Micro Med 4

Maîtriser

• Une matrice est un tableau rectangulaire de nombres.
• Les nombres dans la matrice sont appelés les éléments de la matrice.
• Une matrice avec m lignes et n colonnes est une matrice m x n.
• L'élément dans la i-ème ligne et la j-ème colonne est noté a_ij.

Opérations sur les Matrices

• Deux matrices A et B peuvent être additionnées si et seulement si elles ont la même dimension.
• La somme A + B est une matrice dans laquelle les éléments sont la somme des éléments correspondants dans A et B ; (A + B)_ij = a_ij + b_ij.
• Une matrice A peut être multipliée par un scalaire c.
• Le produit cA est une matrice dans laquelle chaque élément est multiplié par c ; (cA)_ij = c · a_ij.

Multiplication de Matrices

• Deux matrices A et B peuvent être multipliées si et seulement si le nombre de colonnes dans A est égal au nombre de lignes dans B.
• Si A est une matrice m x n et B est une matrice n x p, le produit AB est une matrice m x p.
• (AB)_ij = Σ_k=1ⁿ a_ik · b_kj.

Transposition

• La transposée d'une matrice A est une matrice A^T dans laquelle les lignes sont échangées avec les colonnes.
• Si A est une matrice m x n, A^T est une matrice n x m ; (A^T)_ij = a_ji.

IFT1015 Hiver 2024 Devoir 1

Question 1

• On cherche la somme des entiers impairs de 1 à 999 : Σ_i=1⁵⁰⁰ (2i - 1).
• On cherche la somme des entiers pairs de 2 à 1000 : Σ_i=1⁵⁰⁰ 2i.

Question 2

• Le nombre d'entiers positifs à trois chiffres divisibles par 5 est calculé en considérant que le dernier chiffre doit être 0 ou 5.
• Il y a 9 choix pour le premier chiffre (1-9), 10 pour le deuxième (0-9) et 2 pour le dernier (0 ou 5), donc 9 x 10 x 2 = 180.
• Trouver le nombre d'entiers positifs à trois chiffres divisibles par 5 avec des chiffres distincts.
• Si le dernier chiffre est 0, il y a 9 choix pour le premier et 8 pour le deuxième, donc 9 x 8 = 72.
• Si le dernier est 5, il y a 8 choix pour le premier (1-9 sauf 5) et 8 pour le deuxième, donc 8 x 8 = 64.
• Le total est 72 + 64 = 136.

Question 3

• Pour le nombre de façons de choisir 5 cartes parmi 52, utilisation de la combinaison "52 choose 5" : 2,598,960.
• Pour le nombre de mains de 5 cartes avec 3 as et 2 rois, choix de 3 as parmi 4 et 2 rois parmi 4 : 4 x 6 = 24.
• Déterminer le nombre de mains de 5 cartes contenant au moins un as.
• Soustraction du nombre de mains sans as du nombre total de mains : 2,598,960 - 1,712,304 = 886,656.

Préparation à l'agrégation interne

Analyse

• Exercice 1 : Pour f ∈ C⁰([0,1], ℝ) calculer lim_{n→+∞} ∫₀¹ f(tⁿ) dt.
• Exercice 2 : Pour f ∈ C⁰([0,1], ℝ) calculer lim_{n→+∞} ∫₀¹ n tⁿ f(t) dt.
• Exercice 3 : Centrale MP 2007, pour f ∈ C⁰([0,1], ℝ) telle que f(0)=0, déterminer lim_{n→+∞} ∫₀¹ f(t) cos(nt) dt.
• Exercice 4 : Mines-Ponts PC 2004, On pose I_n = ∫₀^π/2 sinⁿ(t) dt.
  • Calcul de I₀, I₁.
  • Détermination d'une relation de récurrence entre I_n+2 et I_n.
  • Déduction de la valeur de I_n.
  • Détermination de lim_{n→+∞} I_n.
  • Détermination d'un équivalent de I_n lorsque n tend vers +∞.
• Exercice 5 : Nature de l'intégrale ∫₀^+∞ (sin(t)/ t) dt.

Lecture 14: February 28, 2023

Récapitulatif de la dernière fois

• Définition : $\mathcal{R}$ est un anneau s'il est un groupe abélien sous l'addition $+$, a une multiplication associative $\cdot$, et la multiplication se distribue sur l'addition.
• Définition : Un anneau $\mathcal{R}$ est commutatif si la multiplication commute.
• Définition : Un anneau $\mathcal{R}$ a un 1 (unité) s'il existe un élément $1 \in \mathcal{R}$ tel que $1 \cdot a = a \cdot 1 = a$ pour tout $a \in \mathcal{R}$.
• Définition : Un élément $a \in \mathcal{R}$ est une unité s'il existe un élément $b \in \mathcal{R}$ tel que $a \cdot b = b \cdot a = 1$.
  • L'ensemble des unités dans $\mathcal{R}$ est noté $\mathcal{R}^{\times}$.
• Définition : Un diviseur de zéro est un élément $a \in \mathcal{R}$ tel que $a \neq 0$ et il existe un certain $b \in \mathcal{R}$ non nul tel que $a \cdot b = 0$.

Domaines d'intégrité et Corps

• Définition : Un domaine d'intégrité est un anneau commutatif avec 1 qui n'a pas de diviseurs de zéro.
• Définition : Un corps est un anneau commutatif avec 1 tel que chaque élément non nul est une unité.
  • En d'autres termes, pour chaque $a \in \mathcal{F}$, $a \neq 0$, il existe $b \in \mathcal{F}$ tel que $a \cdot b = b \cdot a = 1$.

