ज्यामिति का परिचय

• ज्यामिति गणित की एक शाखा है जो बिंदुओं, रेखाओं, सतहों, ठोस पदार्थों और उच्च आयामी अनुरूपों के गुणों और संबंधों से संबंधित है।
• यह सबसे पुराने गणितीय विज्ञानों में से एक है।
• ज्यामिति कई प्रारंभिक संस्कृतियों में स्वतंत्र रूप से लंबाई, क्षेत्रफल और आयतन से निपटने के एक व्यावहारिक तरीके के रूप में उत्पन्न होती है।
• यूक्लिडियन ज्यामिति यूक्लिड के स्वयंसिद्धों पर आधारित ज्यामिति है।
• इसमें स्वयंसिद्धों और प्रमेयों के आधार पर समतल और ठोस आकृतियों का अध्ययन शामिल है।
• यूक्लिडियन ज्यामिति बिंदु, रेखा और समतल जैसे अपरिभाषित शब्दों पर आधारित है
• गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति में गोलाकार ज्यामिति और अतिपरवलयिक ज्यामिति शामिल हैं।
• गोलाकार ज्यामिति एक गोले की ज्यामिति का अध्ययन करती है।
• अतिपरवलयिक ज्यामिति काठी के आकार की सतहों का अध्ययन करती है।

मूल ज्यामितीय तत्व

• बिंदु: अंतरिक्ष में एक स्थान। इसका कोई आयाम नहीं है।
• रेखा: बिंदुओं का एक अनंत समूह जो एक सीधा पथ बनाता है। इसका एक आयाम है।
• समतल: एक सपाट सतह जो सभी दिशाओं में अनंत तक फैली हुई है। इसके दो आयाम हैं।
• रेखा खंड: एक रेखा का वह भाग जो दो अलग-अलग अंत बिंदुओं से घिरा होता है।
• किरण: एक रेखा का वह भाग जो एक बिंदु से शुरू होकर एक दिशा में अनंत तक फैला होता है।

कोण

• कोण: एक सामान्य अंत बिंदु (शीर्ष) साझा करने वाली दो रेखाओं या किरणों के बीच के घूर्णन का माप।
• न्यून कोण: 90 डिग्री से कम मापने वाला कोण।
• समकोण: ठीक 90 डिग्री मापने वाला कोण।
• अधिक कोण: 90 डिग्री से अधिक लेकिन 180 डिग्री से कम मापने वाला कोण।
• सीधा कोण: ठीक 180 डिग्री मापने वाला कोण।
• प्रतिवर्ती कोण: 180 डिग्री से अधिक लेकिन 360 डिग्री से कम मापने वाला कोण।
• पूरक कोण: दो कोण जिनके माप का योग 90 डिग्री होता है।
• अनुपूरक कोण: दो कोण जिनके माप का योग 180 डिग्री होता है।
• ऊर्ध्वाधर कोण: प्रतिच्छेदन रेखाओं द्वारा बनाए गए विपरीत कोणों के जोड़े। ऊर्ध्वाधर कोण सर्वांगसम होते हैं (माप में बराबर)।

बहुभुज

• बहुभुज: सीधी रेखा खंडों द्वारा निर्मित एक बंद द्वि-आयामी आकार।
• त्रिभुज: तीन भुजाओं और तीन कोणों वाला एक बहुभुज।
• चतुर्भुज: चार भुजाओं और चार कोणों वाला एक बहुभुज।
• पंचकोण: पाँच भुजाओं और पाँच कोणों वाला एक बहुभुज।
• षट्कोण: छह भुजाओं और छह कोणों वाला एक बहुभुज।
• सप्तभुज: सात भुजाओं और सात कोणों वाला एक बहुभुज।
• अष्टकोण: आठ भुजाओं और आठ कोणों वाला एक बहुभुज।
• दशभुज: दस भुजाओं और दस कोणों वाला एक बहुभुज।
• नियमित बहुभुज: एक बहुभुज जिसकी सभी भुजाएँ और सभी कोण बराबर हों।
• उत्तल बहुभुज: एक बहुभुज जिसके सभी आंतरिक कोण 180 डिग्री से कम हों।
• अवतल बहुभुज: एक बहुभुज जिसका कम से कम एक आंतरिक कोण 180 डिग्री से अधिक हो।
• n भुजाओं वाले बहुभुज में आंतरिक कोणों का योग (n-2) * 180 डिग्री होता है।

त्रिकोण

• समबाहु त्रिभुज: एक त्रिभुज जिसकी तीनों भुजाएँ लंबाई में बराबर हों और तीनों कोण 60 डिग्री के बराबर हों।
• समद्विबाहु त्रिभुज: एक त्रिभुज जिसकी दो भुजाएँ बराबर लंबाई की हों और दो कोण बराबर हों।
• विषमबाहु त्रिभुज: एक त्रिभुज जिसकी तीनों भुजाएँ अलग-अलग लंबाई की हों और तीनों कोण अलग-अलग माप के हों।
• समकोण त्रिभुज: एक त्रिभुज जिसमें एक समकोण (90 डिग्री) हो।
• न्यूनकोण त्रिभुज: एक त्रिभुज जिसके तीनों कोण 90 डिग्री से कम हों।
• अधिककोण त्रिभुज: एक त्रिभुज जिसमें एक अधिककोण (90 डिग्री से अधिक) हो।
• एक त्रिभुज में कोणों का योग हमेशा 180 डिग्री होता है।
• पाइथागोरस प्रमेय: एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण की लंबाई (समकोण के विपरीत भुजा) का वर्ग अन्य दो भुजाओं की लंबाई के वर्गों के योग के बराबर होता है (a² + b² = c²)।

