Изброими и неизброими множества
8 Questions
0 Views

Choose a study mode

Play Quiz
Study Flashcards
Spaced Repetition
Chat to Lesson

Podcast

Play an AI-generated podcast conversation about this lesson

Questions and Answers

Какво е твърдението относно обединението на изброими множества?

Обединението на изброима фамилия от изброими множества е също изброимо.

Как се определя функцията f при доказателството?

f(x) = gi(j), където h(x) = (i, j).

Всеки елемент от таблицата е стойност на f в някое x ∈ N.

True (A)

Как се нарича характеристичната функция на множеството B?

<p>fB : A → {0, 1}</p> Signup and view all the answers

На подмножество {1, 3} съответства четворката _____ .

<p>0101</p> Signup and view all the answers

Множеството P(N) е изброимо.

<p>False (B)</p> Signup and view all the answers

Каква е идеята за диагонализация в доказателството?

<p>Да се конструира функция fD, която не съвпада с никоя от изброените функции.</p> Signup and view all the answers

Ако b_{ij} = 1, то fD(i) = ____ .

<p>0</p> Signup and view all the answers

Flashcards

Countable Family of Sets

A collection of countable sets where the union of all sets is also countable.

Countable Set

A set that can be put in one-to-one correspondence with the set of natural numbers (N).

Surjection

A function where every element in the codomain is mapped to by at least one element in the domain.

Bijection

A function that is both injective (one-to-one) and surjective (onto).

Signup and view all the flashcards

Characteristic Function

A function fB that maps elements of set A to 0 or 1 based on whether the element is in another subset B.

Signup and view all the flashcards

Uncountable Set

A set that cannot be put into one-to-one correspondence with the set of natural numbers (N).

Signup and view all the flashcards

Power Set

The set of all subsets of a given set.

Signup and view all the flashcards

Diagonalization

A method used to show that a set is uncountable by constructing a new element that's not in the list.

Signup and view all the flashcards

Null Set

The set with no elements.

Signup and view all the flashcards

Ordered Pair

A pair of elements (i, j), where the order is significant. i comes before j.

Signup and view all the flashcards

Function

A relationship between elements of two sets, where each element in the domain corresponds to exactly one element in the codomain.

Signup and view all the flashcards

Codomain

The set of possible outputs of a function.

Signup and view all the flashcards

Domain

The set of possible inputs to a function.

Signup and view all the flashcards

Subset

A set contained entirely within another set.

Signup and view all the flashcards

Empty Set

A set containing no elements.

Signup and view all the flashcards

Natural Numbers

The set of positive integers: {1, 2, 3, ...}.

Signup and view all the flashcards

Study Notes

Твърдение 1: Изброима фамилия от изброими множества

  • Изброимо множество е множество, което може да бъде обходено: всеки елемент е в определена позиция в последователността.
  • Изброима фамилия от множества е фамилия от множества, на която е възможно да се присвои индекс (номер) от естествените числа.
  • Обединението на изброима фамилия от изброими множества е също изброимо множество.
  • Таблицата показва елементите на отделните множества, за да се демонстрира как се организира обединението.
  • Биекцията h: N → N×N е ключова, за да се обходи таблицата систематично. h(x) = (i,j) показва как да се открие елементът от таблицата.
  • Използва се функция f : N → ⋃i∈N Ai, която изброява елементите на обединението чрез индекса h(x) от h: N → N×N.

Дефиниция 2: Характеристична функция

  • Характеристичната функция на множество В, fB : А → {0,1} , показва дали елемент x ∈ А е и в В или не.
  • fB(x) = 1, ако x ∈ В
  • fB(x) = 0, ако x ∉ В

Теорема 3: Множеството P(N) е неизброимо

  • P(N) е мощността (брой) на всички подмножества на множеството от естествени числа N.
  • Биекцията между подмножества на А и характеристични функции гарантира, че броят на подмножествата е безкраен.
  • Конструкцията на fD чрез диагонализация е ключът към доказателството.
  • h е сюрекция от N към {f | f : N → {0, 1}} означава, че всички функции са обхванати.
  • Конструкцията на fD демонстрира противоречие, което доказва, че h не може да е сюрекция.
  • Множеството от всички функции от N в {0, 1} е неизброимо. Това означава, че P(N) е неизброимо, което е и целта на доказателството.

Следствие 4: Р(А) е неизброимо, ако А е изброимо

  • Ако А е изброимо, то множеството от всички подмножества на А е неизброимо (по-голямо).
  • Биекцията g : P(N) → P(A), g(X) = {f(x) | x ∈ X }, показва еквивалентност.

Основни комбинаторни принципи

  • Принцип на Дирихле: Ако има повече елементи от множество А, отколкото места в множество В, не може да има инекция от А в В.
  • Принцип на биекцията: Мощността на крайни множества А и В са равни, тогава и само тогава, когато има биекция между А и В.
  • Принцип за събирането: |A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|
  • Принцип за включване и изключване: Използва се за изчисляване на обединението на няколко множества чрез разглеждането на пресечни множества, които се повтарят в изчисленията.
  • Принцип за умножението: Редуване на изборите; |A × B| = |A| * |B|

Studying That Suits You

Use AI to generate personalized quizzes and flashcards to suit your learning preferences.

Quiz Team

Description

Този тест разглежда концепцията за изброими и неизброими множества, както и характеристичните функции на множествата. Въпросите ще ви помогнат да проверите знанията си по темите от теорията на множествата. Подгответе се да се свържете с основни понятия и теореми.

More Like This

Countable and Uncountable Sets Quiz
5 questions
Countable Sets in Mathematics
5 questions
Use Quizgecko on...
Browser
Browser