जटिल संख्याएँ: मूल अवधारणाएँ

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Questions and Answers

निम्नलिखित जटिल संख्याओ के रूपों को उनके संबंधित अभ्यावेदन से मिलाएं:

$a + bi$ = कार्तीय रूप (Cartesian form) $r(cos \theta + i sin \theta)$ = ध्रुवीय रूप (Polar form) $re^{i\theta}$ = चरघातांकी रूप (Exponential form) $a - bi$ = संयुग्मी (Conjugate)

सूची I में दिए गए जटिल संख्याओं के कार्यों को सूची II में दिए गए उनके गुणों से मिलाएं:

जोड़ (Addition) = $(a + c) + (b + d)i$ गुणा (Multiplication) = $(ac - bd) + (ad + bc)i$ संयुग्मन (Conjugation) = $a - bi$ मॉड्यूलस (Modulus) = $\sqrt{a^2 + b^2}$

निम्नलिखित कथनों को जटिल संख्याओं के संदर्भ में उनकी सटीक परिभाषाओं से मिलाएं:

वास्तविक भाग (Real Part) = जटिल संख्या का 'a' घटक $a + bi$ काल्पनिक भाग (Imaginary Part) = जटिल संख्या का 'b' घटक $a + bi$ मॉड्यूलस (Modulus) = मूल से दूरी अभिक्रिया (Argument) = धनात्मक वास्तविक अक्ष से कोण

निम्नलिखित गणितज्ञों को जटिल संख्याओं से संबंधित उनकी संबंधित खोजों या योगदानों से मिलाएं:

राफेल बॉम्बेली (Rafael Bombelli) = जटिल संख्याओं का औपचारिकीकरण (Formalization) कार्ल फ्रेडरिक गॉस (Carl Friedrich Gauss) = जटिल समतल का विकास (Development of the complex plane) लियोनहार्ड यूलर (Leonhard Euler) = $e^{ix} = cos(x) + isin(x)$ अब्राहम डी मोइवर (Abraham de Moivre) = डी मोइवर प्रमेय (De Moivre's Theorem) Signup and view all the answers

सूची I में दिए गए जटिल संख्याओं के गुणों को सूची II में दिए गए उनके अनुप्रयोगों से मिलाएं:

जटिल संयुग्मी (Complex Conjugate) = हर का परिमेयकरण (Rationalizing denominators) ध्रुवीय रूप (Polar Form) = शक्तियों और जड़ों की गणना करना आसान बनाता है (Easier calculation of powers and roots) डी मोइवर का प्रमेय (De Moivre’s Theorem) = त्रिकोणमितीय पहचान (Trigonometric identities) यूलर का सूत्र (Euler's Formula) = जटिल चरघातांकी (Complex exponentials) Signup and view all the answers

सूची I में दिए गए जटिल संख्या के संचालन को सूची II में दिए गए उनके ज्यामितीय अभ्यावेदन से मिलाएं:

जोड़ (Addition) = समतल पर सदिशों का जोड़ (Addition of vectors on the plane) गुणा (Multiplication) = घूर्णन और स्केलिंग (Rotation and scaling) संयुग्मन (Conjugation) = वास्तविक अक्ष के बारे में प्रतिबिंब (Reflection about the real axis) मॉड्यूलस (Modulus) = मूल से दूरी (Distance from the origin) Signup and view all the answers

निम्नलिखित को जटिल संख्याओं के समीकरणों को हल करने में उनके उपयोग से मिलाएं:

$z \cdot \overline{z} = |z|^2$ = जटिल संख्याओं का मॉड्यूलस (modulus) खोजने में उपयोगी $\overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}$ = जोड़ का संयुग्मन (conjugate of addition) खोजने में उपयोगी $(e^{i\theta})^n = e^{in\theta}$ = $e$ की घात को सरल बनाने में उपयोगी $(a + bi)(a - bi) = a^2 + b^2$ = जटिल संख्याओं के हर को वास्तविक संख्याओं में बदलने में उपयोगी Signup and view all the answers

