ज्यामिति की मूल बातें

- ज्यामिति गणित की वह शाखा है जो बिंदुओं, रेखाओं, सतहों, ठोसों और उच्च आयामी एनालॉग के गुणों और संबंधों से संबंधित है।
- ज्यामितीय अवधारणाएँ कई प्रारंभिक संस्कृतियों में लंबाई, क्षेत्रफल और आयतन से निपटने के व्यावहारिक तरीकों के रूप में स्वतंत्र रूप से उत्पन्न हुईं।

### मुख्य अवधारणाएँ
- बिंदु: अंतरिक्ष में एक स्थान, जिसका कोई आयाम नहीं है।
- रेखा: बिना मोटाई वाला एक अनंत लंबा, सीधा मार्ग।
- समतल: एक सपाट, द्वि-आयामी सतह जो अनंत तक फैली हुई है।
- कोण: एक बिंदु पर मिलने वाली दो रेखाओं के बीच घूर्णन का माप।
- दूरी: दो बिंदुओं के बीच सबसे छोटे मार्ग की लंबाई।

### आकार
- त्रिभुज: तीन किनारों और तीन शीर्षों वाला एक बहुभुज।
    - आंतरिक कोणों का योग 180° होता है।
    - प्रकारों में समबाहु, समद्विबाहु, विषमबाहु, समकोण शामिल हैं।
- चतुर्भुज: चार किनारों और चार शीर्षों वाला एक बहुभुज।
    - आंतरिक कोणों का योग 360° होता है।
    - प्रकारों में वर्ग, आयत, समानांतर चतुर्भुज, समलम्ब चतुर्भुज शामिल हैं।
- वृत्त: एक केंद्र बिंदु से समान दूरी पर स्थित बिंदुओं का एक समूह।
    - त्रिज्या (r): केंद्र से वृत्त पर किसी भी बिंदु की दूरी।
    - व्यास (d): केंद्र के माध्यम से वृत्त के पार की दूरी (d = 2r)।
    - परिधि (C): वृत्त के चारों ओर की दूरी (C = 2πr)।
    - क्षेत्रफल (A): वृत्त द्वारा घिरा हुआ स्थान (A = πr²)।
- बहुभुज: रेखा खंडों द्वारा निर्मित एक बंद आकृति।
    - नियमित बहुभुज: सभी भुजाएँ और कोण बराबर होते हैं।
    - अनियमित बहुभुज: सभी भुजाएँ और कोण बराबर नहीं होते हैं।

### 3D आकार
- गोला: तीन आयामों में एक केंद्र बिंदु से समान दूरी पर स्थित बिंदुओं का एक समूह।
    - पृष्ठीय क्षेत्रफल (A) = 4πr²
    - आयतन (V) = (4/3)πr³
- घन: छह वर्गाकार फलकों वाला एक नियमित षट्फलक।
    - पृष्ठीय क्षेत्रफल (A) = 6a², जहाँ a भुजा की लंबाई है।
    - आयतन (V) = a³
- आयताकार प्रिज्म: एक प्रिज्म जिसका आधार आयत होता है।
     - पृष्ठीय क्षेत्रफल (A) = 2(lw + lh + wh), जहाँ l, w और h लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई हैं।
    - आयतन (V) = lwh
- सिलेंडर: एक आकार जिसमें दो समानांतर वृत्ताकार आधार एक घुमावदार सतह से जुड़े होते हैं।
     - पृष्ठीय क्षेत्रफल (A) = 2πr² + 2πrh, जहाँ r त्रिज्या और h ऊँचाई है।
    - आयतन (V) = πr²h
- शंकु: एक वृत्ताकार आधार और एक एकल शीर्ष वाला आकार।
    - आयतन (V) = (1/3)πr²h, जहाँ r त्रिज्या और h ऊँचाई है।

### कोण
- न्यून कोण: 90° से कम का कोण।
- समकोण: ठीक 90° का कोण।
- अधिक कोण: 90° से अधिक लेकिन 180° से कम का कोण।
- ऋजु कोण: ठीक 180° का कोण।
- प्रतिवर्ती कोण: 180° से अधिक लेकिन 360° से कम का कोण।
- पूरक कोण: दो कोण जिनका योग 90° होता है।
- संपूरक कोण: दो कोण जिनका योग 180° होता है।

### रेखाएँ और रेखा खंड
- समानांतर रेखाएँ: एक समतल में रेखाएँ जो प्रतिच्छेद नहीं करती हैं।
- लंबवत रेखाएँ: रेखाएँ जो एक समकोण पर प्रतिच्छेद करती हैं।
- तिर्यक रेखा: एक रेखा जो दो या दो से अधिक अन्य रेखाओं को प्रतिच्छेद करती है।
    - संगत, एकांतर अंतः, एकांतर बाह्य और क्रमिक अंतः कोण बनाती है।

### त्रिभुज
- त्रिभुज का क्षेत्रफल: (1/2) * आधार * ऊँचाई
- पाइथागोरस प्रमेय: एक समकोण त्रिभुज में, a² + b² = c², जहाँ a और b पैर हैं और c कर्ण है।
- समबाहु त्रिभुज: सभी भुजाएँ बराबर होती हैं और सभी कोण 60° होते हैं।
- समद्विबाहु त्रिभुज: दो भुजाएँ बराबर होती हैं, और उन भुजाओं के विपरीत कोण बराबर होते हैं।
- विषमबाहु त्रिभुज: कोई भी भुजा बराबर नहीं होती, और कोई भी कोण बराबर नहीं होता।

### निर्देशांक ज्यामिति
- निर्देशांक समतल: दो लंबवत संख्या रेखाओं, x-अक्ष और y-अक्ष द्वारा परिभाषित एक समतल।
- निर्देशांक: क्रमित युग्म (x, y) जो निर्देशांक समतल पर एक बिंदु के स्थान का प्रतिनिधित्व करते हैं।
- दूरी सूत्र: d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)
- मध्यबिंदु सूत्र: ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2)
- ढलान: एक रेखा की खड़ीपन का माप, जिसकी गणना ऊपर की ओर दौड़ के रूप में की जाती है (m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁))
- एक रेखा का समीकरण: y = mx + b, जहाँ m ढलान है और b y-अवरोधन है।

### रूपांतरण
- स्थानांतरण: किसी आकृति के आकार या आकार को बदले बिना उसे खिसकाना।
- घूर्णन: किसी आकृति को एक निश्चित बिंदु के चारों ओर घुमाना।
- परावर्तन: किसी आकृति को एक रेखा पर पलटना।
- फैलाव: किसी आकृति को एक स्केल फैक्टर द्वारा बड़ा या छोटा करना।

### सर्वांगसमता और समानता
- सर्वांगसम आकृतियाँ: वे आकृतियाँ जिनका आकार और आकार समान होता है।
- समरूप आकृतियाँ: वे आकृतियाँ जिनका आकार समान होता है लेकिन आकार अलग-अलग होते हैं।
    - संगत कोण बराबर होते हैं।
    - संगत भुजाएँ समानुपाती होती हैं।

### त्रिकोणमिति मूल बातें
- त्रिकोणमितीय अनुपात: एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं के अनुपात
    - साइन (sin θ) = लंब/कर्ण
    - कोसाइन (cos θ) = आसन्न/कर्ण
    - टैंजेंट (tan θ) = लंब/आसन्न
- पाइथागोरस पहचान: sin²θ + cos²θ = 1