisin jokainen elementti kerrotaan skalaarilla.
• Esimerkiksi: $2 \cdot \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2\cdot1 & 2\cdot2 \ 2\cdot3 & 2\cdot4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 4 \ 6 & 8 \end{bmatrix}$

Matriisien kertolasku

• Kerrottaessa matriisit $A$ ja $B$, matriisin $A$ sarakkeiden lukumäärän on oltava sama kuin matriisin $B$ rivien lukumäärä.
• Jos $A$ on tyyppiä $m \times n$ ja $B$ on tyyppiä $n \times p$, niin tulo $AB$ on tyyppiä $m \times p$.
• Elementti $AB$:n $i$. rivillä ja $j$. sarakkeessa saadaan kertomalla matriisin $A$ $i$. rivin elementit matriisin $B$ $j$. sarakkeen elementeillä ja laskemalla tulokset yhteen.
• Esimerkiksi: $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{bmatrix}$, $B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \ 7 & 8 \end{bmatrix}$ $AB = \begin{bmatrix} 1\cdot5 + 2\cdot7 & 1\cdot6 + 2\cdot8 \ 3\cdot5 + 4\cdot7 & 3\cdot6 + 4\cdot8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 19 & 22 \ 43 & 50 \end{bmatrix}$

Huomautus

• Yleensä $AB \neq BA$.
• Matriisien kertolasku ei ole vaihdannainen.

Matriisin Transpoosi

• Matriisin $A$ transpoosi saadaan vaihtamalla rivit sarakkeiksi.
• Merkitään matriisin $A$ transpoosia $A^T$.
• Esimerkiksi: Jos $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$, niin $A^T = \begin{bmatrix} 1 & 4 \ 2 & 5 \ 3 & 6 \end{bmatrix}$

Matriisin Käänteismatriisi

• Neliömatriisi $A$ on kääntyvä, jos on olemassa matriisi $B$ siten, että $AB = BA = I$, jossa $I$ on identiteettimatriisi.
• Matriisia $B$ kutsutaan matriisin $A$ käänteismatriisiksi ja se esitetään muodossa $A^{-1}$.
• Kaikki neliömatriisit eivät ole kääntyviä.
• Matriisin käänteisarvon löytämiseksi voidaan käyttää Gaussin ja Jordanin menetelmää tai adjungaattimatriisin kaavaa.

Matriisin Determinantti

• Determinantti on neliömatriisiin liittyvä luku.
• Merkitään A:n determinanttia det(A) tai |A|.
• Determinantin avulla voidaan selvittää, onko matriisi kääntyvä (matriisi on kääntyvä, jos ja vain jos sen determinantti on nollasta poikkeava).

Determinantin laskeminen

• Matriisi $2 \times 2$:
  • $\det \begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix} = ad - bc$
• Matriisi $3 \times 3$:
  • Voidaan käyttää Sarrusin sääntöä tai Laplacen kehitystä.

Matriisien sovellukset

• Lineaaristen yhtälöryhmien ratkaiseminen.
• Lineaariset muunnokset (kierto, homotetia jne.).
• Tietokonegrafiikka.
• Salaus.
• Verkkoanalyysi.
• Tilastotiede.
• Fysiikka.

Pikaopas

• Markdown-muotoilun käytön aloittaminen

Mikä on Markdown?

• Markdown on tapa muotoilla tekstiä verkossa.
• Sitä käytetään tekstin ulkoasun hallintaan: sanojen muotoilu, kuten lihavoitu tai kursivoitu, kuvien lisääminen ja listojen luominen.
• Pohjimmiltaan Markdown on yksinkertaistettu HTML.

Miksi käyttää Markdownia?

• Se on nopeampi ja helpompi kuin HTML.
• Se on siirrettävä, ja luodut tiedostot voidaan avata käytännössä missä tahansa sovelluksessa.
• Se on alustasta riippumaton ja voidaan käyttää missä tahansa käyttöjärjestelmässä.
• Se on yhteensopiva HTML:n kanssa
• Se on helppolukuinen.

Markdown-syntaksi

Otsikot

• Otsikon luomiseen lisätään risuaitamerkki (#) eteen.
• Risuaitamerkkien lukumäärän on vastattava otsikkotasoa.

## Tämä on H1-otsikko
## Tämä on H2-otsikko
### Tämä on H3-otsikko

Korostus

- Tämä on kursivoitua tekstiä*
_Tämä on kursivoitua tekstiä_
- *Tämä on lihavoitua tekstiä**
__Tämä on lihavoitua tekstiä__
- **Tämä on lihavoitua ja kursivoitua tekstiä***
___Tämä on lihavoitua ja kursivoitua tekstiä___

Listat

• Järjestämättömän luettelon luomiseen lisätään viivoja (-), tähtiä (*) tai plusmerkkejä (+) ennen rivin kohtia.

- Kohde 1
- Kohde 2
- Kohde 3
- Kohde 1
- Kohde 2
- Kohde 3

+ Kohde 1
+ Kohde 2
+ Kohde 3

• Järjestetyn luettelon luomiseksi lisätään numeroita, joita seuraa piste ennen rivin kohtia.

1. Kohde 1
2. Kohde 2
3. Kohde 3

Linkit

[Linkin teksti](URL)

[Googlen verkkosivusto](https://www.google.com)

Kuvat

![Vaihtoehtoinen teksti](URL)

![Googlen logo](https://www.google.com/images/branding/googlelogo/1x/googlelogo_color_272x92dp.png)

Koodi

• Koodiotsikoiden ilmoittamisen sallimiseksi jätetään koodi käänteisten lainausmerkkien (`).

`Tämä on koodiotidas`

• Käytetään kolmea käänteistä lainausmerkkiä (```) koodiotidaslohkoille.

```Tämä on koodiotidaslohko

Taulukot

| Otsikko 1 | Otsikko 2 |
|---|---|
| Solu 1 | Solu 2 |
| Solu 3 | Solu 4 |

Lainaukset

> Tämä on lainaus.

Rivinvaihdot

• Rivinvaihdon luomiseen lisätään kaksi tai useampi välilyöntiä rivin loppuun.

Tässä on esimerkki.  
Tämä on toinen rivi.

Vaakasuuntaiset säännöt

- --

Markdown-resurssit

• Daring Fireball: Markdown Syntax Documentation
• Markdown Guide

Johtopäätös

• Tämä opas kattaa Markdown-muotoilun perusteet.
• Pienellä harjoittelulla voit luoda nopeasti ja helposti erinomaisen näköisiä asiakirjoja.