सूची I में दिए गए अवधारणाओं को सूची II में दिए गए उनके संबंधित सूत्रों से मिलाएं:

मॉड्यूलस (Modulus) = $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ अभिक्रिया (Argument) = $θ = \arctan(\frac{b}{a})$ पोलर फॉर्म (Polar form) = $z = r(\cos θ + i \sin θ)$ यूलर का सूत्र (Euler’s formula) = $e^{iθ} = \cos θ + i \sin θ$ Signup and view all the answers

प्रत्येक जटिल संख्या के लिए, एक ऐसा ऑपरेशन ढूंढें जो इसे वास्तविक संख्या में परिवर्तित करे:

$a + bi$ = इसके संयुग्म से गुणा करें ($a - bi$) $z$ = इसके जटिल संयुग्म में जोड़ें (Add to its complex conjugate) $re^{iθ}$ = इसके संयुग्म से गुणा करें (Multiply by its conjugate) $i$ = वर्ग Signup and view all the answers

सही त्रिकोणमितीय प्रतिनिधित्व के साथ ईकाई वृत्त पर विशिष्ट कोण मिलाएं:

$θ = 0$ = $cos(0) + i sin(0) = 1$ $θ = \frac{π}{2}$ = $cos(\frac{π}{2}) + i sin(\frac{π}{2}) = i$ $θ = π$ = $cos(π) + i sin(π) = -1$ $θ = \frac{3π}{2}$ = $cos(\frac{3π}{2}) + i sin(\frac{3π}{2}) = -i$ Signup and view all the answers

जटिल कार्यों की समस्याओं को हल करने में उनके उपयोग के संबंध में प्रत्येक अवधारणा के साथ एक अवधारणा युग्मित करें:

डी मोइवर का सूत्र (De Moivre’s theorem) = जटिल संख्याओं की शक्तियों की गणना करना ($(\cos θ + i \sin θ)^n$) जटिल संयुग्म (Complex conjugate) = जटिल अंशों को सरल बनाना ध्रुवीय रूप (Polar form) = जटिल संख्याओं के गुणन को सरल बनाने के लिए यूलर की पहचान (Euler's Identity) = चरघातांकी कार्यों को त्रिकोणमितीय कार्यों से जोड़ना Signup and view all the answers

जटिल संख्याओं से संबंधित निम्नलिखित क्षेत्रों को उनके संबंधित अनुप्रयोगों से मिलाएं:

विद्युत अभियन्त्रण (Electrical Engineering) = एसी सर्किट विश्लेषण। (AC circuit analysis.) क्वांटम यांत्रिकी (Quantum Mechanics) = कण अवस्थाओं का वर्णन। (Describing particle states.) द्रव गतिकी (Fluid Dynamics) = द्रव प्रवाह समस्याओं का समाधान। (Solving fluid flow problems.) सिग्नल प्रोसेसिंग (Signal Processing) = फूरियर विश्लेषण (Fourier analysis) Signup and view all the answers

सूची 1 में दी गई जटिल संख्या संक्रियाओं को सूची 2 में दिए गए उनके परिणामों से सुमेलित कीजिए:

($3 + 2i$) + ($1 - i$) = $4 + i$ ($2 - i$) - ($4 + 3i$) = $-2 - 4i$ ($1 + i$) * ($2 - i$) = $3 + i$ ($5 + 5i$) / ($1 - i$) = $-5i$ Signup and view all the answers

सूची 1 में दिए गए जटिल संख्याओं के निरूपणों को सूची 2 में दिए गए उनके संबंधित लाभों से सुमेलित कीजिए:

