Questions and Answers
Čo nazveme inverznou maticou k matici A?
Existuje práve jedna inverzná matica pre regulárnu maticu A.
True
Aká maticová vlastnosť je potrebná na to, aby bola matica A regulárna?
Existencia inverznej matice A^{-1}
Matica B je inverznou maticou k matici A, ak platí, že AB = ___.
Signup and view all the answers
Čo platí pre množinu permutácií S_n?
Signup and view all the answers
Identická permutácia je nepárna.
Signup and view all the answers
Ako sa nazýva permutácia, ktorá mení poradie dvoch prvkov?
Signup and view all the answers
Čo platí pre determinant matice A?
Signup and view all the answers
Aký vzťah platí pre znamienko zloženej permutácie?
Signup and view all the answers
Aká je hodnota inverzného operátora (A^{-1})^{-1}?
Signup and view all the answers
Study Notes
Inverzná matica
- Matica A je regulárna, ak existuje matica B, pre ktorú platí AB = BA = I (jednotková matica).
- Matica B sa označuje ako inverzná matica k A.
Existence inverznej matice
- Regulárna matica A radu n má presne jednu inverznú maticu.
Regularita a inverzná matica
- Štvorcová matica A je regulárna, ak existuje jej inverzná matica A^{-1}.
Vlastnosti inverzných matíc
- Ak AB = I, matica A je regulárna a B = A^{-1}.
- Inverzná matica jednotkovej matice je A = I^{-1}.
- Pre regulárnu maticu A a α ∈ T, (αA)^{-1} = 1/α A^{-1}.
- (A^{-1})^{-1} = A pre regulárnu maticu A.
Ekvivalentné riadkové úpravy
- Konečný počet ekvivalentných riadkových úprav na matici A vytvára maticu MA, kde M je štvorcová matica vzniklá zo začiatku I.
Úplná Gaussova eliminácia
- Ak je A regulárna, počas ERÚ môže byť prevedená na jednotkovú maticu I. Rozšírená matica (A | B) prejde do tvaru (I | X), kde X = A^{-1} B.
Pravý a ľavý inverzný operátor
- Ak existuje B, pre ktoré platí AB = I, A je surjektívny.
- C, kde CA = I, nazýva A prostým.
- Ak existujú operátory B a C, pre ktoré AB = I = CA, A je regulárny operátor.
Inverzný operátor k inverznému operátoru
- Pre regulárny operátor A platí (A^{-1})^{-1} = A.
Inverzný operátor a inverzná matica
- Ak A je regulárny operátor, potom 𝓧(A^{-1}) = (𝓧A)^{-1} pre bázu 𝓧.
Permutácia
- Permutácia je bijekcia π: n^{strieška} -> n^{strieška}.
- Množina všetkých permutácií na n^{strieška} je S_n.
Inverzia a znamienko permutácie
- Inverziou v permutácii π je dvojica (i,j) s i < j a π(i) > π(j).
- Znamienko permutácie je sgn π = (-1)^{I_π}; párne permutácie majú sgn π = 1, nepárne sgn π = -1.
Transpozícia
- Transpozícia permutuje iba dve čísla i a j, pričom ostatné ostávajú nezmenené.
Znamienko zloženej permutácie
- Pre permutácie π a ρ platí, že sgn(π ∘ ρ) = sgn π * sgn ρ.
Determinant matice
- Determinant matice A sa vypočítava ako det A = sum_{π ∈ S_n} {sgn π A_{1π(1)} A_{2π(2)}...A_{nπ(n)}}.
- Členy determinantu sú sčítance v tejto sume, celkový počet sčítancov je n!.
Determinant transponovanej matice
- Platí, že det A^T = det A pre každú maticu A.
Horná a dolná trojuholníková matica
- Horná trojuholníková matica má nekonečne mnoho nulových prvkov pod diagonálou a dolná nad diagonálou.
Studying That Suits You
Use AI to generate personalized quizzes and flashcards to suit your learning preferences.
Description
Tento kvíz skúma koncept inverzných matíc a ich vlastnosti. Zameriava sa na definície, existencia inverznej matice a vlastnosti regulárnych matíc. Otestujte si svoje vedomosti v tejto oblasti matematiky.
