Introduction to Algebraic Geometry

代数几何是数学的一个分支，研究多项式方程的零点。现代代数几何将抽象代数和几何学的语言和问题结合起来。代数几何的基本研究对象为代数簇，代数簇是由空间坐标的若干代数方程的零点集。代数几何在现代数学中占中心地位，与多复变函数论、微分几何、拓扑学和数论等不同领域均有交叉。

代数几何的研究主要分为局部和整体两个方面。局部方面的研究主要是用交换代数方法讨论代数簇中的奇异点以及代数簇在奇异点周围的性质。例如，在平面中的代数曲线中，原点(0,0)是一个歧点。不带奇异点的代数簇称为非奇异代数簇。

代数几何在现代数学中的主要研究领域包括：

1. 算术几何：研究代数簇中，坐标在有理数域或代数数域里的点。
2. 实代数几何：研究代数簇的实点，即实代数几何。
3. 奇点理论：致力于研究代数簇中的奇异点，及关于奇异点的解消的存在性和方法。
4. 代数簇的上同调理论：如晶体上同调、平展上同调、以及Motive（页面存档备份，存于互联网档案馆）上同调。
5. 几何不变量理论：起始于戴维·芒福德在二十世纪六十年代的研究，其思想起源于大卫·希尔伯特的古典不变量理论。
6. 计算代数几何：随着计算机的兴起，计算代数几何作为代数几何与符号运算两支的交叉而崭露头角。

代数几何在最一般情形下的理论基础的建立主要是由扎里斯基和范·德·瓦尔登等人在代数几何研究中引进了交换代数的方法。在这基础上，代数簇的定义方程中的系数以及代数簇中点的坐标通常是在一个固定的域k中选取的，这个域就叫做代数簇的基域。

代数几何的研究在过去几十年中取得了重大进展，尤其是在抽象代数的框架内进行的研究，越发强调代数簇“内蕴的”性质，即那些不取决于代数簇在射影空间的具体嵌入方式的性质，与拓扑学、微分几何及复几何等学科的发展相应