Exemples

• $\mathbb{Z}$ est un domaine d'intégrité, mais pas un corps.
• $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ et $\mathbb{C}$ sont des corps.
• $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ est un anneau.
  • Il est un domaine d'intégrité si et seulement si $n$ est premier.
  • Il est un corps si et seulement si $n$ est premier.
• Si $\mathcal{R}$ est un domaine d'intégrité, alors $\mathcal{R}[x]$ est un domaine d'intégrité.

Théorème

• Tout corps est un domaine d'intégrité.

Définition

• Soit $\mathcal{R}$ un anneau. Un sous-anneau de $\mathcal{R}$ est un sous-ensemble $S \subseteq \mathcal{R}$ tel que $S$ est un anneau sous les mêmes opérations que $\mathcal{R}$.

Théorème

• Soit $\mathcal{R}$ un anneau et $S \subseteq \mathcal{R}$. Alors $S$ est un sous-anneau de $\mathcal{R}$ si et seulement si :
  • $S$ est fermé sous l'addition.
  • $S$ est fermé sous la multiplication.
  • $S$ contient l'inverse additif de chacun de ses éléments.

Complexité Algorithmique

• La complexité est une mesure qualitative utilisée pour classer différents algorithmes.

Qu'est-ce que la complexité ?

• La complexité décrit le comportement d'un algorithme à mesure que la taille de l'entrée augmente.
• Elle est indépendante de la machine, du langage, du compilateur, etc.
• La complexité aide à choisir le meilleur algorithme.
• La complexité répond à la question : Comment les besoins en ressources croissent-ils à mesure que la taille de l'entrée augmente ?

Ressources

• Les ressources incluent :
  • Temps d'exécution
  • Utilisation de la mémoire
  • Surcharge de communication
  • Portes logiques

Temps d'exécution

• Le temps d'exécution est la ressource la plus importante. La complexité temporelle est le temps d'exécution en fonction de la taille de l'entrée.

Comment mesurer la complexité ?

• Taille de l'entrée : Le nombre d'éléments à traiter.
• Temps d'exécution : Le nombre d'opérations élémentaires effectuées.
• Taux de croissance : Comment le temps d'exécution augmente à mesure que la taille de l'entrée augmente.

Notation Grand O

• Une façon d'exprimer le taux de croissance d'un algorithme.
• Définition : T(n) = O(f(n)) s'il existe des constantes c > 0 et n₀ > 0 telles que T(n) ≤ cf(n) pour tout n > n₀.

Taux de croissance courants

Propriétés de la notation Grand O

• Multiplication constante : O(cf(n)) = O(f(n))
• Addition : O(f(n)) + O(g(n)) = O(max(f(n), g(n)))
• Multiplication : O(f(n)) * O(g(n)) = O(f(n)g(n))

Comment déterminer la complexité ?

1. Déterminer la taille de l'entrée.
2. Identifier les opérations de base.
3. Déterminer le nombre de fois où les opérations de base sont exécutées.
4. Exprimer le nombre d'opérations de base en fonction de la taille de l'entrée.
5. Utiliser la notation Grand O pour exprimer le taux de croissance de la fonction.

Classes de complexité

• P : problèmes qui peuvent être résolus en temps polynomial.
• NP : problèmes pour lesquels une solution peut être vérifiée en temps polynomial.
• NP-complet : problèmes dans NP auxquels tous les autres problèmes dans NP peuvent être réduits en temps polynomial.
• NP-difficile : problèmes qui sont au moins aussi difficiles que les problèmes les plus difficiles dans NP.

NP-complétude

• Si un problème NP-complet peut être résolu en temps polynomial, alors tous les problèmes dans NP peuvent être résolus en temps polynomial.

Physique

Addition de vecteurs

• Approche graphique : Les vecteurs A et B sont placés séquentiellement, en maintenant leurs attributs.
• La resultante R est obtenue en combinant l'origine de A avec l'extrémité de B.

Composantes d'un vecteur

• Les composantes d'un vecteur sont des projections sur un système de coordonnées:
• Ax = A cos θ
• Ay = A sin θ

Sommation analytique des vecteurs

• La resultante R est obtenue en résolvant l'équation des composantes du vecteur:
• Rx = Ax + Bx + ...
• Ry = Ay + By + ...
• Le module de R est calculé comme: R = √(Rx^2 + Ry^2)
• L'orientation de R est calculée comme: θ = arctan (Ry/ Rx)

Produit scalaire (produit point)

• Le produit scalaire de deux vecteurs est un scalaire : $\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}| |\vec{B}| \cos \theta$

• Dans l'équation des composantes du vecteur, le produit scalaire est calculé comme : $\vec{A} \cdot \vec{B} = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z$

Le produit Vectoriel (produit en croix)

• Le produit vectoriel de deux vecteurs dans l'équation des composantes du vecteur se calcule comme: $|\vec{A} \times \vec{B}| = |\vec{A}| |\vec{B}| \sin \theta$

• La direction est perpendiculaire aux vecteurs, et determinée par la règle de la main droite.

• Le calcul avec les equations des composantes du vecteur est: $\vec{A} \times \vec{B} = (A_y B_z - A_z B_y) \hat{i} + (A_z B_x - A_x B_z) \hat{j} + (A_x B_y - A_y B_x) \hat{k}$

Loi de Planck

• La loi de Planck décrit la densité spectrale du rayonnement électromagnétique émis par un corps noir en équilibre thermique.

Equation

• $B_{\lambda}(T) = \frac{2hc^2}{\lambda^5} \frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda k_B T}}-1}$.

Points clés

• L'énergie rayonnée par un corps noir n'est pas émise de façon continue mais plutôt en quanta.
• Lorsque la température augmente, l'énergie totale rayonnée augmente, déplaçant ainsi le pic d'émission vers des longueurs d'onde plus courtes.