कार्टेशियन रूप (Cartesian form) ($a + bi$) = जटिल संख्याओं को जोड़ना और घटाना आसान ध्रुवीय रूप (Polar form) ($r(cos θ + i sin θ)$) = जटिल संख्याओं को गुणा करना और विभाजित करना आसान घातीय रूप (Exponential form) ($re^{iθ}$) = जटिल संख्याओं को संभालना और उनकी घात की गणना करना आसान संयुग्मी (Conjugate) ($a - bi$) = हरों को वास्तविक संख्याओं में बदलने के लिए Signup and view all the answers

सूची 1 से जटिल संख्याओं के सूत्रों को सूची 2 से उनके विवरण के साथ मिलाएँ।

मॉड्यूलस सूत्र (Modulus formula) = समतल में मूल बिंदु से दूरी तर्क सूत्र (Argument formula) = धनात्मक वास्तविक अक्ष से कोण यूलर का सूत्र (Euler’s formula) = त्रिकोणमितीय और घातीय कार्यों को जोड़ता है डी मोइवर का प्रमेय (De Moivre’s theorem) = शक्तियों की गणना और जटिल संख्याओं की जड़ों को सरल करता है Signup and view all the answers

सूची 1 में दिए गए शब्द को जटिल संख्याओं के व्यवहार को समझने के लिए सूची 2 में दिए गए कार्यों के लिए सुमेलित करें।

वास्तविक भाग (Real Part) = एक जटिल संख्या की क्षैतिज स्थिति काल्पनिक भाग (Imaginary part) = एक जटिल संख्या की ऊर्ध्वाधर स्थिति जटिल संयुग्मी (Complex conjugate) = एक जटिल संख्या को क्षैतिज अक्ष में प्रतिबिंबित करना मॉड्यूलस (Modulus) = मूल से जटिल संख्या की दूरी Signup and view all the answers

सूची 1 में दी गई प्रक्रिया का उपयोग करके सूची 2 में जटिल संख्याओं के साथ गणना की गई कार्रवाई को मिलाएं।

जटिल संख्याओं का जोड़ (Addition of complex numbers) = जटिल समतल में सदिशों के जोड़ की तरह जटिल संख्याओं का गुणन (Multiplication of complex numbers) = घूर्णन के साथ सदिश स्केलिंग को जोड़ती है जटिल संयुग्मन (Complex conjugation) = क्षैतिज अक्ष पर समरूपता गुणात्मक व्युत्क्रम (Multiplicative inverse) = घूर्णन और स्केलिंग Signup and view all the answers

सूची 1 से जटिल संख्याओं से संबंधित गुणों को सूची 2 में दिए गए अनुप्रयोगों के साथ संरेखित करें।

अंकगणितीय (Arithmetic) = जटिल संख्याओं को गुणा, भाग, जोड़ और घटाना ज्यामितीय प्रतिनिधित्व (Geometric representations) = समस्याओं को हल करने की कल्पना को आसान बनाता है ध्रुवीय रूप (Polar form) = एक जटिल संख्या के जोड़-तोड़ को सरल बनाना यूलर की पहचान (Euler's identity) = त्रिकोणमितीय और घातीय संबंधों को जोड़ना Signup and view all the answers

अभिव्यक्ति को सरल बनाने के लिए, सूची 1 में पहचान खोजें ताकि सूची 2 में कार्यों को सरल बनाया जा सके।

$\sqrt{-1} = i$ = जटिल संख्याओं के साथ काम आसान बनाना $\dfrac{1}{i} = -i$ = जटिल संख्याओं के अंशों को सरल बनाना $|z|^2 = z \cdot \overline{z}$ = एक जटिल संख्या के आकार का पता लगाना $e^{i\pi} = -1$ = क्वाड्रेटिकल फ़ंक्शन के लिए फार्मुलों को सरल बनाना Signup and view all the answers

Flashcards

जटिल संख्याएँ क्या हैं?

काल्पनिक इकाई 'i' को शामिल करके वास्तविक संख्या प्रणाली का विस्तार, जहाँ i² = -1

जटिल संख्याओं का जोड़

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i