चतुर्भुज

• वर्ग: चार बराबर भुजाओं और चार समकोणों वाला एक चतुर्भुज।
• आयत: चार समकोणों और विपरीत भुजाओं वाला एक चतुर्भुज बराबर।
• समांतर चतुर्भुज: एक चतुर्भुज जिसकी विपरीत भुजाएँ समानांतर और लंबाई में बराबर हों। विपरीत कोण भी बराबर होते हैं।
• समचतुर्भुज: चार बराबर भुजाओं और विपरीत कोणों वाला एक चतुर्भुज बराबर।
• ट्रेपेज़ॉइड: एक चतुर्भुज जिसमें कम से कम एक जोड़ी समानांतर भुजाएँ हों।
• समद्विबाहु ट्रेपेज़ॉइड: एक ट्रेपेज़ॉइड जिसकी गैर-समानांतर भुजाएँ बराबर हों।
• एक चतुर्भुज में कोणों का योग हमेशा 360 डिग्री होता है।

वृत्त

• वृत्त: एक समतल में सभी बिंदुओं का एक समूह जो एक केंद्र बिंदु से एक निश्चित दूरी पर हों।
• त्रिज्या: वृत्त के केंद्र से वृत्त पर किसी भी बिंदु की दूरी।
• व्यास: वृत्त के केंद्र से होकर जाने वाली वृत्त के पार की दूरी। यह त्रिज्या का दोगुना होता है।
• परिधि: एक वृत्त के चारों ओर की दूरी (C = 2πr, जहाँ r त्रिज्या है)।
• क्षेत्रफल: एक वृत्त द्वारा घेरे गए स्थान की मात्रा (A = πr²)।
• जीवा: वृत्त पर दो बिंदुओं को जोड़ने वाला एक रेखा खंड।
• स्पर्शरेखा: एक रेखा जो वृत्त को केवल एक बिंदु पर स्पर्श करती है।
• छेदक: एक रेखा जो वृत्त को दो बिंदुओं पर काटती है।
• चाप: वृत्त की परिधि का एक भाग।
• क्षेत्र: दो त्रिज्याओं और वृत्त के चाप से घिरा क्षेत्र।

3D आकार

• गोला: अंतरिक्ष में सभी बिंदुओं का एक समूह जो एक केंद्र बिंदु से एक निश्चित दूरी पर हों।
• घन: छह वर्गाकार फलकों वाला त्रि-आयामी ठोस।
• आयताकार प्रिज्म: छह आयताकार फलकों वाला त्रि-आयामी ठोस।
• सिलेंडर: एक घुमावदार सतह से जुड़े दो समानांतर वृत्ताकार आधारों वाला त्रि-आयामी ठोस।
• शंकु: एक वृत्ताकार आधार और एक शीर्ष वाला त्रि-आयामी ठोस।
• पिरामिड: एक बहुभुजीय आधार और त्रिकोणीय फलकों वाला त्रि-आयामी ठोस जो एक सामान्य शीर्ष पर मिलते हैं।
• आयतन: त्रि-आयामी वस्तु द्वारा घेरे गए स्थान की मात्रा।
• पृष्ठीय क्षेत्रफल: त्रि-आयामी वस्तु की सतह का कुल क्षेत्रफल।

सर्वांगसमता और समानता

• सर्वांगसम: आकृतियाँ जिनका आकार और आकार समान हो।
• समान: आकृतियाँ जिनका आकार समान हो लेकिन आकार अलग-अलग हों।
• त्रिभुज सर्वांगसमता की शर्तें (SSS, SAS, ASA, AAS)।
• त्रिभुज समानता की शर्तें (AA, SAS, SSS)।

निर्देशांक ज्यामिति

• निर्देशांक समतल: दो लंबवत संख्या रेखाओं (x-अक्ष और y-अक्ष) द्वारा परिभाषित एक समतल।
• निर्देशांक: क्रमित जोड़े (x, y) जो निर्देशांक समतल पर एक बिंदु के स्थान को निर्दिष्ट करते हैं।
• दूरी सूत्र: दो बिंदुओं (x₁, y₁) और (x₂, y₂) के बीच की दूरी √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²) है।
• मध्यबिंदु सूत्र: अंत बिंदुओं (x₁, y₁) और (x₂, y₂) वाले एक रेखा खंड का मध्यबिंदु ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2) है।
• ढलान: एक रेखा की ढलान का माप (m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁))।
• रेखा का समीकरण: ढलान-अवरोधन रूप (y = mx + b), बिंदु-ढलान रूप (y - y₁ = m(x - x₁)), मानक रूप (Ax + By = C)।
• समानांतर रेखाएँ: समान ढलान वाली रेखाएँ।
• लंबवत रेखाएँ: रेखाएँ जिनकी ढलानें एक दूसरे के ऋणात्मक व्युत्क्रम हों (m₁ * m₂ = -1)।